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primitive .pdf


Nom original: primitive.pdf
Titre: cours_Primitives
Auteur: TAREK AKIR

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Fiche de cours
4ème Maths
Primitives

Maths au lycee *** Ali AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/

On note par , I : un intervalle de R et f une fonction définie sur I

Définition :
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que : pour tout x de I on a :
F ′( x ) = f ( x )

Théorème 1
Toute fonction continue sur I admet une primitive sur I

Théorème 2
Soit f une fonction continue sur I, alors f admet une infinité de primitives sur I et si F est l’une d’entres elles,
toute autre primitive G de f sur I est définie par : G(x) = F(x) + constante

Théorème 3
Soit f une fonction continue sur I. x0 est un réel donné de I et y0 est un réel donné.
Alors il existe un primitive G de f sur I et une seule telle que G(x0) = y0

Théorème 4
F et G sont des primitives respectives de f et g sur I, alors :aF+ bG est une primitive de af + bg sur I

Primitives des fonctions usuelles
F désigne une primitive de la fonction f sur un intervalle I et a , ω, φ des réels avec ω ≠ 0

f
x֏a

I
R

x ֏ x n ,n ∈ N *

R



1
xn

, n ∈ N * − {1} ]0 ,+∞[ou

]− ∞,0[

x֏ x

[0 ,+∞[

x ֏ cos x

R

x ֏ sin x

R

x ֏ sin(ωx + φ)

R

x ֏ cos(ωx + φ)

R

x ֏ 1 + tan ² x

 π π
− 2 , 2 



F
x ֏ ax + c
x n+1

+c
n +1
−n +1
x

+c
−n +1
2
x ֏ x x +c
3
x ֏ sin x + c
x ֏ − cos x + c
1
x ֏ − cos(ωx + φ ) + c
ω
1
x ֏ sin(ωx + φ) + c
ω
x ֏ tan x + c

Calcul de primitives
F désigne une primitive de la fonction f sur un intervalle I et u et v deux fonctions dérivable sur I.
f
condition
F
u n +1
u ′u n , n ∈ N *
n +1
u ′v + v ′u
u.v
−n +1
u′
u
*
{
}
,
n

N

1

x

I
,
u
(
x
)

0
−n +1
un
u ′v − v ′u
u
∀x ∈ I , v( x ) ≠ 0

v
u′
∀x ∈ I , u( x ) > 0
2 u
u
2
u′ u
∀x ∈ I , u( x ) ≥ 0
u u
3
n
∀x ∈ I , u( x ) > 0
u ′ u 1−n , n ∈ N * − {1}
nn u
u ′(w ′ u )
w est dérivable sur u(I ) w u

1


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