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b. En déduire la limite des suites ( un ) et ( vn ) .
5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)
Dans cet exercice a et b désignent des entiers strictement positifs.
1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv =
1 alors les nombres a et b sont premiers
entre eux.
b. En déduire que si

( a2 + ab − b2 )

2

=
1 alors a et b sont premiers entre eux.

2. On se propose de déterminer tous les couples d’entiers strictement positifs (a ; b) tels que

( a2 + ab − b2 )

2

=
1 . Un

tel couple sera appelé solution.
a. Déterminer a lorsque a = b.
b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.
c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a < b , alors a2 − b2 < 0 .
3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors ( y − x ; x) et ( y ; y + x) sont aussi des solutions.
b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions.
4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs ( an )n∈ définie par a=
a=
1 et pour tout entier n,
0
1
.
n ≥ 0 , a=
a
+
a
n+ 2
n+1
n
Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 0 , ( an ; an+1 ) est solution. En déduire que les nombres an et an+1 sont
premiers entre eux.

Baccalauréat

Correction

Nouvelle-Calédonie

6. Exercice 1 (5 points)

z=' z2 − 4 z .
1. a. zA =1 − i → zA ' =(1 − i )2 − 4(1 − i ) =−2i − 4 + 4i =−4 + 2i et zB =3 + i → zB' =9 + 6i − 1 − 12 − 4i =−4 + 2i .
b. appelons u et v les affixes des points U et V en question : u=' u2 − 4u et v=' v2 − 4v ; leurs images sont identiques
si

u ' = v ' ⇔ u2 − 4u = v2 − 4v ⇔ u2 − v2 − 4u + 4v =0 ⇔ ( u − v)( u + v) − 4( u − v) =0 ⇔ ( u − v)( u + v − 4) =0 .
On a donc soit u = v , soit u + v = 4 ⇔

u+ v
= 2 , et dans ce cas le milieu de [UV] a pour affixe 2 et l’un est l’image de
2

l’autre par la symétrie de centre 2.
2. a. I(−3). OMIM’ est un parallélogramme si et seulement si
 
OM =M ' I ⇔ z − 0 =−3 − z ' ⇔ z '+ z + 3 =0 ⇔ z2 − 3 z + 3 =0 .
b. z2 − 3 z + 3 =
0 : ∆ = 9 − 12 = −3 = 3i 2 d’où z1=
3. a.

3
3
3
3
+i
−i
, z2=
.
2
2
2
2

 z '+ 4 = z − 2 2


( z '+ 4 ) = z2 − 4 z + 4 = ( z − 2)2 ⇒ 

4) 2arg( z − 2) + 2kπ
 arg( z '+=

.

2 , et son image M’ est
b. Soit M un point du cercle (C) de centre J(2) et de rayon 2, son affixe z est telle que z− 2 =
telle que z '+ 4 = 22 = 4 d’où M’ est sur le cercle de centre K(−4), de rayon 4.
−i

c. zE + 4 =−3i =3e

π
2

; si E est l’image d’un point z, on a

π

π

arg( zE +=
4) 2arg( z − 2) + 2kπ ⇔ −= 2arg( z − 2) + 2kπ ⇔ arg( z −=
2) − − kπ .
2
4

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ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA

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