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Chapitre 2: Ondes et vibrations

libre
oscillations non amortis en régime
:,1

SYstème masse-ressort (1 ddl)

1-

7:
:

i'

lm
L'énergie cinétique du système est:
: U (Jk* Ug
o L'énergie potentielle en dynamique
l'énergie
NB : On prend comme origine de
d'équilibre'
potentiette gravitationnelle la position
o

:

Ut

':1

!k(x+Ll)2

Us: -mgx
U(x): ltrçx+Ll)2-mgx

:

:

et l'énergie
0, le système est en équilibre
0
potentiette est minimale, par conséquent" ff)'=o
mg)Â: 0
k(x+ A/) - mg
#1":o: 0 k(x + LI) condition d'équilibre
klJ-mg=
En

x

:

u

# :

Q

c,esila condition.d,équilibre,e//e esf identique
: b''
de la seconde loi de Newton: !,F
déveloPPant U(x):

Il(x)

-

à /'express ion trouvée avec l'application

: t*' * !l,u' + kLtx - msx
: T*' + (kLtx - ms)x * !t,'tt'
: !t*t +,tu

L:T-ry: lmirt -!kx2-cte
L'équation de Lagrange:

a

(o/-\-ry-:o*

dt\ai)

on pose

a"

:

Jttm on obtient

Ôx

i

mï+kx:o

(l) + azox(t) :

0

mouvement
second ordre caractéristique d'un
Equation différentielle linéaire du
de cette équation s'écrit :
osci*atoire harmonique, ra sorution
x(r) : xo cos(a;ol + E)

x, : amplitude de I'oscillation
ar, : Pulsation ProPre
rp : Phase initiale'

xoe|Qsontdéterminésàpartirdesconditionsinitialesduproblème.
autrement'
Remarque : on peut écrire la solution
:
bsinaot ou sous forme complexe:
+
x(t) :xosin(arrf + $; x(t) aaos@ot
x(t) : xog('ot+'t) '

-ll -

Principe de conservation de l'énergie :
L'énergie totale: Etot : T + U -- lm i' + !t'*'
On remplace dans
nOUS aVOnS. x : xocos(otot+ E); et x: -xo.a,osin(arof+ E);
I'expression
- 'U,o,: de l'énergie totale.
t@o1)xlcos
!mx2"af"rin;çt",r+q)+ ltu.z"cosz(at,t+q): |mxf,az'sin2(c'tot+Q)+ le ressort)'
masse
entre la
9t
L'énergie totale est constante (il ya échange d'énergie

Pendule de torsion (système en rotation à 1 ddl):

2-

Son inilieu O à un point fixe Or
ll est constitué d'une barre homogène, suspendue en
de la barre par
par un filvertical oor de constante de torsion c, le moment d'inertie
rapport à I'axe de rotation OOt
,g, elle Sera Soumise à un couple de torsion
angle
d'un
barre
la
tourner
fait
Si on

estJ'

Mrco,

:

-C0.
nous avons: -ôUlôï

,,-

: M ---+ U : -l uae :

u(0):

trr'

-l-ceae,

donc:

énergie Potentielle de torsion

f : ll à'
L - T- U : +J à" - lce'

Energie cinétique de rotation :
Le Lagrangien'.
Equation de Lagrange:

*(H-% :0*J0+C0:0
on pose

oo:

JelJ on obtient
o (t) * af,\(t)

:

Q

d'un mouvement
Equation différentielle linéaire du second ordre caractéristique
:
s'écrit
oscillatoire harmonique, la solution de cette équation
0(t1 :0ocos(aot+rP)

Energie totale de torsion

E:T+U:

:

+J à'z + !Ce2: lLelolsin2(aot+E)+tCe'"cos2(arof

+q): tnlelsin2

L'énergie totale est constante'
Théorème de HuYgens :
(A') est égal au moment d'inertie par
Le moment d'inertie J par rapport à une droite
gravité G tel que (A)//(A')' auquel on
rapport à une droite (a) qui passe par le centre de
ajoute la quanlité m&
Jt(t,) : J461+ m&

,J
\,

-2 -

3-

Circuit oscillant

:

Soit le circuit constitué d'une bobine de self I et d'un condensateur de capacité C,
placées en série avec un interrupteur. On charge le condensateur, puis on ferme
I'interrupteur. Le courant qui circule dans le circuit est déterminé par la loi des mailles :

EU,

:0-UL+Uc:0

Ur: Lfi;Uc:

qQ)tC

'**tl'*: :0o--#

L

rffi*+'

on pose:

a":

#.#':o
11,[LC (pulsation propre)

&i +af,i:0
dt2

équation différentielle du 2nd ordre, Sa solution est:

i(t):iocos(aot+q)
Le condensateur se charge et se décharge avec une période To :2rclato
sin(a",t + <P)
La charge q(r)
Le voltmètre placé aux bornes du condensateur indique une tension

: $

jo ,inb;+o)
Il(r\:ry:
" \'./
ct)o ----.-- v- r '
c
llya génération d'un signal oscillatoire dans le circuit.
Bilan énergétique :
A un instant donné, l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur est:
Eerect:

lcrrç1

c l--D

: ![a'tù

-l-| ---t,
F
a


et l'énergie magnétique dans la bobine est:
EmaB

- !u'çt1 : lr

l'énergie totale dans le circuit :
E,t,"t * E*osn
!Li2"cos2(a"t + A)

:

*++4

à'

(,)

sin2(aot +

q)

E

:

!tilcos2(aiot + Q) + !tilsin

ilya échange d'énergie au cours du temps entre la self et le condensateur.
Remarque : nous pouvons remarquer l'analogie entre l'énergie cinétique et l'énergie
magnétique,

r:!*i'

;r: ll e'

,+ EmaE:

Tt àt

et entre l'énergie potentielle élastique et l'énergie électrique.

u: lrx'?;u: lce'z*

-3

E,r",t:

*tn'

'

\

Analogie

circuit électrique

système rectiligne

système en rotation

masse: ln

moment d'inertie:-/

cte de rappel: /r

cte de torsion: C

capacité: C

déplacement:x

dép angulaire: 0

charge: 4
_o1

vitesse linéaire:
pulsation:
énergie

vitesse angulaire: i)
fr

a": ,li

,,:

J+
cinétique: f : lm

énergiepot:

L'ifriæl$

i

U:+lo'

ic2

T:+JE
u

: +ce2

self:

I

intensité;i

':q

0J^: 1JLC
énergie magnt: Emas:
énergie élect:

Eetect

iq

ue.

_tl

>

à'

: i tq'

létudé de I'analogie se rencontre dans, le calcul de I'impédance dans les

systèmes électromécan

ir


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