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ChaPitre 4: Ondes et Vibrations

forcé
Oscillations linéaires en régime

Introduction

l-

r^,'ann
I'application d'une
dans un système à cause de
apparaissent
forcées
Les oscillations
périodique ou
constante, sinusoidale,
puuictr"
excitation
cette
excitation extérieure.

ttîï::fion

s'exprime comme :
o" Lagrange pour un système forcé
es-\ - ry. : F(t) F(t) : force extérieure

ilat\aà)

oq

-

i

D(

+2e

i +azox

t\

+

afl

suivant
Soit le système mécanique
m i +u ic +l*: F(t)

:

?*

CË1Fcu

o(/)

r

-oulecircuitRlCalimentéparuneforceélectromotricee(r)
I
z ,r
L q +R q

*Tq:

e\t)

q +2e à +az"q:
Pour un Pendule de torsion
t'0 +a e +Ce

à +ze e +a!e

:

. -(t\

ï:

2

o(t)
Cttl

M(t)

: 4P:

o(/)

Doncpourtrouverlessolutionsdusystèmeforcé,nousdevonsrésoudredes

(3)'
équations de la forme (1), (2) et

ll-

L'excitation est constante

:

une excitation
L,oscillateur linéaire soumis à
La fonction o(r) est une constante.
ordre avec un
différentiete *néaire du second
équation
par
une
régit
est
constante
à ra sorution de
équation est obtenue en aioutant
""tt"la solution particulière'
l'équation sans second membre'

t"":u

iiili;rËllrÏo"

.Lasolutiondel,équationsanssecondmembreestcalculéede|amêmemanière
qu'en régime transitoire' entre I'instant
qu,en régime liore, cetie solution n'intervient
permanent est atteint'
initiat (r 0) et I'instant où le régime
mécanique:
Exemple : Etude du cas de !'oscillateur

:

*ï+oi+kx:Fo
i +2e x +a2ox: +

le' cas '. € I

(ùo

La solution générale s'écrit

:

-t-

3

avec: a)

r(t) = ae-êt cos(at + Q) + xc

lJî;::l?

J Jr.,,,"

:

a2o

- €'

x" avant de s'immobiliser à
autour de ra position d'équiribre

celle-ci.

*":J+:+
m0'o
À

2r^rCas,

'.€:0)o

x(t):

limr--x(/)

*

(a+bt)e-'t +x,

x"

3"^rcaslt:a)o
x(t)

limr--x(/) * x"

:

avec: B

(ae\t + 6n-9t7s-"t + x"

{-

o"t

:

-

a)2o

t



lll-

L'excitation est sinusoÏdale

O(/)
Dans le cas d'une excitation sinusoÏdale
régit par I'équation différentielle

ï +2e i

+a2ox

:

:

:

est
Acos{lt' l'évolution de I'oscillateur

AcosÇùt

Q est la Pulsation imPosée

système osc*re à ra pursation imposée
Y par rapport.à l'excitation o(/)'
avec une amplitude x) elun déphasage
qL l'excitation, elle prend la forme suivante :
La solution sera de même n"tur"
x(t): X,rzcos(Ot-Y)

î;,!ï';3ilîJJffi,,#ï:Ïi::i:tteint,

re

Pourretrouverl,amp|itudeXvetledéphasageYde|aréponse'ilestcommode
:
d'utiliser la représentation complexe
(D(/) :,4cosf)f -* O(/)

:

Aeiat

prend la forme suivante
Par conséquent, la solution
x(t) : Xlasi(ot-v)

comme suit:
L'équation différentielle se réecrit
ï +2e ic +af,x: Aeia'

onremplacel,expressiondelasolutionx(r)danscetteéquation

>t-

Ç)

- çzyrsit;t-v)

:

+i2eQXvsl(aFv) + alXvetgt-Y)
t1.eÇùXue-iY

-ç>2Xue-it"t

(al

-

(a2o

-

truiar

+alXve-iY -- A

+ j2eÇt)X1ae-iv :

Çt2

(a'o

:

-

Çt2

Q2)Xu

+ j}ett)Xu

+

/

:

i(2e})Xu:

:

'4(cosY +i sinY)
+7'4 sinY
'4 cosY

AeiY

partie imaginaire
Identification : partie réelle et

I r""-ÇL2)xu: IcosY
1 2e{2xu: I sinY/
expressions'
On somme les carrées des deux
(2ett)z)*,
t@Z çr')2 +

-

: trz

finalement

: Atl@Z - çtYi (2eÇt)2
: zetll(c't|- O2)' donc
et le rapport terme à terme : tanY
Y : arctan(ù6?"4^,
\2xu

-

Etude de la courbe XPr(O)

:

!!#:_zaa*ffffiy

4r#:

Q

+ Ç):

rrfo

-

2e2

à l,absence d'excitation, nous Voyons
0 n,est,pas une solution, el|e correspond
un max' il faut que:
nien Oe cette solution que, pour avoir

a

:

'"

'

:.

"

"9! lLta

Anofiirr*r.,f Cc:+tr
err,fic-È- À flcx

$ra*r-U*aonar(^)

û

L

\Âlc

ê=ë I

5-.

I

(uort;,n-'r4hÉ

)

Lorsquel,amortissementesttrèsfaible(s<0,laro),lemaximumàlieupour:ç):t)o
LacourbeXM:^ç').présenteunpicaiguenÇl:@oilacourbeestd'autantplus
aiguequel'amortissementestfaible,cephénomènes,appel:|aRésonance.
X'rz(f') est
La valeur du maximum de la fonction

Xlamax

:

onvoitbienquesiediminue,alorsXlamaxaugmente.
liryXumax --) co phénomène de résonance

7-

Représentation

ilt

graPhique:

ço n

gqt
êi{

1(

t\

\/

{i:

{Â-3

llq

Etude du déPhâsâ$e Y
tanY: 2eAl@7-Q2)

:

liq tanY

--+ Q+

;

Y

:

0*

faible, la réponse du système est en
lorque la fréquence de l'excitation est très
phase avec

I'excifateur'

.!imu tany -+ co -

Ç)-c.l

-

y: +
o

proche de la fréquence propre du système' la
lorque la fréquence de l'excitation est
réponse du système est en phase avec l'excitateur'
Y tt
lim tanY -' 0C)-o

-

:

relativement à la fréquence
>nce de l'excitation est très importante
lorque la
en oppos ition de phase
propre du système, la réponse du système est

rréquen:".::1"":t:î:'::

|orsquee*O,tanY-+Q+pouro<ooettanY-*0-pour(ù2'i.o'donclaphase
passesubitementde0àzquandÇ)traverselafréquencealo.
Représentation g raPhique'
{

I

t

io'
tr

s4 &#

rf
rl

lf f

t"/un/r

":#**'"æ"

*-æ

lV-

Circuit RLC

forcé

._

p6-Vt

SoituncircuitRLCsêriesoumisàunetensionsinusoÏda|eL{2e(t) : e ocosÇ)/'" ;ri 7

:

est régit par l'équation
L'évolution de l'oscillateur
idt
+ ni-

Lfi

t''

: e(t)

àI

c

i {L

^:^,.-^ïÀaro

-

11

fpl-l

"erc)

1

Al,,excitatione(r),laréponsedusystèmeestlacirculationd'uncourantélectrique
r(r)

.

y par rapport à r'excitation e(r)'
Laréponsedusystèmeenrégimepermanent(courant)oscilleàlapu|sation
oepr.,asage

io uùn
imposée Ç), avec unâampritude

i(t) :iocos(Qr - Y)

Pourrésoudrel,équationdifférentieltedusystème,onutiliselareprésentation
complexe

"

e(t) : eocosÇ)/

---'

:

e(t)

i(t):;osi@t-v)

i(t):i"cos(Qr-Y)*

on remplace

eoeiQt

L

(1)'
(2) dans l'équation différentielle

e(t)
iLai4)+Ri(r) * fuitt>:
: e(t)
- +/La-

&W#*\

I :1:x

$lt'to

[R

Zi(t):

ête)

e(t)

";ç

continue
la loi d'Ohm en courant
expression analogue à

fc4

Z: R+iQa- $t
7

*z*lrei
et

Y:
i(t):

LuG)

par identification

nous

&Lv

Le"_ -J_

arctan

#

I

.

"

€o
-

lzl

i,(Ç)) :

à : opour Ç) :
avons une résonance

estmaximum PourrQ-

-)o>'

S-o-uila'-v)
: __L-en4ç)r
ret ist -" - tzl
lLl4'

I^

io

\L-O6è

: lZlerY

avec

R2 +

o

(IO

ctlo

'5-

.1

- za)'

: fi :

Ê-

{Do

-

i

oei(Qt-Y)

t

tt

pouli

f) : alo l*ini(r) -' *

*t'
Èo

g

Ws

: ao,tanY:0 - Y :

PourQ

est nul)
0. (à la résonance, le déphasage

Méthode des imPédances

V-

:

:
lmpédance d'une résistance
Rt(/) -- e(t)

1-

È

e(t) _ R

"^: iA
Z^: lZolrin lZ^l: RetY:0

€tt"/

e(r) et t(t) sont en Phases'

lmPédance d'une self

2-

uI
i(t)

:

;osi6u-Y), ce qui donne:

di\!) : e0)
-\/
dt

iLAiQ)

:

e(t)

,,: #:iLçr:lZrlaY lz'l :

donc
iU)

:

ffiei(at-tt2)

à e(r)'
i(r) est en retard de rl2 par rapport

3-''

(/te)
(.4.t

:

lmPédance d'une capacité

'

-6-

LÇ)

elY

:

rc12

1l

,
i(t) = ioei(et-y), ce qui donne:

Zr:!!I:76|
i@

CJr@dt:r(t)

#rfO :
..r :
:- -iô

e(t)

lZrl"iv

donc

i(t) :

lzrl

#"ty:-r/2

eoÇ{)si(at+xrz7

finalement, i(/) est en avance
de n/2par rapport à e(t).

4-

Composition des impédances

- En série

:

:

f"t:lz,
i

schéma

-En parallèfe:

5-

*:>i

Cas du circuit RLC série

i(t)

:

^, r)

- +1/eÇ

/ea jLa*tr *n
e(r)

:

IR+i(La_

w5
€ (vl

*)litt)
CQ

L'impédance électrique d'un
circuit est une grandeur complexe,
définie par re rapport
il",'
Ë.
I
,."
ou,"
.o' pr exp ri m e,e
3r r;:y^:é?":i:"î :

îï1ff

5 î:* :'1,"1;,;

Z:n +ix; R: résistance ;X

J*

"ie-

,e*t.n."

vf-

coefficient de quafité d'un circuit
RLC
' La tension aux bornes de ra self à ra résonance
:
f) o,o est:
et(roo)

: Lato.i(iao)

or:
i(@o)

:

solP

donc:

er(oto)
on pose

:

*""

*+*

:

donc

o"

,î*n;frï

u" surtension

",, oo,.nllii!,: "?;(coerricienr

de euar*é ou coefficienr

' La tension aux bornes du
condensateur à fa résonance
c) =

ec(a.):i(9")Cao

I -_La
: =f :
Eea;e"

ec(roo)

à la résonance

:

et(oto)

VIt-

:

aro

êst:

Qeo

Qeo

ec(rrto)

:

e",

o

Bande passante d,un
circuit résonant
'Pfus R est faible'

:
pfus la courbe de
résonance est aigue
est grand ; (o) presente
,nl-rimetrie ,u," un" àige et re coefficient de quarité
bande de fréquences.
"roo
'affin d'estimer I'acuite oe ia-Ào;",.à,
B = Qz - Or teffe que
p".r"ntroe rargeuer
C)1
," ,nuent Oe part eiàl;ru"bande
de ,-oet correspondent à :

* ffiï',l"

"i",

,

i(Qr)

:

i(ç)2):

I

"",T:il,lï;"#ffi :îi.';:ïH:ii,["lilç:i,'r""ff
P(Or):p(ez):

:[:,,,carréde,,amp,itude,

P(oro)

à4o*'e'/e
ù,

n"*f

,/î

fu t rJo

."rr:ï:iiï'."!',0"

"!v

2.

la bande passante
-8, nous devons chercher
io = io"*-

à fa résonance io74^ :
e6/R, avec
€o/ R2

+

t.

\t-

io:

c€ QUi nous donne

(Le_

I r,
R2:(Ltù' ca,

7fu1,

:"

e^

JIn

+ZC)-#:*
:8

Ç)r

et.C)2.qui,

l"cas: LO-

!_ :+R
L{ù2_ÀCI_à -0

: LCl-- 7f, : _n
L(ù2+RO-â:0

2"m"ces

A,:R2*4+
C)-

n+

In2iT
c
Y--

A: R2 *4t
R-ÏLlR2+4L

___u.- t :

ouf):

-R+,[^z*F

,

donc

R+

ou

f) : -R-q+47

R2+a$

B:AC):C)z_f),:4
L

C)r et Oz sont appelées Les fréquences
de coupure.

Remarque:

.oto

: l/JLe et AO :

R/L, le rapport

n'est autre que le coefficient de qualité

I
RCao

e,

donc.

a:+

La qualité d'un oscillateur est d'autant
meiileure que le circuit est sélectif.

f-

vlf

La

Puissance absorbée par un circuit résonant
puissance
absorbée par un circuit est donnée par

:

P(r) e(r)i(t)
Donc r'énergie absorbée par te circuit pendant
un temps
dE : e(T)i(t)dt
et l'énergie absorbée sur une période
Zest:

ô-o :
avec e(t)

:

eo

cosf)/ et i(r)

:

io cos(C)r

6E
nous

avons:

cosacosô

:

6E

:

dt est

pr
J

_

re(t)i(t)dt

y)

eoioJt.orOr"o s(et

-y)dt

]lcos(c + b) +cos(a _ ô)]

:

?-ole-lJtcosqzei

6E:

t -y)dr + [r cosvat]

ffrcosv

6E: s!-gzcosy
J2 J2
6E:

eeî.i16.T.cosy

La puissance absorbée par le circuit

A la résonance

y:

P:

Urî.ie11'.COSV

0, nous avons donc un maximum d,absorption
d,énergie.

*)- q

:



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