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série Ln BAC MATH & SC .pdf


Nom original: série Ln BAC MATH & SC.pdf
Auteur: Youssef

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Prof : Belhadj

Fonction Ln

Exercice N°1 :
I.
Soit g la fonction définie sur [1, +∞[ par g(x)=Ln(2x) +1 – x .
1) Dresser le tableau de variation de g.
2) a) Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans [1, +∞ [ une solution unique α.
Vérifier que 2<α<3.
b) En déduire le signe de g(x).
II.
Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x)=Ln(2x)+1.
On désigne par (𝐶𝑓 ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormée ( O, 𝑖, 𝑗 ).
1) Dresser le tableau de variation de f.
2) Tracer la courbe (𝐶𝑓 ).
𝑈0 = 1
3) Soit (𝑈𝑛 ) la suite définie par
𝑈𝑛+1 = 𝑓 (𝑈𝑛 ) ; ∀𝑛 ∈ ℕ
a) Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ ; 1 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 𝛼 .
b) Montrer que la suite (𝑈𝑛 ) est croissante .
c) En déduire que la suite (𝑈𝑛 ) est convergente et calculer sa limite.

Exercice N°2 :
Soit (𝐼𝑛 ) la suite définie sur ℕ∗ par 𝐼𝑛 =

𝑒
𝑥(1
1

− 𝐿𝑛 (𝑥))𝑛 𝑑𝑥 .

1) Calculer 𝐼1 à l’aide d’une intégration par parties .
2) a) Montrer que (𝐼𝑛 ) est décroissante.
b) Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ∗ ; 0≤ 𝐼𝑛 ≤

𝑒 2 −1
2

. En déduire que (𝐼𝑛 ) est convergente.
1

3) a) Montrer à l’aide d’une intégration par partie que ∀ 𝑛 ∈ ℕ∗ ; 𝐼𝑛 +1 = − 2 +

( 𝑛+1 )
2

𝐼𝑛 .

b) Calculer 𝐼2 .
c) Montrer que ∀ 𝑛 ∈ ℕ∗ ;

0 ≤ 𝐼𝑛 ≤

𝑒²
𝑛+1

.

d) Déterminer lim𝑛 →+∞ 𝐼𝑛 et lim𝑛 →+∞ 𝑛𝐼𝑛 .

Exercice N°3 :
1) Soit la fonction g définie sur ]0, +∞[ par g(x) =

𝐿𝑛 (𝑥)
𝑥

a) Etudier les variations de g.
b) En déduire que ∀ 𝑛 ∈ ]0, +∞[ , Ln(x) < x et que
2) Soit la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) =

1−𝐿𝑛(𝑥 )

𝑥²
2𝑥²+𝐿𝑛 (𝑥)
𝑥

>

1−𝑥
𝑥²

.

.

On désigne par (𝒞) sa courbe représentative dans le plan 𝒫 muni d’un repère orthonormé
( O, 𝑖, 𝑗 ) .
a) Montrer que f’(x)= 2+

1−𝐿𝑛(𝑥 )
𝑥²

et que f’(x) > 0 .

b)
c)
d)
e)

Dresser le tableau de variation de f.
Montrer que la droite 𝜟 : y= 2x est une asymptote oblique à (𝒞).
Etudier le position relative de (𝒞) et 𝜟 .
Montrer qu’il existe un seul point A de (𝒞) tel que la tangente T à (𝒞) en A est parallèle à
𝜟.
3) Tracer (𝒞) , 𝜟 et T.
4) Soit I=

𝑒 𝐿𝑛 (𝑥)
𝑑𝑥
1
𝑥

.
1

a) Montrer que I = 2 .

Prof : Belhadj Youssef

Tél : 52 876 473

Prof : Belhadj

Fonction Ln

b) Calculer l’aire 𝓐 de la partie du plan limitée par (𝒞) , l’axe ( O, 𝑖 ) et les droite
d’équations x=1 et x=e .

Exercice N°4 :
Soit la fonction f et g définie sur ℝ+ par :
𝑓 (𝑥 ) =

𝐿𝑛(1+𝑥)
𝑥

𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]0, +∞[

et g(x) = Ln(1+x) – ( x –

𝑓 (𝑥) = 0
1) Montrer que f est continue sur ℝ+ .
2) a) Etudier le sens de variation de g.

𝑥²
2

+

𝑥3
3

)

b) Calculer g(0) et en déduire que pour tout x ≥ 0 , Ln( 1+x ) ≤ x –
c) Montrer que ∀ 𝑥 ≥ 0 , Ln( 1+x ) ≥ x –
1

d) Montrer que x>0 , − 2 ≤

𝐿𝑛(1+𝑥 )−𝑥
𝑥²

𝑥²
2

𝑥²
2

+

𝑥3
3

.

.
1

𝑥

≤ −2 + 3 .

e) En déduire que f est dérivable à droite en 0.
𝑥
3) Soit la fonction h définie sur ℝ+ par h(x) = 𝑥+1 − 𝐿𝑛(1 + 𝑥) .
a) Etudier les variations de h et en déduire le signe de h sur ℝ+ .
b) Dresser le tableau de variable de f.
4) Soit la fonction φ définie sur ℝ+ par φ(x) = f(x) – x .
Soit (𝒞) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, 𝑖, 𝑗 ) du plan.
Etudier les variations de φ et tracer (𝒞).

Exercice N°5 :
Soit la fonction f définie par : f(x) =
1)
2)
3)
4)

−1+𝐿𝑛 (𝑥)
𝐿𝑛²(𝑥 )

si x>0 et f(0)=0

Déterminer 𝐷𝑓 .
Etudier la continuité de f et la dérivabilité de f en 0.
Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
𝑥
Soit h définie par h(x) = 𝐿𝑛(𝑥 ) .
a) Montrer que h est dérivable sur ]0,1[ et calculer h’(x).
1

b) En déduire la primitive de f sur ]0, 1[ qui s’annule pour 𝑒 .
5) Soit g la restriction de f a l’intervalle I=]e , e²[ .
a) Montrer que g est bijective de I sur un intervalle J que l’on précisera.
1

b) Montrer que ∀ 𝑦 ∈ ] 0, 4 [ ; 1 – 4y< 1 − 4𝑦 < 1 – 2y
c) Expliciter g −1 (x).

Prof : Belhadj Youssef

Tél : 52 876 473


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