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B.
Vrai

Réponses

Vrai

Faux

1    3

3

 
L  ; 0 ; 0  , E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ;1), B(1 ; 0 ; 0), M  1 ; 0 : =
, EL  ; 0 ; − 1  =
, FB
3

4

4

  1
2
=
IM  ; 0 ; −  .
3
2

( 0 ; 0 ; −1) ,

1

I  ; 0 ;1 ,
2


3

 x= 0 + 4 t
 x=1


et (FB) :  y = 0
d’où leur intersection donnée par
(EL) a pour équations paramétriques  y = 0
 z= 1 − t '
 z= 1 − t



3
 4t =1
1

4

⇔t=
= t ' . On a donc le point N  1; 0 ; −  ; le milieu de [MN] est B ( 1 ; 0 ; 0 ) .
0 = 0
3
3

 1− t = 1− t '



k 3
2= 4
  3



1
2
3



EL
k
=  ; 0 ; − 1=
⇒=
0 0
.
 kIM= k  ; 0 ; −  ⇔  =
3
2
4

2
 2k
−
=
−1
 3
5.

1
36
Vrai

a.

Propositions
Réponses
La base est le triangle FIJ de surface

1
48
Faux

c.

b.

1
24

Faux

1
2
, la hauteur est la longueur FM, soit , le volume de FIJM est donc
8
3

1 1 2 1
. . =
.
3 8 3 36
8. Exercice 3 (5 points)
On considère la fonction f définie sur  par . On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère
 
orthogonal (O ; i , j ) , l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A
Soit g la fonction définie sur  par g( x) = ex − x − 1 .
1. g '( x=
) ex − 1 est positive lorsque x ≥ 0 ; g(0) = 1 − 0 − 1 = 0 : comme g est décroissante avant 0 et croissante après,
g est toujours positive.
2. Comme g( x) ≥ 0 , on a ex − x ≥ 1 ⇒ ex − x > 0 (ceci montre que f est définie sur  ).
Partie B

lim f ( x)
=
x→+∞

1.

x
lim
=
x
x→+∞ e − x

a.

1
1
lim
0 =
lim f ( x)
=
=
x
x→+∞ e
x→−∞
+∞
−1
x
;

x
lim
=
x
x→−∞ e − x

b. On a une asymptote horizontale en −∞ : y = −1 et une autre en +∞ : y = 0 .
2. a. f '( x)
=

1( ex − x) − x( ex − 1) ex − x − xex + x (1 − x)ex
.
=
=
( ex − x)2
( ex − x)2
( ex − x)2

b. f’ est du signe de 1−x.

1
1
lim
=
= −1
x
x→−∞ e
0 −1
−1
x
x

+

0

+∞


1
e− 1

f

−1

3. a. y − f=
(0) f '(0)( x − 0) ⇔
=
y x.

1

−∞

f’

0

x − xex + x2 − x( ex − x − 1) − xg( x)
. Comme g est positive, ainsi que ex − x , f ( x) − x est du
=
= x
ex − x
ex − x
ex − x
e −x
signe de −x, soit positif avant 0 (C est au-dessus de T), négatif après (C est en dessous de T).
b. f ( x) −=
x

x

x
−=

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ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA

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