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Nom original: 142 - Utilisation de groupes en géométrie.pdf
Auteur: Mickaël

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142. UTILISATION DE GROUPES EN GÉOMÉTRIE
Prérequis - Notations
ℰ espace affine de dimension finie, 𝐸 = ℰ⃗ son espace vectoriel associé.
Groupe affine 𝐺𝐴(ℰ), groupe linéaire 𝐺𝐿(𝐸).
Groupe orthogonal 𝑂2 , groupe orthogonal 𝑂3 , groupe symétrique 𝔖𝑛 .

Quelques groupes de 𝑮𝑨(𝓔)

I.

THM-0. L’application :

𝝓: (𝐺𝐴(ℰ ),∘) ⟶ (𝐺𝐿(𝐸 ),∘)
𝑓



est un morphisme de groupes surjectif.

𝑓⃗

Preuve :
Morphisme car, si 𝑓 et 𝑔 sont dans 𝐺𝐴(ℰ) :

𝜙(𝑓 ∘ 𝑔) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓⃗ ∘ 𝑔⃗ = 𝜙(𝑓) ∘ 𝜙(𝑔)

Surjectif car toute application affine est définie de manière unique par la donnée :



d’un couple de points tels que 𝑓 (𝐴) = 𝐵 ;
et par 𝑓⃗.

En particulier, il existe 𝐴 ∈ ℰ. Donc à chaque application linéaire 𝑓⃗, on peut associer une application
affine 𝑓 telle que 𝑓 (𝐴) = 𝐴 et de partie linéaire 𝑓⃗.
DÉF-1. Le noyau de 𝜙 est un sous-groupe distingué de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe des translations 𝑻(𝓔).
Preuve :
Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ. En effet :


𝐼𝑑 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜙) car 𝜙 (𝐼𝑑) = 𝐼𝑑



si 𝑓 et 𝑔 sont dans 𝐾𝑒𝑟(𝜙) : 𝜙(𝑓 ∘ 𝑔−1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓 ∘ 𝑔−1 = 𝑓⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔−1 = 𝑓⃗ ∘ 𝑔⃗−1 = 𝐼𝑑 ∘ 𝐼𝑑−1 = 𝐼𝑑

{𝐼𝑑} est un sous-groupe distingué de 𝐺𝐿(𝐸 ). Or, l’image réciproque par un morphisme de groupes
d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
COR-1. Soit 𝑡 = 𝑡𝑢⃗⃗ ∈ 𝑇(ℰ ) et 𝑔 ∈ 𝐺𝐴(ℰ ). Alors : 𝑔 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑔−1 = 𝑡𝑔⃗⃗(𝑢⃗⃗) .
Preuve :
Soit 𝑥 ∈ ℰ : 𝑔 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑔−1 (𝑥) = 𝑔 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ (𝑔−1 (𝑥)) = 𝑔(𝑔−1 (𝑥) + 𝑢
⃗⃗ ) = 𝑔(𝑔−1 (𝑥)) + 𝑔⃗(𝑢
⃗⃗) = 𝑥 + 𝑔⃗(𝑢
⃗⃗ )
DÉF-2. L’image réciproque du groupe des homothéties vectorielles {𝜆𝐼𝑑, 𝜆 ∈ ℝ∗ } par 𝜙 est un sousgroupe distingué de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe des homothéties-translations 𝑯𝑻(𝓔). 𝑇(ℰ ) ⊂ 𝐻𝑇(ℰ ).

Preuve :
𝐻 (𝐸 ) = {𝜆𝐼𝑑, 𝜆 ∈ ℝ∗ } est un sous-groupe de 𝐺𝐿(𝐸 ) :



𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 )
si 𝑓⃗ = 𝜆𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 ) et 𝑔⃗ = 𝜇𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 ) alors 𝑓⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔−1 = 𝜆𝐼𝑑 ∘ 𝜇−1 𝐼𝑑 = (𝜆𝜇 −1 )𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 )

𝐻 (𝐸 ) est distingué dans 𝐺𝐿(𝐸 ) car, si ℎ⃗⃗ = 𝜆𝐼𝑑 ∈ 𝐻(𝐸 ) et 𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸) :
−1 ∘ 𝑓⃗ = 𝜆𝐼𝑑 ∈ 𝐻(𝐸 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓 −1 ∘ ℎ⃗⃗ ∘ 𝑓⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓 −1 ∘ 𝜆𝐼𝑑 ∘ 𝑓⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓 −1 ∘ 𝜆𝑓⃗ = 𝜆𝑓

Or, l’image réciproque par un morphisme d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
COR-2. Soit ℎ = hom(𝐶, 𝜆) ∈ 𝐻𝑇 (ℰ ) et 𝑔 ∈ 𝐺𝐴(ℰ ). Alors : 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 = hom(𝑔(𝐶 ), 𝜆).
Preuve :
Comme 𝐻𝑇 (ℰ ) est distingué, 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 ∈ 𝐻𝑇(ℰ ) et pourrait donc être une translation. Cherchons
un éventuel point fixe A :
𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 (𝐴) = 𝐴
ℎ ∘ 𝑔−1 (𝐴) = 𝑔−1 (𝐴)
donc 𝑔−1 (𝐴) est fixe pour ℎ c’est à dire 𝑔−1 (𝐴) = 𝐶 donc 𝐴 = 𝑔(𝐶 ).
𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 est donc une homothétie de centre 𝑔(𝐶 ). Cherchons son rapport :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 = 𝑔⃗ ∘ 𝜆𝐼𝑑 ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔−1 = 𝜆𝑔⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔−1 = 𝜆𝐼𝑑
Donc : 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 = hom(𝑔(𝐶 ), 𝜆).
EX-1. Soient 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ deux triangles de sommets distincts.
𝑫é𝒔𝒂𝒓𝒈𝒖𝒆𝒔 ∶ (𝐴𝐵) ∥ (𝐴′ 𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐴𝐶 ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑒𝑡 (𝐵𝐶 ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ′ )
⟹ (𝐴𝐴′ ), (𝐵𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐶𝐶 ′ ) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Réciproquement :
(𝐴𝐵) ∥ (𝐴′ 𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐴𝐶 ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑒𝑡 (𝐴𝐴′ ), (𝐵𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐶𝐶 ′ ) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
⟹ (𝐵𝐶 ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ′ )
Preuve sens direct :


𝐴

Premier cas : (𝐴𝐴′ ) ∦ (𝐵𝐵′ )

𝐼

Nommons 𝐼 l’intersection de (𝐴𝐴′ ) et (𝐵𝐵′ ) et
montrons que 𝐼 ∈ (𝐶𝐶 ′ ). Notons ℎ = ℎ𝐼,𝐴→𝐴′ .


𝐴′



′)

𝐶

𝐶′
𝐵



Alors ℎ(𝐵) = 𝐵 car (𝐴𝐵) ∥ (𝐴 𝐵 et 𝐼, 𝐵, 𝐵 sont alignés.

𝐵′

De même ℎ(𝐶 ) ∈ (𝐴′ 𝐶 ′ ) car (𝐴𝐶 ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ′ ) et ℎ(𝐶 ) ∈ (𝐵′ 𝐶 ′ ) car (𝐵𝐶 ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ′ ).
Donc ℎ(𝐶 ) = 𝐶 ′ donc 𝐼, 𝐶 𝑒𝑡 𝐶 ′ sont alignés. Donc les trois droites sont bien concourantes.

𝐴′

𝐴


Deuxième cas : (𝐴𝐴′ ) ∥ (𝐵𝐵′ ) : idem avec 𝑡 = 𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴′
𝑡 (𝐴𝐶 ) = (𝐴′ 𝐶 ′ )

𝐶′

𝐶

𝑡 (𝐵𝐶 ) = (𝐵′ 𝐶 ′ )
Donc 𝑡(𝐶 ) = 𝐶 ′ donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐶 ′ et (𝐴𝐴′ ) ∥ (𝐵𝐵′ ) ∥ (𝐶𝐶 ′ ).

𝐵′

𝐵
3

EX-2. Soient 𝐷 et 𝐷′ deux droites distinctes. Soit (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴′ , 𝐵′ , 𝐶 ′ ) ∈ 𝐷\𝐷′ × 𝐷′ \𝐷3 distincts.
𝑷𝒂𝒑𝒑𝒖𝒔 ∶ (𝐴𝐵′ ) ∥ (𝐴′ 𝐵) 𝑒𝑡 (𝐴𝐶 ′ ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ) ⟹ (𝐵𝐶 ′ ) ∥ (𝐵′ 𝐶 )
Solution dans le cas où 𝐷 et 𝐷′ sont sécantes en 𝐼 :
Notons ℎ1 = ℎ𝐼,𝐴→𝐵 et ℎ2 = ℎ𝐼,𝐶→𝐴 .
′)

𝐵

𝐶



Alors ℎ1 transforme (𝐴𝐵 en (𝐴 𝐵).

𝐴

𝐼

Et ℎ2 transforme (𝐴′ 𝐶 ) en (𝐴𝐶 ′ ).

𝐴′

𝐶′

𝐵′

Evidemment : 𝐼 est stable par ℎ = ℎ1 ∘ ℎ2 .

ℎ est la composée de deux homothéties de même centre et est donc une homothétie de centre 𝐼.
Deux homothéties de même centre commutent et :
ℎ1 ∘ ℎ2 (𝐶 ) = ℎ1 (𝐴) = 𝐵
ℎ2 ∘ ℎ1 (𝐵′ ) = ℎ2 (𝐴′ ) = 𝐶 ′
Donc ℎ transforme (𝐵′ 𝐶 ) en (𝐵𝐶 ′ ) donc (𝐵𝐶 ′ ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ).

𝐶

𝐵

𝐴



Solution dans le cas où 𝐷 et 𝐷 sont parallèles :
On procède de même avec les translations suivantes :
𝑡1 = 𝑡𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑡2 = 𝑡𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴′

𝐵′

𝐶′

Les translations sont commutatives donc 𝑡1 ∘ 𝑡2 = 𝑡2 ∘ 𝑡1 = 𝑡 et :
𝑡(𝐶 ) = 𝑡1 ∘ 𝑡2 (𝐶 ) = 𝑡1 (𝐴) = 𝐵
𝑡(𝐵′ ) = 𝑡2 ∘ 𝑡1 (𝐵′ ) = 𝑡2 (𝐴′ ) = 𝐶 ′
Donc 𝑡 transforme (𝐵′ 𝐶 ) en (𝐵𝐶 ′ )
donc (𝐵𝐶 ′ ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ).
EX-3. Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 et trois points 𝐴′, 𝐵′ et 𝐶′ situés respectivement sur (𝐵𝐶 ), (𝐴𝐶 ) et (𝐴𝐵)
mais distincts de 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
′𝐶
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵 𝐵
𝐶′𝐴
𝑴é𝒏é𝒍𝒂ü𝒔 ∶ 𝐴′ , 𝐵′ 𝑒𝑡 𝐶 ′ 𝑎𝑙𝑖𝑔𝑛é𝑠 ⟺ ̅̅̅̅̅
×
×
=1
𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐵

̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐴
𝑪é𝒗𝒂 ∶ (𝐴𝐴′ ), (𝐵𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐶𝐶 ′ ) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 ⟺ ̅̅̅̅̅
×
×
= −1
𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐵

Solution Ménélaüs :
Soit ℎ𝐴→𝐵 l’homothétie de centre 𝐶 ′ qui transforme 𝐴 en 𝐵.

𝐶



Soit ℎ𝐵→𝐶 l’homothétie de centre 𝐴 qui transforme 𝐵 en 𝐶.

𝐴′



Soit ℎ𝐶→𝐴 l’homothétie de centre 𝐵 qui transforme 𝐶 en 𝐴.
Ces homothéties font partie du groupe 𝐻𝑇 (ℰ2 )
donc ℎ = ℎ𝐶→𝐴 ∘ ℎ𝐵→𝐶 ∘ ℎ𝐴→𝐵 aussi.

𝐵′

𝐶′

𝐴

𝐵

Or, par construction ℎ (𝐴) = 𝐴 donc :
ℎ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑡ℎé𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴

(1)

Remarquons que ℎ𝐵→𝐶 ∘ ℎ𝐴→𝐵 est la composée d’une homothétie de centre 𝐶 ′ et d’une homothétie
de centre 𝐴′ donc :
(𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣é𝑒 𝑝𝑎𝑟 ℎ𝐵→𝐶 ∘ ℎ𝐴→𝐵
𝐴′ , 𝐵′ 𝑒𝑡 𝐶 ′ 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑙𝑖𝑔𝑛é𝑠

Donc :

(2)



ℎ𝐶→𝐴 (𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐵′ ) 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 (𝐴′ 𝐶 ′ )



ℎ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑑′ 𝑎𝑝𝑟è𝑠 (2)



ℎ = 𝐼𝑑 𝑑′ 𝑎𝑝𝑟è𝑠 (1) 𝑐𝑎𝑟 𝐴 ∉ (𝐴′ 𝐶 ′ )



ℎ = 𝐼𝑑 𝑑′ 𝑎𝑝𝑟è𝑠 (1) 𝑐𝑎𝑟 𝐴 ∉ (𝐴′ 𝐶 ′ )



ℎ 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 1



̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐴
×
×
=1
′𝐶
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐴
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐵

La dernière équivalence découle du morphisme entre 𝐻𝑇 (ℰ ) et 𝐻(𝐸 ) et de la multiplicativité des
rapports dans 𝐻 (𝐸 ).
Solution Céva :
Notons :

𝐷1 = (𝐴𝐴′ )

𝐷2 = (𝐵𝐵′ )

𝐷1

𝐷3 = (𝐶𝐶 ′ )



Supposons 𝐷1 ∥ 𝐷2 ∥ 𝐷3 :



̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅′ ̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅
𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐶′𝐴
×
×
=
×
×
(𝑝𝑎𝑟 𝑇ℎ𝑎𝑙è𝑠)
̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐴𝐶 ′ ̅̅̅̅
𝐵𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐵𝐶 ′ ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐴
= ̅̅̅̅ × ̅̅̅̅̅
×
= −1
𝐵𝐴 𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐴𝐶 ′
Supposons 𝐷1 ∥ 𝐷2 ∥ 𝐷3 concourantes en 𝐾 :

𝐴′



𝐷3

𝐶

𝐴

𝐶′

𝐵
𝐷1

𝐶



Alors appliquons Ménélaüs à 𝐴𝐴 𝐶 et 𝐵, 𝐾 𝑒𝑡 𝐵 :
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 𝐾𝐴
×
×
=1
̅̅̅̅
𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐾𝐴′

𝐵′

𝐷2

𝐷2

𝐴′
𝐵′

De même pour 𝐴𝐴′ 𝐵 et 𝐶, 𝐾 𝑒𝑡 𝐶 ′ :

𝐾
̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅
𝐶𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐾𝐴′
×
×
=1
̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐶𝐴′ ̅̅̅̅
𝐾𝐴

𝐶′

𝐴
𝐷3

𝐵

Et on multiplie :
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 𝐾𝐴
𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅
𝐶𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐾𝐴′
×
×
×
×
×
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 1
𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐾𝐴′ ̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐶𝐴′ 𝐾𝐴
̅̅̅̅̅
𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅
𝐶𝐵
×
×
×
=1
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
−𝐶𝐵
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐶𝐴′
̅̅̅̅̅
𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐴
×
×
= −1
̅̅̅̅̅
𝐶𝐴′ ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐵
̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐴
×
×
= −1
̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅
𝐶′𝐵


Réciproquement, supposons que

̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵
̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐶

×

̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶
̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴

̅̅̅̅̅
′𝐴
𝐶
× ̅̅̅̅̅
𝐶 ′𝐵

𝐷2

𝐶

𝐷1

= −1

Si 𝐷1 ∥ 𝐷2 ∥ 𝐷3 alors il n’y a rien à faire.
Sinon, notons 𝐾 l’intersection de 𝐷1 et 𝐷2
et 𝐶 ′′ l’intersection de (𝐶𝐾) et (𝐴𝐵).
𝐷1 , 𝐷2 et (𝐶𝐾) sont concourantes donc d’après le point précédent :

𝐴′
𝐵

𝐴



𝐾
𝐶′

𝐶 ′′

𝐵

𝐷3

̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅̅
𝐶 ′′ 𝐴
×
×
= −1
̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅
𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅̅
𝐶 ′′ 𝐵
Donc :

̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅̅̅
𝐶 ′′ 𝐴
=
̅̅̅̅̅
𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅̅
𝐶 ′′ 𝐵

Donc 𝐶 ′ = 𝐶 ′′ donc 𝐷3 = (𝐶𝐾) et les droites sont effectivement concourantes.
DÉF-3. L’image réciproque du groupe {𝐼𝑑, −𝐼𝑑} par 𝜙 est un sous-groupe distingué de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé
groupe des translations et symétries centrales 𝑻𝑺𝑪(𝓔). 𝑇𝑆𝐶 (ℰ ) ⊂ 𝐻𝑇 (ℰ ).
Preuve :
𝐼 (𝐸 ) = {𝐼𝑑, −𝐼𝑑} est un sous-groupe de 𝐺𝐿(𝐸 ) :



𝐼 (𝐸 ) ≠ ∅
𝐼𝑑 ∘ 𝐼𝑑 = −𝐼𝑑 ∘ −𝐼𝑑 = 𝐼𝑑 et 𝐼𝑑 ∘ −𝐼𝑑 = −𝐼𝑑 ∘ 𝐼𝑑 = −𝐼𝑑

𝐼 (𝐸 ) est distingué dans 𝐺𝐿(𝐸 ) car 𝐼𝑑 commute avec tout. Or, l’image réciproque par un morphisme
de groupes d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
DÉF-4. L’image réciproque du groupe {𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸 ), det(𝑓⃗) > 0} par 𝜙 est un sous-groupe distingué
de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe affine positif 𝑮𝑨+ (𝓔).
Preuve :
𝐺𝐿+ (𝐸 ) = {𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸 ), det(𝑓⃗) > 0} est un sous-groupe de 𝐺𝐿(𝐸 ) :


𝐼𝑑 ∈ 𝐺𝐿+ (𝐸 ) car det(𝐼𝑑 ) = 1




−1 ) = det(𝑓 ) > 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
det (𝑓⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔−1 ) = det(𝑓⃗) det (𝑔
det(𝑔⃗⃗)

𝐺𝐿+ (𝐸 ) est distingué dans 𝐺𝐿(𝐸 ) car, si ℎ⃗⃗ ∈ 𝐺𝐿+ (𝐸 ), det(ℎ⃗⃗) > 0 et 𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸) :
det(𝑓⃗)
−1 ∘ ℎ
−1 ) det(ℎ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ ∘ 𝑓⃗) = det (𝑓
⃗⃗) det(𝑓⃗) =
det (𝑓
det(ℎ⃗⃗) = det(ℎ⃗⃗) > 0
det(𝑓⃗)
Or, l’image réciproque par un morphisme d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
DÉF-5. Soit 𝑋 une partie de ℰ. 𝐺𝑋 = {𝑓 ∈ 𝐺𝐴(ℰ ), 𝑓(𝑋) = 𝑋} est un le groupe des transformations
affines qui conservent 𝑿.
Preuve :



𝐼𝑑 ∈ 𝐺𝑋 car 𝐼𝑑(𝑋) = 𝑋
si 𝑓 et 𝑔 sont dans 𝐺𝑋 alors 𝑔−1 aussi et 𝑓 ∘ 𝑔−1 (𝑋 ) = 𝑓 (𝐸 ) = 𝐸

Distingué ?
Non. Voici un contre-exemple pour le groupe du carré :
𝐺𝑐𝑎𝑟𝑟é = {𝐼𝑑 = 𝑟0 , 𝑟90 , 𝑟−90 , 𝑟180 , 𝑠𝐼𝐾 , 𝑠𝐽𝐿 , 𝑠𝐴𝐶 , 𝑠𝐵𝐷 }
Considérons la translation de vecteur 𝑢
⃗⃗ ≠ ⃗0⃗ et appliquons
au carré la composée 𝑡−𝑢⃗⃗ ∘ 𝑟90 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ : le carré n’est pas
conservé.

𝑋

COR-5. Soit 𝑋 une partie finie de ℰ. Alors tous les éléments de 𝐺𝑋 ont un point fixe en commun, et
étudier 𝐺𝑋 revient à étudier les applications linéaires associées.
Preuve :
Considérons 𝑂 l’isobarycentre des 𝑛 points de 𝑋, et 𝑓 ∈ 𝐺𝑋 .
𝑛

1
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑥 = ⃗0⃗
𝑛 𝑖
𝑖=1

𝑛

1
⃗⃗) = ⃗0⃗
𝑓⃗ (∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑥 ) = 𝑓⃗(0
𝑛 𝑖
𝑖=1

𝑛

1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑖 ) = ⃗0⃗
∑ 𝑓⃗(𝑂𝑥
𝑛
𝑖=1

𝑛

1
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓(𝑂)𝑓 (𝑥𝑖 ) = ⃗0⃗
𝑛
𝑖=1

donc 𝑓(𝑂) est isobarycentre des 𝑓(𝑥𝑖 ) qui sont ici les 𝑥𝑖 (pas forcément dans le même ordre, ce qui
n’importe pas puisque les coefficients sont tous égaux) puisque 𝑓 ∈ 𝐺𝑋 . Donc 𝑓(𝑂) = 𝑂 et 𝑓 possède
donc un point fixe (au moins).
EX-4. Montrer que le groupe 𝐺𝑇 d’un triangle quelconque 𝑇 = {𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 } est isomorphe au groupe
symétrique 𝔖3 .

Solution :
Il suffit de lister les applications affines qui conviennent :







𝑠1 la symétrie d’axe (𝑂𝐴1 ) parallèlement à (𝐴2 𝐴3 )
𝑠2 la symétrie d’axe (𝑂𝐴2 ) parallèlement à (𝐴1 𝐴3 )
𝑠3 la symétrie d’axe (𝑂𝐴3 ) parallèlement à (𝐴1 𝐴2 )
𝑠2 ∘ 𝑠1
𝑠1 ∘ 𝑠2
𝐼𝑑

EX-5. Décrire 𝐺𝑃 le groupe du parallélogramme 𝑃 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} de centre 𝑂.
Solution :

𝐽

𝐵

Déjà le centre 𝑂, en tant qu’isobarycentre, est
un point fixe. Ainsi 𝐺𝑃 est isomorphe à 𝜙(𝐺𝑃 ).

𝐼
𝑂

⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗).
Plaçons-nous dans la base (𝑂𝐴
𝐴


𝐷

𝑐
)
𝑑

Pour que 𝑓(𝐵) = 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 𝑜𝑢 𝐶 𝑜𝑢 𝐷 il faut que la partie linéaire soit forcément de la forme :
(



𝐿

𝐾

Pour que 𝑓(𝐴) = 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 𝑜𝑢 𝐶 𝑜𝑢 𝐷 il faut que la partie linéaire soit forcément de la forme :
0
±1 𝑐
(
) 𝑜𝑢 (
±1
0 𝑑



𝐶

𝑎
𝑏

0
𝑎
) 𝑜𝑢 (
±1
𝑏

±1
)
0

𝑓 doit être bijective donc la matrice de rang 2 donc il reste les 8 possibilités suivantes :
𝑀1 = (

1 0
−1
) 𝑜𝑢 𝑀2 = (
0 1
0

𝑜𝑢 𝑀5 = (

0 1
0
) 𝑜𝑢 𝑀6 = (
1 0
−1

0
−1 0
1 0
) 𝑜𝑢 𝑀3 = (
) 𝑜𝑢 𝑀4 = (
)
−1
0 1
0 −1
−1
0 −1
0 1
) 𝑜𝑢 𝑀7 = (
) 𝑜𝑢 𝑀8 = (
)
0
1 0
−1 0

Il reste à vérifier que les 8 applications affines définies par chaque matrice et par 𝑓(𝑂) = 𝑂 laissent
bien 𝑃 globalement invariant.
On obtient :
𝑓1 = 𝐼𝑑 𝑓2 = 𝑠𝑂 𝑓3 = 𝑠(𝐵𝐷) 𝑓4 = 𝑠(𝐴𝐶) 𝑓5 = 𝑠(𝐼𝐾) 𝑓6 = 𝑠(𝐽𝐿) 𝑓7 = 𝑠(𝐵𝐷) ∘ 𝑠(𝐼𝐾) 𝑓8 = 𝑠(𝐴𝐶) ∘ 𝑠(𝐼𝐾)

II.

Le groupe des isométries

𝐸 est ici un espace euclidien.
DÉF-6. L’image réciproque du groupe 𝑂 (𝐸 ) par 𝜙 est un sous-groupe de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe des
isométries affines 𝑰𝒔(𝓔). Une isométrie affine conserve donc les distances.

On note et on nomme :
• 𝐼𝑠 + (ℰ ) = {𝑓 ∈ 𝐼𝑠 (ℰ ), det(𝑓⃗) = 1} le sous-groupe distingué des déplacements de ℰ
• 𝐼𝑠 − (ℰ ) = {𝑓 ∈ 𝐼𝑠 (ℰ ), det(𝑓⃗) = −1} l’ensemble des antidéplacements de ℰ
Preuve :
𝑂(𝐸 ) est un sous-groupe de 𝐺𝐿 (𝐸 ) donc 𝐼𝑠 (ℰ ) est un sous-groupe de 𝐺𝐴(ℰ ) en tant qu’image
réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. Une isométrie affine conserve les distances car :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = ‖𝑓⃗(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)‖ = ‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝐴𝐵
𝑓 (𝐴)𝑓 (𝐵) = ‖𝑓(𝐴)𝑓(𝐵)
De même pour 𝐼𝑠 + (ℰ ).
Soit 𝑖 dans 𝐼𝑠 + (ℰ ) et 𝑓 dans 𝐺𝐴(ℰ ) :
det(𝑓⃗)
−1 ) =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
det (𝑓
∘ 𝑖 ∘ 𝑓 −1 ) = det (𝑓⃗ ∘ 𝑖⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓 −1 ) = det(𝑓⃗) det(𝑖⃗) det (𝑓
det(𝑖⃗) = det(𝑖⃗) = 1
det(𝑓⃗)
Donc 𝐼𝑠 + (ℰ ) est un sous-groupe distingué de 𝐼𝑠(ℰ ).
REM. Classification des isométries du plan affine euclidien :
Déplacements
𝑟𝑂,𝜃 (𝜃 ≠ 0[2𝜋])

𝐼𝑑


Type
Points fixes

𝑂

Antidéplacements
𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠Δ
𝑠Δ
Δ
∅ (𝑜𝑢 Δ)

𝑡𝑢⃗⃗ (𝑢
⃗⃗ ≠ ⃗0⃗)


Les déplacements du plan sont : l’identité / les rotations / les translations.
Les antidéplacements du plan sont : les symétries axiales (orthogonales) / les symétries glissées
(=symétries-translations).
composé par

𝐼𝑑

𝑟𝑂1 ,𝜃1

𝑡𝑢⃗⃗

𝑠𝐷

𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷

𝐼𝑑

𝐼𝑑

𝑟𝑂1 ,𝜃1

𝑡𝑢⃗⃗

𝑠𝐷

𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷

𝑟𝑂2 ,𝜃2

𝑟𝑂2 ,𝜃2

𝑡w
⃗⃗⃗⃗ si 𝜃1 + 𝜃2 = 0[2𝜋]
𝑟Ω,𝜃1 +𝜃2 sinon

𝑟Ω,𝜃2

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ

𝑡𝑣⃗⃗

𝑡𝑣⃗⃗

𝑟Ω,𝜃1

𝑡𝑢⃗⃗+𝑣⃗⃗

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ

𝑡𝑢⃗⃗+𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷

𝑠𝐷′

𝑠𝐷′

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ

𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷′

𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷′

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ

𝑡2𝐷𝐷′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

si 𝐷 ∥ 𝐷′

𝑟𝐷∩𝐷′,2(𝐷,𝐷
̂′ ) sinon
𝑡2𝐷𝐷′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑣⃗⃗ si 𝐷 ∥ 𝐷′
𝑟Ω,2(𝐷,𝐷
̂ ′ ) sinon

𝑡2𝐷𝐷′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑢
⃗⃗ si 𝐷 ∥ 𝐷′
𝑟Ω,2(𝐷,𝐷
̂ ′ ) sinon
𝑡2𝐷𝐷′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑢
⃗⃗+𝑣⃗⃗ si 𝐷 ∥ 𝐷′
𝑟Ω,2(𝐷,𝐷
̂ ′ ) sinon

REM. Classification des isométries de l’espace affine euclidien :

Type
Points fixes

𝐼𝑑


Déplacements
𝑟Δ,𝜃 (𝜃 ≠ 0[2𝜋])
𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃
Δ
∅ (𝑜𝑢 Δ)

𝑡𝑢⃗⃗ (𝑢
⃗⃗ ≠ ⃗0⃗)


𝑠𝑃
𝑃

Antidéplacements
𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝑃 𝑟Δ,𝜃 ∘ 𝑠𝑃
𝑃
𝑂

Les déplacements de l’espace sont : l’identité / les rotations / les translations / les vissages
(=rotations-translations).
Les antidéplacements du plan sont : les symétries planes (orthogonales) / les symétries glissées
(=symétries-translations) / les symétries-rotations.


𝑰𝒅

𝒓𝑫𝟏,𝜽𝟏

𝒕𝒖⃗⃗⃗

𝒕𝒖⃗⃗⃗ ∘ 𝒓𝑫𝟏,𝜽𝟏

𝒔𝑷

𝒕𝒖⃗⃗⃗ ∘ 𝒔𝑷

𝒓𝑫𝟏,𝜽𝟏 ∘ 𝒔𝑷

𝑰𝒅

𝐼𝑑

𝑟𝐷1,𝜃1

𝑡𝑢⃗⃗

𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑟𝐷1,𝜃1

𝑠𝑃

𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝑃

𝑟𝐷1 ,𝜃1 ∘ 𝑠𝑃

𝒓𝑫𝟐,𝜽𝟐

𝑟𝐷2,𝜃2

𝒕⃗𝒗⃗

𝑡𝑣⃗⃗

𝒕⃗𝒗⃗ ∘ 𝒓𝑫𝟐,𝜽𝟐

𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑟𝐷2,𝜃2

𝒔𝑷′

𝑠𝑃′

𝒕⃗𝒗⃗ ∘ 𝒔𝑷′

𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝑃′

𝒓𝑫𝟐,𝜽𝟐 ∘ 𝒔𝑷′

𝑟𝐷2 ,𝜃2 ∘ 𝑠𝑃′

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃2
Δ ∥ 𝐷2

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃1
Δ ∥ 𝐷1

𝑡𝑢⃗⃗+𝑣⃗⃗

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃1
Δ ∥ 𝐷1

𝑡𝑤
⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃2
Δ ∥ 𝐷2

PROP. Si 𝑋 est une partie finie de ℰ, on note 𝐼𝑠 (𝑋) l’ensemble des isométries de ℰ conservant 𝑋.
• 𝐼𝑠 (𝑋) est un sous-groupe de 𝐼𝑠 (ℰ ) et 𝐼𝑠 + (𝑋) est un sous-groupe distingué de 𝐼𝑠 (𝑋).
• Si 𝐼𝑠 − (𝑋) ≠ ∅ alors pour tout 𝑠 ∈ 𝐼𝑠 − (𝑋) l’application 𝐵𝑠 : 𝐼𝑠 + (𝑋) → 𝐼𝑠 − (𝑋) définie par
𝐵𝑠 (𝑓) = 𝑓 ∘ 𝑠 est bijective et 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 + (𝑋 )) = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 − (𝑋)).
• Si 𝑋 est finie, alors l’isobarycentre 𝑂 de 𝑋 est fixe pour tout élément de 𝐼𝑠(𝑋).
• En dimension 2 : si 𝑋 est fini de cardinal 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, alors 𝐼𝑠 + (𝑋) est fini ; de plus
𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 + (𝑋)) ≤ 𝑛 et 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠(𝑋)) ≤ 2𝑛 (cas d’égalité ssi 𝑋 est un polygone régulier).
Preuve :
1. 𝐼𝑠(𝑋) est un sous-groupe de 𝐼𝑠(ℰ ) et 𝐼𝑠 + (𝑋) = 𝐼𝑠 + (ℰ ) ∩ 𝐼𝑠(𝑋 ) est un sous-groupe
distingué de 𝐼𝑠(𝑋).
2. Rem : 𝐼𝑠 − (𝑋) peut être vide (par exemple pour un parallélogramme). Soit 𝑠 ∈ 𝐼𝑠 − (𝑋).
Montrons que 𝐵𝑠 est bijective.
Montrons que 𝐵𝑠 est injective : si 𝑓 ∘ 𝑠 = 𝑓 ′ ∘ 𝑠 alors 𝑓 = 𝑓 ′ en composant par 𝑠 −1 .
Montrons que 𝐵𝑠 est surjective : si 𝑔 ∈ 𝐼𝑠 − (𝑋) alors (𝑔 ∘ 𝑠 −1 ) ∘ 𝑠 = 𝑔 et 𝑔 ∘ 𝑠 −1 ∈ 𝐼𝑠 + (𝑋 ).
𝐵𝑠 est injective et surjective donc bijective.
3. Déjà montré.
4. Si 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝑋 ) = 1 alors 𝐼𝑠(𝑋) est infini (toutes les rotations de centre 𝑋 par exemple).
Si 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝑋 ) ≥ 2 alors 𝐼𝑠 + (𝑋) ne contient que 𝐼𝑑 et les rotations de centre 𝑂 qui sont au
nombre au maximum de 𝑛 (car chaque déplacement est déterminé par 𝑓 (𝐴) = 𝐵).
Donc : 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 + (𝑋)) ≤ 𝑛.
Puis d’après le 2 : 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠(𝑋)) ≤ 2𝑛.

À ajouter éventuellement ?

EX-6. Décrire 𝐺𝑃 le groupe des isométries qui conservent un triangle (discuter selon sa nature).
Solution :


Si 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} est équilatéral, alors 𝐺𝑇 = {𝐼𝑑, 𝑠(𝐴𝑂) , 𝑠(𝐵𝑂) , 𝑠(𝐶𝑂) , 𝑟0,2𝜋/3 , 𝑟0,−2𝜋/3 } est



isomorphe à 𝔖3 .
Si 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} est isocèle en 𝐴, alors 𝐺𝑇 = {𝐼𝑑, 𝑠(𝐴𝑂) } est isomorphe à 𝔖2 .



Si 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} est quelconque, alors 𝐺𝑇 = {𝐼𝑑} est isomorphe à 𝔖1 .

THM-6. Soit 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} un tétraèdre régulier, et 𝐶 = {𝐴1 , 𝐶2 , 𝐵1 , 𝐷2 , 𝐵2 , 𝐷1 , 𝐴2 , 𝐶1 } un cube.
Le groupe 𝐺𝑇 est isomorphe à 𝔖4 et le groupe 𝐺𝐶 est isomorphe à 𝔖4 × ℤ/2ℤ.
Solution :
http://www.fichier-pdf.fr/2016/12/31/isometries-tetraedre-et-cube-sandrine-caruso/isometries-tetraedre-et-cube-sandrine-caruso.pdf

𝐺𝑇 =

𝐼𝑑 (4 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑠)
𝑠[𝐴𝐵] , 𝑠[𝐴𝐶] , 𝑠[𝐴𝐷] , 𝑠[𝐵𝐶] , 𝑠[𝐵𝐷] , 𝑠[𝐶𝐷] (2 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡𝑠 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑠)
𝑟(𝑂𝐴),±2𝜋 , 𝑟(𝑂𝐵),±2𝜋 , 𝑟(𝑂𝐶),±2𝜋 , 𝑟(𝑂𝐷),±2𝜋 (1 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡 𝑓𝑖𝑥𝑒)
3

3

3

3

𝑠[𝐴𝐵] ∘ 𝑠[𝐶𝐷] , 𝑠[𝐴𝐶] ∘ 𝑠[𝐵𝐷] , 𝑠[𝐴𝐷] ∘ 𝑠[𝐵𝐶] (𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡𝑠 é𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔é𝑠 2 à 2)
𝑠[𝐴𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐷] , 𝑠[𝐴𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐶] , 𝑠[𝐴𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐷] , 𝑠[𝐴𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐵] ,
𝑠[𝐴𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐶] , 𝑠[𝐴𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐵] (𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 4)
{
}

𝐺𝐶 = 𝐺𝑇1 ∪ 𝐺 ′

𝑜ù

𝐺 ′ = {𝑓 ∘ 𝑠𝑂 , 𝑓 ∈ 𝐺𝑇1 }

= 24 𝑖𝑠𝑜𝑚

III.

Applications : réseaux / frises / pavages
1. Réseaux

DÉF-7. Le réseau de ℝ3 associé à la base (𝑢, 𝑣, 𝑤) est l’ensemble ℤ𝑢 + ℤ𝑣 + ℤ𝑤.

EX-7. Que peut-on dire des rotations laissant invariant un réseau de l’espace euclidien ?
Preuve : X-ENS T3 p.333

2. Frises
DÉF-THM-8. Un groupe de frises du plan est un sous-groupe de 𝐼𝑠 (ℰ2 ) tel que le sous-groupe des
translations qu’il contient soit isomorphe à ℤ. On appelle alors frise toute partie 𝑋 de ℰ telle que
𝐼𝑠(𝑋 ) soit un groupe de frises. Il existe 7 sortes de groupes de frises.
Preuve :
Si 𝑡𝑢⃗⃗ est le générateur du groupe des translations du groupe de frise, les isométries possibles sont :






les translations suivant le vecteur 𝑢
⃗⃗ de la frise ;
la symétrie par rapport à un axe Δ de direction 𝑢
⃗⃗ (un seul axe possible, sinon la composée de
deux axes donnerait une translation de direction orthogonale à 𝑢
⃗⃗) ;

les symétries d’axes Δ orthogonaux à Δ ;
les symétries glissées (composées de 𝑠Δ et de 𝑡𝑘𝑢⃗⃗ ) ;
les demi-tours de centre 𝑂 un point de Δ.

Les 7 groupes de frises sont alors les groupes engendrés par :
𝐹1 = {𝑡𝑢⃗⃗ }

~ℤ

𝐹2 = {𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠Δ }

~ℤ

𝐹3 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠Δ }

~ℤ × 2ℤ

𝐹4 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠Δ′ }

~ℤ × 2ℤ

𝐹5 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠𝑂 }

~ℤ × 2ℤ

𝐹6 = {𝑠Δ′ , 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠Δ }

~ℤ × 2ℤ

𝐹7 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠Δ , 𝑠Δ′ }


~ × 2ℤ × 2ℤ
2

1 isométrie
2

2 isométries

2

3 isométries

DÉF-THM-9. On appelle groupe de rubans la généralisation d’un groupe de frises à une frise
imprimée des deux côtés (on peut ajouter comme isométries possibles : la symétrie par rapport au
plan de la frise, les symétries centrales centrées sur Δ). Il existe 31 groupes de rubans.

3. Pavages
DÉF-10. Soit 𝐺 un sous-groupe de 𝐼𝑠 + (ℰ2 ). On dit que 𝐺 est un groupe de pavage s’il existe un
compact connexe d’intérieur non vide 𝑃 de ℰ2 tel que :
⋃ 𝑔(𝑃 ) = ℰ2

𝑖𝑛𝑡(𝑔(𝑃 )) ∩ 𝑖𝑛𝑡(ℎ(𝑃 )) ≠ ∅ ⟹ 𝑔 = ℎ

𝑒𝑡

𝑔∈𝐺

THM-10. Les seuls polygones réguliers qui pavent le plan sont les triangles équilatéraux, les carrés et
les hexagones réguliers.
Preuve :
Soit un polygone régulier à 𝑛 côtés, d’angle au centre 𝛼 et d’angle au sommet 𝛽.
𝛽 =2×

𝜋−𝛼
𝜋 (𝑛 − 2)
=𝜋−𝛼=
2
𝑛

𝛽
𝛼

Or, pour que le plan soit pavé, il existe 𝑘 ∈ ℕ tel que : 𝑘𝛽 = 2𝜋
𝑘

𝜋(𝑛−2)
𝑛

= 2𝜋

𝑘𝜋 (𝑛 − 2) = 2𝜋𝑛
𝑘 (𝑛 − 2) = 2𝑛
𝑘 (𝑛 − 2) = 2(𝑛 − 2) + 4
(𝑘 − 2)(𝑛 − 2) = 4
Autrement dit 𝑛 − 2 doit diviser 4, donc 𝑛 − 2 = 1 𝑜𝑢 2 𝑜𝑢 4 donc 𝑛 = 3 𝑜𝑢 4 𝑜𝑢 6.
REM-10. On peut montrer que le plan est pavable par :
• tout triangle ;
• tout quadrilatère ;
• un hexagone de côtés parallèles deux à deux ;
• un pentagone dont deux côtés sont parallèles.

THM-11. À conjugaison près, il n’existe que 5 groupes de pavage.
http://www.fichier-pdf.fr/2016/12/31/pavages-reguliers-du-plan-sandrine-caruso-ref-berger/pavages-reguliers-du-plan-sandrine-carusoref-berger.pdf



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