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Chapitre 1: Ondes et vibrations

Généralités sur les vibrations
l- Introduction
ll existe deux tYPes de mouvements
un autre
DéPlacemen't d'un Point à
:

-

.Lemouvement(évolutiondusystème)s'effectueautourd'uneposition

d'équilibre'

du mouvement
ll- Détermination de l'équation

:

Pourétudierunphénomènephysique,nousdevonsleformulermathématiquementà
nous dérivons les
qui définissent le système, ensuite
travers tous les p"ràÀetr"s
le temps' la
l'évolùtion du système dans
quidéfinissent
mouuement
instant'
équations du
o" retrouver l'état du système à tout
p"rr"t
nou,
êquations,
ces
de
résorution

l|existep|usieursméthodespou,t"dérivationdeséquationsdumouvement:
de
méthoded'équiliore,méthoded'énergieetlaméthodedeLagrange'
J,équiribre : elre est basée sur'apprication
metnËol
par
ra
exempre
un
Etudions
loi de Newton'
t3""i1,:".;:,n.Jru:lniqu"
la seconde

simpre (masse

'"
nég|ige|amasseduressortet|esfrottàments.

arri rrihre verticalement'
verticalement,
- ressort)\ quivibre

t.2(1

on

7

t- ---+-l"o-l- H
-g-- -- ,ft,;;:-

/o n'h;- ê1,u'L'bru

de ra
de raideur du ressort ; x(r) : coordonnées
m : vareur de ra mass e; K..constante
'.longueur à vide du ressort , a/ :
d,équilibr ê i Io
masse par rapport J i" porition
allongement du ressort à
Etat d'équilibre

27,:A

:

- P*f*: d

*#

:

mg- k(A'l+x)

:

m'i

-

mg

-

kLl

ce qui donne finalement

-

â
-|F''

mg-

kA,l

:

m'i

En mouvement:
utilisons la2"d loide Newton


|-Ê,:

4

l'équilibre'

l<x

:Q

[+
Çlflr y

m'i(t)+kx(t):g

C,estuneéquationdifférentieltelinéairedusecondordre,ellecaractériseun
mouvement oscillatoire harmonique'
on Pose klm

:

af,, ce qui donne

-^

s

1b

ao :
système.
@o

:

ii(r) + ro2ox(t):0
constituant le
ne dépend que des paramètres
,[klm pulsation propre, elle

2rlTo

:2r.f

Z, : Période Propre des oscillations

/: fréquence

des oscillations

lll- Formalisme de Lagrange

:

Le nombre de degré de liberté (nddl)

1-

:

et suffisant
(grandeurs) indépendantes nécessaire
c,est le nombre de paramètres
pour repérer la position d'un systeme

mécanique

2-

Coordonnées

génératisées

o

II y''

A

est
point maté rie| M,par rapport à un repère,
La position dans l,espace d,un
ou
par la connaissance du rayon vecteur Ofu:7'
parfaitement déterminée à l'instant r

/

de trois coordonnées :
dans un
dans un repère cylindrique i r'?'Q
x,y,z dans un rePère cartésien ; r,0,2

-ri:;tJ,:i:ll"

porition à r,insta nt t + dt,il faut connaitre sa vitesse

n

:

a

oirrû (par

exempledxldt,dyldt,dzldtquel'onpeutnoter:"'i'z);donclemouvementdecepoint
par une fonction des variable.s (x'y,z)t'i":'t-)-

matériel peut être caractérisé
à des
peuvent correspondre à des longueurs ou
.Les coordonnées généralisées
;
angles que I'on note :

qi

'Lesdérivéesdq;ldt:q,sontappeléesvitessesgénéra|isées,demême|es
:
généialisées sont définies par *qildt2 Qi'

accélérations
par 3N "
I'espace à 3 dimensions est repérer
Un systèm" o" OJnii *"tetiels dans
par la ' ' '
de degré de riberté nddr est donné
coordonnées généra'rsées. Donc re nombre

t

relation

:

nddl

:3N-,R

au système'
R : nombre de contraintes imposés

3-

Lagrangien et équations de Lagrange

:

par une fonction 4 appelée
Tout système mécanique à n ddl est caractérisé
Lagrangien
:
L(qt,Q2, " "',Q,,Qt'42' " "'Qn't) L(qi'qi't)
de moindre action comme suit :
L,évolution du système obéit au principe

Toutsystè'"unévolutionentrelesinstantS/r9t/zSuitlecheminquirendl'integrale
suivante stationnaire (minimale)'
l2

s:

I L(qi,qi,t)dt
t1

Lagrange'
Cette condition conduit aux équations de

*(#)-ffi:o
-2

système'

ces

mouvement du
constituent les équations du
n équations différentietles
à partir
J'intebr.tions que |on détermine

z, ,onii'àiË,

Leur sorution générare contient
problème'
des conditions initiales du

4-

ExPression du Lagrangien

'

a-Lagrangiend,unsystèmedansunchampdérivantd'unpotentiel:
pas du temps (gravitation'

potentielle ne dépend
Dans ce cas le potentiel ou l,énergie
totale est constante'
élastique,..) ; les toi*r ront conservitït:ï:";"rgie
énergie potentielle'
avec I: énergie cinétique et U:
(équations du mouvement)
Les équations de i"g'"ng"

d

oL\-4.:o

(

dt \ôàt )

i:1,.....,fi

|

ÔQi

n est la nombre de ddl'

à des forces extérieures (|'énergie
Lagrangien d,un système soumis
totale n'est Pas conservée) :
le

b.

potentiel varie dans
à des forces extérieures' le
soumis
est
système
le
Lorsque
temps, on Peut alors écrire :

U(q,t): U(q)+Uu,(q,t)

U(q): Potentiel ProPre du sYstème
U*,(q,t): potentiel dû aux forces extérieures'
Le lagrangien s'écrit donc

:

L -- T(q)

L:

- U(q) - U,,'(q't)

L-Uu,(.q,t)

Les équations de Lagrange

*(%)-ff:o
ou bien

d

(gL\-4-*ôu'ry(q't) :o
dq

dt\ôî)

finalement

a

V,
.

Siq

: x (coordonnées

oq

(Pt\-+--ôIJ't(q't)
-aq ôq
)\64

d'espace linéaire)

-

ôU't@'Ù

:

FQ)

dépendantes du temps
Correspond aux forces extérieures
g (Coordonnées angulaires)
. Siq

:

- u'"âf't' : M^(Êrit)

par rapport à un axe de rotation (a)'
correspond au moment de forces extérieures

-3

lV.Domainesénergétiquesdesvibrations:
ConsidéronslepotentielU(x)d,unsystèmemécaniqueàlddlpossédantdes

configuration suivante'
minimas et des maximas avec la

& s r*3
it"
ii

t

ir

i
I

}*

,*{

t
a

)1***

t
I
i

*.*

{

"F

&

f

tÂr*)

\
-ê*
tw

*d"

1*

s

&*f

r?û
fe"n &** p*r c*
æ #*. *ls?.-l* #'**
11

s

ksh^--ft'--,l

ffi:rsil
?${*

{

@


â

:

par T E - rJ@), cette grandeur est
L,énergie cinétijue du système est donné
ne peut avoir lieu que dans Ie domaine
positive ou nulle, par conséquent le mouvement
:
bu f' U(x), étudions les deux cas suivants

t

-Lesystèmepossède|,énergieEr:Lemouvementn'estpossiblecarElest
toujours inférieur à U(x)'
droite qui représenle Ez coupe la courbe
Le système possède l'énergie Ez : La
et c respectivement, le mouvement n'est
u(x) en trois points A, B, c d,abscissé,

-

",b,

possiblequesilesystèmeévolueentreaetbou,decàl'infinie;A'Betcsontappelés

:

0)'

points d'arrêt (J E (Z:
^^r soumis à une force qui le
-:- :,il est
mais
Au point a le systeme à une vitesse nulle,
position'
sa uit"rr" r^1llu'" à nouveau, à cette
déplace vers les x positifs jusqu,en b où
les
revient vers a, ainsi' le système oscille entre
sous l'action de la force (négative), il

o"'T;:::i*aame

de ra force
possède une vitesse nu*e, mais sous
'action
jusqu'à I'infini'
déplace vers les x croissants

-q !

î, ir ,e

J

-

Points d'équilibres :
initiale en
si |e système est p|acé sans vitesse
nul|e,
est
:
Ë
:
-,,uforce
x
êt
xt
En x
xt êt xz sont des points 0.,éOtfO-:.:*,^
l'un de ses points, il reste immobile'
xt il sera soumis à une force F
'
si le système est écarté de la position d'équilibfê un
minimum de potentiel est
à
qui
correspond
point
tout
donc,
VêfS.xt
qui le ramènera
.
un point d'équilibre stable'

.Silesystèmeestécartéde|apositionx2,ilserasoumisàuneforcequi
un maxima

don., tout point qui correspond à
l,éloignera de sa position d;équilibre ,
potentiet est un point d'équilibre instable'

._l

-5-

de


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