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Intégrales .pdf



Nom original: Intégrales.pdf
Titre: D:\mathmouf(résumés de cours 4M
Auteur: ZOUHAIER

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Bac Maths + Sc exp

Intégrales

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

1/ DEFINITION:
Rappels
1- Si une fonction est continue sur un intervalle I alors elle possède des
primitives sur cet intervalle.
2- Si F et G deux primitives d’une même fonction sur un intervalle contenant
deux éléments a et b alors G b
Ga
Fb
Fa .

Définition

(définition de l’intégrale)
I2.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a, b
b

On appelle intégrale de f entre a et b le réel

a

f x dx

Fb

Fa

avec F une primitive de f sur l’intervalle de bornes a et b.
(existenca d’une intégrale)

Remarque
Pour que

b
a

f x dx existe il suffit que f soit continue sur l’intervalle de

bornes les réels a et b. est une de ces primitives alors l’ensemble des primitives

2/ Propriétés
Soient f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I et a, b et c sont
trois éléments de I.
P1 :
P2 :
P3 :
P4 :
P5 :

a
a
b
a
b
a
b
a
b
a

f x dx

0
a

f x dx

b
c

f x dx

a
b

f x dx

a

f x dx.

f x dx

g x dx
b

f x dx

a

b

f x dx ( relation de Chasles sur les integrals )

c
b
a

fx

f x dx pour tout

P 6 : Si

x

a, b ; f x

0

P 7 : Si

x

a, b ; f x

gx

P 8 : Si

a

b

g x dx.

alors

b
a

une constante réelle.
b

alors

a

b

alors

a
b

f x dx

f x dx

a

0.

f x dx

b
a

g x dx.

|f x |dx.

3/ Intégration par parties
Théo rème
Soient u et v deux fonctions dérivables a dérivées continues sur un intervalle I.
On a :

a, b

I2;

b
a

u x v x dx

ux vx

4/ Valeur moyenne
Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle

b
a

b
a

v x u x dx.

a, b (a b).

On appelle valeur moyenne de f sur a, b le réel f

b

1
b

a

a

f x dx.

Théo rème Soit f une fonction continue sur un intervalle a, b (a b) f est la valeur moyenne
de f sur a, b . On a : Il existe un réel c de a, b tel que f c
f.
Hadj Salem Habib

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Lycée pilote Médenine

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Intégraes

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

5/ Fonctions définies par intégrale
Théo rème Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a un élément de I. On a :
La fonction F : I
en a. par suite x

Théo rème

x

IR; x

f t dt est la primitive de f sur I qui s’annule

a

x

I, F x

f t dt

a

f x et F a

f est une fonction continue sur un intervalle I et a
Si

J, u x

I
ux

définie sur J par F x
ux

F x

Théo rème

I
alors la fonction F

u est une fonction dérivable sur un intervalle J
x

0.

a

f t dt

a

f t dt est dérivable sur J et x

J;

u x. fux .

(autres propriétés du calcul intégrale)

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a
P 9 : Si f est une fonction paire alors

a
a

P 10 : Si f est une fonction impaire alors
P 11 : Si f est de période T alors

a T
a

f x dx
a
a

I.
2

f x dx

f x dx

T
0

a
0

f x dx.

0.

f x dx.

6/ Calcul d’aire et de volume
Théo rème

(Calcul d’aire)

Le plan est rapporté à un repère orthogonal R

O, i , j . Soient f et g deux

fonctions continues sur a, b et de courbe respectives C f et C g dans R.
Désignons par A l’aire du domaine plan limité par C f , C g et les droites
d’équations respectives x a et x b. On a :
b

A

a

y

|f x
x

g x |dx u. a
a

x

c

x

i

avec u. a

j

.

b

Dans de figure ci-contre on a :
A
x

c
a

gx

f x dx

b
c

gx

f x dx

u. a

Cg
Cf

Hadj Salem Habib

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Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Cas particulier
y

Quand f est continue et positif

Cf

sur a, b alors le domaine plan D,
limité par : C f , l’axe des abscisses
x ox et les droites d’équations
respectives x

a et x
b

pour aire A

a

0

b, a

x
x

x

a

b

f x dx ua.

remarquer que D est aussi

M x, y

P tel que

a

x

b

0

y

fx

Théo rème
Soient D et D’ deux domaines plans. Soit
Si D et D’ sont symétriques par rapport à
y

x

a

une droite.
alors D et D’ ont même aire.

(C)
: y =x

2

1

C

C

S

-1
0

1

2

y

-1

3x

a

(volumes de solides de révolution)

Théo rème

L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i , j , k .
Soit f une fonction continue et positive sur a, b . Le volume V du solution de
revolution engendré par la rotation de l’arc
AB

M x, y tels que y

est le réel V

Hadj Salem Habib

b 2
f
a

f x et a

x

b

autour de l’axe O, i

x dx.

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