Exercices terminale S révisions .pdf


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Exercices de rappel et d’approfondissement de
terminale S
Teloud
20 janvier 2017
On notera avec (*), (**), (***), les exercices d’une difficulté respectivement :
normale, difficile, très difficile. On pourra utiliser la calculatrice.
Exercice 1. (*) Il fallait bien faire des probabilités.
Lors d’un jeu, Sort demande à Staz de lancer un dé à 100 faces à 28 reprises.
A chaque fois que le score du dé tombe entre 1 et 7 inclus, un membre de l’équipe
de Staz meurt, et si le score est entre 8 et 100 rien ne se passe. Soit X la variable
aléatoire comptant le nombre de morts dans l’équipe de Staz.
1. Déterminer la loi de X.
2. Déterminer l’espérance de X.
3. On dit qu’un maitre du jeu est méchant s’il invente des jeux tuant plus
de deux personnes en moyenne. Peut-on affirmer dans ce jeu que Sort est
méchant ?
4. Quelle est la probabilité pour que personne ne meure dans l’équipe de
Staz ?
5. Si l’équipe de Staz n’est constituée que de Staz, Salim et Ka, calculez la
probabilité pour que toute l’équipe de Staz meure lors du jeu.
Exercice 2. (*) Paradoxe de la dichotomie.
Dans l’antiquité grecque, un philosophe du nom de Zénon avait découvert
un "paradoxe" que nous pouvons résumer de la façon suivante :
On imagine un objet en mouvement, à vitesse constante, allant d’un point
A vers un point B en suivant une ligne droite. Pour parcourir la distance AB,
l’objet doit d’abord parcourir la moitié de la distance AB. Le temps de parcours
de cette distance est noté t0 . Puis, une fois rendu à mi-distance, il doit parcourir
la moitié de la distance restante. Il parcourt cela en un temps t1 . Puis une
fois rendu à cette nouvelle distance, il devra parcourir la moitié de la distance
restante... Etc.
Alors Zénon affirme que, puisque chaque temps ti est non nul, la somme de
ces temps est infinie, et donc l’objet n’atteindra jamais le point B.
1. Calculer en fonction de n la somme :
1
Sn = +
2

2 3
n
1
1
1
+
+ ··· +
2
2
2

Indication : Se souvenir des suites géométriques.
1

2. En déduire le calcul de limn→∞ Sn.
3. Sur quel argument est-ce que Zénon se trompe ? Expliquer pourquoi la
conclusion est fausse et pourquoi le paradoxe n’en est pas un. (Indication :
S’intéresser à t0 + t1 + t2 + · · · ).
Exercice 3. (**) Introduction aux racines de l’unité.
On définit le polynôme P par :
P (x) = x3 − 1
1. Trouver une racine réelle évidente de P . On la notera x0 . En déduire les
réels a, b et c tels que :
P (x) = (x − x0 )(ax2 + bx + c)
2. En s’aidant de l’écriture précédente, trouver toutes les racines de P dans
l’ensemble C des nombres complexes.
Notons x1 la racine dont la partie imaginaire est strictement positive, x2
la racine dont la partie imaginaire est strictement négative.
3. Calculer le module de x1 , le module de x2 , puis trouver l’argument de x1 .
En déduire l’argument de x2 . Indication : on rappelle que :
cos(π − x) = − cos(x) ; cos(π + x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x) ; sin(π + x) = − sin(x)
Écrire alors x1 et x2 sous forme trigonométrique.
4. Trouver une rotation du plan qui permute les points dont les affixes sont
les racines de P .
5. (Bonus) En remarquant que :
∀k ∈ Z

:

e2ikπ = 1

En déduire une autre manière de trouver l’ensemble des solutions complexes de l’équation :
x3 = 1
Exercice 4. (**) Intégration par parties.
Le but de cet exercice est de calculer l’intégrale suivante :
Z 2
ln(x)dx
1

Si cette intégrale n’est pas facile à calculer c’est parce qu’on ne connait pas de
primitive du logarithme.
Soient F , G, des fonctions bien définies et dérivables sur un intervalle [a, b]
et f , g des fonctions vérifiant :
F 0 = f ; G0 = g
2

1. Exprimer la dérivée de F × G en fonction de F , G, f et g.
2. En déduire l’expression de :
Z

b

f (x) × G(x) dx
a

en fonction de F (a) × G(a), F (b) × G(b) et

Rb
a

F (x) × g(x)dx

3. En écrivant ln(x) = 1 × ln(x), déduire de la formule précédente l’intégrale
voulue. (On ne cherchera pas de primitive au logarithme).
Exercice 5. (***) Applications bijectives et réciproques.
Cet exercice est un exercice d’approfondissement.
Quelques définitions : Soient E et F des ensembles. Soit f : E → F une
fonction.
• On dit que f est une application de E dans F si : Pour tout x ∈ E, f (x)
est défini. Autrement dit une application est une fonction dont l’ensemble
de départ est contenu dans son ensemble de définition (ou égal).
Supposons à présent que f est une application.
• On dit que f est injective si : Pour tout x et y ∈ E tels que x 6= y, on a
f (x) 6= f (y). De manière équivalente, f est injective si dès que f (x) = f (y)
alors x = y.
• On dit que f est surjective si : Pour tout y ∈ F , il existe au moins un
élément x ∈ E tel que f (x) = y.
• On dit que f est bijective si f est injective et surjective.
• On dit que f admet une réciproque s’il existe une application g : F →
E telle que :
∀x ∈ E : g ◦ f (x) = x

et

∀y ∈ F : f ◦ g(y) = y

On dit alors que g est réciproque à f .
Dans la suite de l’exercice on se propose d’illustrer ces définitions dans différentes situations. Attention : il faut bien regarder les ensembles de départ et
d’arrivée considérés.
1. Les fonctions f1 , f2 et f3 suivantes sont-elles des applications injectives,
surjectives, bijectives ?
f1 : R →
x 7→

R
x

;

f2 : R
x

→ R+
7→ x2

;

f 3 : R?
x

→ R
7→ x1

2. Montrer que si l’on modifie l’ensemble d’arrivée de f3 pour former l’application fe3 : R? → R? telle que fe3 (x) = x1 , alors fe3 est bijective et admet
une réciproque (elle-même).
3. La fonction exponentielle exp : R → R+? est-elle injective, surjective,
bijective ?
3

4. Soient E, F , G des ensembles. Soient f : E → F et g : F → G deux
applications. Démontrer que :
• Si g ◦ f est injective alors f est injective.
• Si g ◦ f est surjective alors g est surjective.
5. En déduire que si f admet une réciproque, alors elle est bijective.
6. Réciproquement, soit f : E → F une application bijective. Soit y ∈ F .
Par surjectivité de f on peut trouver un élément x ∈ E tel que f (x) = y,
on pose alors g(y) = x. Montrer que g est ainsi bien définie et est une
application réciproque à f . (Rappel : une fonction φ est bien définie si :
dès que x1 = x2 alors φ(x1 ) = φ(x2 )).
On a donc montré qu’une application est bijective si et seulement si elle
admet une réciproque.
7. (Question indépendante des précédentes). Soient I et I 0 deux intervalles
de R. Soit f : I → I 0 une fonction qui admet une réciproque g : I 0 → I.
Démontrer que si f est croissante alors g est croissante.
8. On suppose qu’on ne sait rien sur le logarithme. Déduire des questions
précédentes que l’application exp : R → R+? admet une réciproque g :
R+? → R qui est strictement croissante, qui tend vers −∞ en 0, et qui
tend vers +∞ en +∞.
9. (Bonus) Les applications cos : R → [−1, 1] et sin : R → [−1, 1] admettentelles des réciproques ?
Si oui le justifier. Si non alors trouver des intervalles "naturels" I et J tels
que cos|I : I → [−1, 1] et sin|J : J → [−1, 1] admettent des réciproques.
(Par "naturels" on entend : Qui soient relativement proches de l’origine,
par exemple contenus dans [−π, π] si possible, et qui soient les plus grands
possibles).

4


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