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ChaPitre 3: Ondes et Vibrations

en régime libre
amortis
linéaires
o;;ili;teurs

1-

lntroduction

:

I'effet des
onappelleoscillationsamorties,cellesdontl,amp|itudediminuedans|etemps
dissipation de l'énergie sous
r"
i
oo
est
ceci
jusqu,à ce qu'elle .l.nnur",
résistent au
de frottement
de trottemànt, ces forces
forces d,amortissement ou

mouvementdusystèmeetel|essontdirigésdanslesenscontrairedumouvement.

Définition d'un frottement visqueux

2-

:

l|apparaitaucoursdumouvementd,unsolidedansunfluide,l'intensitéde|aforce
valeur' augmente avec
proportionnelle à r" uiL$. t:,1"J,:.1-"lsa

de
de frottement esr
caractérisée par une constante
fluide
du
den'site
la
et
l,augmentation de la viscosité
frottement
_i

a.

Jd

: _ai

visqueux'
a : constante de fSottement

3-

Oscillations mécaniques

:

Soit|,osci|lateursur|afigure,constituéd,unemaqsereliéeàunbâtifixeparun
constante de frottement
L, ul un amortisseur de
raideur
de
constante
de
exercég
ressort
masse subit une force de rappelle -ftx
mouv"rn"ni,-tâ
du
cours
visqueux d; au
piston dans un
par le ressort et une force de {rottement
fluide (amortisseur;'
*
Par la loi de Newton:
m ï--' m ï +u
u
--'

du
-a i due au déplacement

i +lç : g "-,i +ft i +$x:0
i:
:
nià
-td
U,T
- * pâI le formalisme de Lagrange: L : T - (J' avec T : ** i' ;U:
: Fu'U)
l'équation de Lagran ge" *(#) - #
:
nous avon s F"r,(t) -a x

lkxz

de l'équation de Lagrange:
nous obtenon. àânt par application
+# ; +fix o'
mi +kx -a
:' af,' cequiconduit à l'équation suivante
z't'&
on pose:
+2e x +af,x: 0
d'amortissement visqueux'
ro, : pulsation propre; s : coefficient

:

4-

ir'ï
ç:

:

ç

i

Oscillations électriques

:

d'une résistance R' d'une self
soit le circuit RIC série cOnStitué

k'
placés en série avec un interrupteur
puis on ferme
On charge le condensateur'
qui circule dans le
l'interrupteur, le courant
est tel que :
circuit d'après la loi des mailles

-f -

I

et d'une capacité

c

t#*ni+|[iat:o
,dri *ndt*Li:0-L

"dFrtr4y'C'

Ê!*+4*$i
dt2 L dt LL

dt

:o

,:*etrirf,=ll'Ee

onPoSe:
l'oscillateur mécanique'
Equation anatogue à celle de

amorti
Résolution de l'équation de I'oscillateur

5-

ll s'agit de résoudre l'équation

:

; +2e ic +af,x: o

constants, prenons |a
du second ordre à coefficients
différentielle
équation
une
c,est

formemathématiquesuivantecommesolutiongénéra|ede(1)

x(t): P"t

On remPlace dans (1)' on trouve
'r: 12

*2er

+

a2o:

0

du
différentielle dont la solution dépend
l'équation
de
càractéristique
c'est l'équation
discriminant À'
L' : t2 - ar2,, trois cas se Présentent'
.lescomplexes
1"rcas:A'< Q + Ç 1ûJ6
ractr
deux
admet
caractéristique
L'amortissement est faible, l'équation

rt:
12=

-e

+1lc'fi:7

-e-1,[a'z,A

avec

:

-el-iÛ)

: -e-ia

' -- ,[Q:7
: Ate^'lt al'
linéaire des deux solutions xt(/)

La sofution générale est la combinaison

xz(l) :

.L

A2srzt

x(f): Alsrrt+A2erzt

,:i::,i",;,)j;I:ï,',
qui Peut se mettre sous la forme

x(/):

ae-"tcos(at+tP)

au bout d'un temps
constant'
beux amplitudes consécutives est
T est la Pseudo-Période
1 û)o, donc: T > To'
et ar

r.J;:::i!,i"

i".'ure

r

: 2nta' cependant' I'intervalle z séparant

: ,tæ:7

-Lacouverturedesamplitudesestunecourbed'équation:x(r)

-l-

:

Ae

"'.

.

- Le rapport entre deux

ampt','oilT::"i1""'_:t,'
,xn
6

: eT: tn1t';)

expérimentalement' il permet
est le décrément logarithmique, il peut être mesuré
l'amortissement'
une mesure simple et pratique de I'importance de
zn,t CaS : A, ;' Q ---+ t ) (Do
racines réelles
L'amortissement est fort et l'équation (3) admet deux

lt:-€*,[7-"f,:-e+0
12:-€-p:æ:-e-B
on pose

la solution générale dans ce cas est:

x(t):
:
x(t) :

Alsrtt *A2srzt
AleeÊ+P)t 1trrn?e-?)t

+ Aze-F')
"-et(A'eAt
le système revient à sa
Dans ce cas pas d'oscillations, le régime est apériodique;
plus au moins long selon
position d'équilibre sans oscillations au bout d'un temps

l'importance de I'amortissement'

3'*'cas:A' :

Q

- t:0)o

:

double r -t' et la solution
C'est le régime critique, l'équation (3) admet une racine
Prend la forme
r Q) e-''(a + bt)
oscillatoire et le
Physiquement, ce cas présente la limite entre le mouvement
retrouve son état d'équilibre en
mouvement sans oscillations. Dans ce cas, le système
un minimum de temPs.

'

:

-1

6-Energiedissipée(osci||ationsélectriques):
L,énergien,estplusconservée,e|IeestdissipéepareffetJoule.Partonsde
l'équation

différentielle

,#

* ni+

[!ia,:

o

rfi*tn+Ri:o
de l'équation par: dq
Multiplions les deux membres

:

idt

rfi-iat+faau+Ri2dt:o
L.idi+

[-aaa:

-Ri2dt

allri'* ![a\:

-Rizdt

$t!* * ![a']:

-Ri2

$n,",: -Riz
C,estl,énergiedissipéeparunitédetemps,lesigne-désigneunediminutionouune
perte d'énergie.
dans une résistance par effet Joule'
Ri2 est ra puissance dissipée

7-

Energie dissipée sur une période

:

Nous avons dE: -Rizdt
période (pseudo-période) est
donc la perte d'énergie sur une
6E_

:

_lro^,r0,

on suppose que
faible (pour simplifier les calculs),
Dans le cas d,un amortissement
donc
e-"tvarietrès peut sur une période)'
q(t) * qocos(at+rP)
ainsi: i(t) = -q"asin(col + q)

'.T','nz1ar/ +E).dt

6E-:-Rq'or'lu

:

Itlt -LRo'^rt
Jg2-'"

cos2(cr.r/ +

q)f'dt

'
at * !Rq'"r'f cos2(cor + @'dt
: -LRo'"r'
f'
L
Jo
'"
'v
2
: - l Rq'"a'T : -+ RqZt'r' T

finafement'
u

E-:

-nRqza

-q

8-

Coefficient de qualité d'un oscillateur

:

La qualité d'un oscillateur et d'autant meilleur lorsque l'énergie max E qu'il peut
emmagasiner est grande devant les pertes, on définie pour cela le coefficient de qualité
d'un oscillateur par:

Q
Eperdue'.

: zr-E-*-lu peraue

I

énergie perdue sur une pseudo-période

Eru* r trtr'q'.
ce qui conduit à:

o:
Remarque : le coefficient de qua

La

lfté;"r,l"f

ie au décrément logarithmique ô par la

relation

a:#

9-

Fonction de dissipation

:

Le travail 6Wyfourni par la force de frottement

pôur un déplacement

7

F, pendant un intervalle de temps dr

est
dï4/f

:È"fr : -aiai :

-av2dt
donc la quantité de chaleur dQ perdue par le système est

dQ:
soit Po

chafeur'

:#

av2dt

t^ puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de
Pa

:

dv2

Par définition, la fonction de dissipation est égale à la demi-puissance dissipée:
Pol2.

Do :

D,:

lav2

- Pour un système en translation , F, : -#
- Pour un système en rotation: Mo : -i
ce terme est ajouté au 2nd membre de l'équation de Lagrange.

( ar.\ ôL - ôDo
d'\ù )- 6q - - ôî
* En translation:
+(9 - # : -+
* En rotatio
+(#) - # : -+
a

^,

-r-


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