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série Ln BAC MATH & SC .pdf


Nom original: série Ln BAC MATH & SC.pdf
Auteur: Youssef

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Prof : Belhadj

Fonction Ln

Exercice N°1 :
I.
Soit g la fonction définie sur [1, +∞[ par g(x)=Ln(2x) +1 – x .
1) Dresser le tableau de variation de g.
2) a) Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans [1, +∞ [ une solution unique α.
Vérifier que 2<α<3.
b) En déduire le signe de g(x).
II.
Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x)=Ln(2x)+1.
On désigne par ( ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormée ( O, , ).
1) Dresser le tableau de variation de f.
2) Tracer la courbe ( ).
=1
3) Soit ( ) la suite définie par
= ( )
a) Montrer que
1
.
b) Montrer que la suite ( ) est croissante .
c) En déduire que la suite ( ) est convergente et calculer sa limite.

Exercice N°2 :
Soit (

) la suite définie sur

par

=

( ))

(1

.

1) Calculer à l’aide d’une intégration par parties .
2) a) Montrer que ( ) est décroissante.
b) Montrer que

; 0

. En déduire que (

) est convergente.

3) a) Montrer à l’aide d’une intégration par partie que
b) Calculer

=

+

(

)

.

.

c) Montrer que

0

d) Déterminer lim

.

et lim

.

Exercice N°3 :
1) Soit la fonction g définie sur ]0, +∞[ par g(x) =

( )

a) Etudier les variations de g.
b) En déduire que

( )

]0, +∞[ , Ln(x) < x et que

2) Soit la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) =
On désigne par ( ) sa courbe représentative dans le plan
( O, , ) .
a) Montrer que f’(x)= 2+

( )

et que f’(x)

( )

.

.

muni d’un repère orthonormé

0.

b)
c)
d)
e)

Dresser le tableau de variation de f.
Montrer que la droite : y= 2x est une asymptote oblique à ( ).
Etudier le position relative de ( ) et .
Montrer qu’il existe un seul point A de ( ) tel que la tangente T à ( ) en A est parallèle à
.
3) Tracer ( ) , et T.
4) Soit I=

( )

.

a) Montrer que I = .

Prof : Belhadj Youssef

Tél : 52 876 473

Prof : Belhadj

Fonction Ln

b) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par ( ) , l’axe ( O, ) et les droite
d’équations x=1 et x=e .

Exercice N°4 :
Soit la fonction f et g définie sur
( )=

(

)

par :

]0, +∞[

et g(x) = Ln(1+x) – ( x –
( )=0
1) Montrer que f est continue sur
.
2) a) Etudier le sens de variation de g.
b) Calculer g(0) et en déduire que pour tout x
c) Montrer que

0 , Ln( 1+x )
(

d) Montrer que x>0 ,

x–

)

+

0 , Ln( 1+x )

)

x–

+

.

.
+ .

e) En déduire que f est dérivable à droite en 0.
3) Soit la fonction h définie sur
par h(x) =

(1 + ) .

a) Etudier les variations de h et en déduire le signe de h sur
.
b) Dresser le tableau de variable de f.
4) Soit la fonction φ définie sur
par φ(x) = f(x) – x .
Soit ( ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, , ) du plan.
Etudier les variations de φ et tracer ( ).

Exercice N°5 :
Soit la fonction f définie par : f(x) =
1)
2)
3)
4)

( )
( )

si x>0 et f(0)=0

Déterminer .
Etudier la continuité de f et la dérivabilité de f en 0.
Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit h définie par h(x) = ( ) .
a) Montrer que h est dérivable sur ]0,1[ et calculer h’(x).
b) En déduire la primitive de f sur ]0, 1[ qui s’annule pour .

5) Soit g la restriction de f a l’intervalle I=]e , e [ .
a) Montrer que g est bijective de I sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Montrer que
c) Expliciter g

Prof : Belhadj Youssef

] 0, [ ; 1 – 4y< 1

< 1 – 2y

(x).

Tél : 52 876 473


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