devoir de synthèse N ° 1 2016 finale 4M .pdf


Nom original: devoir de synthèse N ° 1 - 2016 finale - 4M.pdfAuteur: abdelmajid

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LYCEE SLIMEN BEN SLIMEN ZAGHOUAN
LYCEE IBN CHAREF ENNADHOUR
4 Maths
EPREUVE

DEVOIR DE SYNTHESE
1ème TRIMESTRE

Prof : Tahri Majed & Ridha Elbokri
MATHEMATIQUES

DUREE : 3h

ANNEE SCOLAIRE : 2016 - 2017

Le sujet comporte 2 pages

Exercice n° : 1

(1 ,5points )
Répondre par vari ou faux en justifiant la réponse
1) La primitive qui s’annule en 0 de la fonction f : x 

1
1
sur ]- , [ est la fonction F
3
3x  1

2
2
3x  1 3
3
2) Sot T : M(z)  M’(z’) tel que z’ = -i ei z + (-1+i) ei .

T est une translation si et seulement si   [2 ]
2
Exercice n° :2
( 4,5 points)
Pour tout nombre complexe z on pose f(z) = z3 – 2(1+i)z² +2(1+2i)z – 4i
1) a- Vérifier que 2i est une solution de l’équation (E) : f(z) = 0
b- Résoudre alors l’équation (E) dans ℂ
définie par F(x) =

2) Le plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct (O, U , V ), on considère les
points A, B et C d’affixes respectifs zA= 2i , zB = (1+i) eiθ et zC = (1-i) eiθ avec θ [0,2 [
a- Ecrire zA , zB et zC sous forme exponentielle
b- Montrer que pour tout réel θ [0,2 [ le triangle OBC est isocèle et rectangle en O
c- Pour quelle valeur de θ le quadrilatère OABC est un parallélogramme

2z  1 4
) +4=0
z
a- Résoudre dans ℂ l’équation z4 + 4 = 0

3) Soit l’équation (E’) : (

2z  1
2
θ
) = 2e iθ équivaut à z =
[1  icotan( )]
z
4
2
c- En déduire les solutions de l’équation (E’)
Exercice n° 3 (6points)
b- Soit θ ]0,2 [ . Montrer que (

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC isocèle et rectangle en B tel que

( BC, BA )  [ 2 ] .On construit à l’extérieur de ABC un triangle isocèle rectangle ACD
2

tel que (CA, CD)   [2 ] .
2
On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [BC].
1) Préciser le rapport et l’angle de la similitude S de centre A telle que S(B) = C.
Vérifier que S(C) = D.
2) Soit f la similitude directe qui transforme C en B et A en J.
1/2

a- Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de f.
b- On pose g = foS. Préciser g(B) puis donner la nature et les éléments caractéristiques de g.
3) a- Soit E = f(D). Montrer que les droites (AC) et (JE) sont perpendiculaires.
b- Montrer que l’image de la droite (CD) par f est la droite (AB). Construire alors E.
4) Soit  la similitude indirecte qui transforme A en J et C en I et h l’homothétie de centre B
et rapport 2. Soit  = ho  .
a- Déterminer  (A) et  (C).
b- Donner la nature et les éléments caractéristiques de  .
Exercice n° :4
( 8 points)
2x - 2
Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) =
x² - 2x  5
On désigne par Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j )
I) 1) a-Etudier les variations de f sur IR
b- Montrer que le point A(1,0) est un centre de symétrie pour Cf
c- Ecrire une équation de la tangente (T) à Cf en A
d- Montrer que l’équation f(x) = x admet une solution unique  et que -2 <  < -1
e-Tracer  : y = x , (T) et Cf
2) a- Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera
b- Expliciter f -1(x) pour x  J
c- Tracer Cf-1 dans le même repère (O, i , j )
II) Soit h la fonction définie sur [0,
1) a- Vérifier que pour tout x [0,


4


4

] par : h(x) = f(1+2tanx)

] , h(x) = 2sinx

b- Montrer que h réalise une bijection de [0,
c- Montrer que h-1 est dérivable sur [0,


4

] , sur [0,

2]

2 ] et que pour tout x  [0,

2 ] , (h-1)’(x)=

1
4  x²


2) On note g = h-1 et on pose  (x) = g(2cosx) + g(2sinx) pour tout x  [0, ]
4

a- Montrer que  est dérivable sur [0, ] et calculer  ’(x)
4

b- Montrer que  est constante sur [0, ] et calculer cette constante
4
1 2n 1
3) On considère la suite (Un) définie pour tout n  1 par : Un =
 g( )
1  n k n k
a- Donner un encadrement de Un
b- En déduire que (Un) est convergente et calculer sa limite
BON TRAVAIL
2/2


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