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Dirichlet Emeline .pdf


Nom original: Dirichlet - Emeline.pdf
Titre: Microsoft Word - Dirichlet.docx

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Développement : 103 – 104 – 106 – 143 – 167 – 302 – 304 – 305 – 309 - 357

Th de la progression arithmétique de Dirichlet (version faible) :
Pour 𝑛 ≥ 1 fixé, il existe une infinité de nombres premiers de la forme 𝜆𝑛 + 1, 𝜆 ∈ ℕ.

On note le 𝑛 − 𝑖è𝑚𝑒 polynôme cyclotomique :
𝛷! = 𝑋 − 1 et pour 𝑛 ≥ 2,

𝛷! =

(𝑋 − 𝑒

!!"#
! )

!!!!!
!∧!!!

1. Montrer que 𝛷! est à coefficients entiers pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ .
2. Que peut-on dire d’un nombre premier 𝑝 qui divise 𝛷! (𝑎), où 𝑎 ∈ ℤ, mais aucun des
𝛷! (𝑎), où 𝑑 décrit l’ensemble des diviseurs stricts de 𝑛 ?
3. En déduire que pour 𝑛 ≥ 1 fixé, il existe une infinité de nombres premiers de la forme
𝜆𝑛 + 1 avec 𝜆 entier.

Démonstration :
1. Montrons que 𝑿𝒏 − 𝟏 =
On sait que :

𝒅|𝒏 𝜱𝒅
!
!

𝑋 −1=

𝑋−𝑒

!!"#
!



!!!
!!"#

Notons pour 𝑑 ≥ 1, 𝑃! l’ensemble des racines primitives 𝑑 − 𝑖è𝑚𝑒𝑠 de l’unité (𝑒 ! avec
𝑘 ∧ 𝑛 = 1) et 𝑈! l’ensemble des racines 𝑑 − 𝑖è𝑚𝑒𝑠 de l’unité. On a par définition :
𝑋! − 1 =

(𝑋 − 𝜉)
!∈!!

Soit 𝜉 ∈ 𝑈! , on note 𝑑 l’ordre de 𝜉 , c’est un diviseur de 𝑛 donc 𝜉 ∈ 𝑃! (simplifier
𝑘/𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑘, 𝑛)). Par conséquent, 𝑈! est la réunion disjointe des 𝑃! pour 𝑑|𝑛. D’où il
résulte :
𝑋! − 1 =

𝑋−𝜉 =
!∈!!

𝑋−𝜉
!|!

=

!∈!!

𝛷! (⋆)
!|!

Par égalité sur les degrés des polynômes on obtient :
𝑛=

𝜑(𝑑)
!|!

Montrons par récurrence sur 𝒏 ≥ 𝟏 que 𝜱𝒏 est à coefficients entiers

Lemme : Soit 𝐴 et 𝐵 deux polynômes à coefficients entiers, 𝐵 étant non nul unitaire. Alors 𝑄 et
𝑅 , le quotient et le reste de la division euclidienne de 𝐴 par 𝐵 dans ℂ[𝑋] sont aussi à
coeffcients entiers.
Démonstration : Dans les opérations de l’algorithme de divisions euclidiennes, seuls des
entiers interviennent.

• Si 𝑛 = 1, 𝛷! = 𝑋 − 1 : à coefficients entiers.
• Si 𝑛 ≥ 2, supposons que ∀𝑘 ≤ 𝑛, 𝛷! ∈ ℤ[𝑋], montrons que 𝛷!!! ∈ ℤ[𝑋].
D’après (⋆) on a :
𝑋 !!! − 1 =

𝛷! = 𝛷!!!
!|(!!!)

𝛷!
!|(!!!)
!!!!!


on applique le lemme précédent à 𝐴 = 𝑋 !!! − 1 et 𝐵 =

!|(!!!) 𝛷! donc le quotient
!!!!!

𝛷!!! ∈ ℤ[𝑋].

2. Soit 𝑝 premier qui divise 𝛷! (𝑎), où 𝑎 ∈ ℤ, mais aucun des 𝛷! (𝑎), où 𝑑 décrit l’ensemble
des diviseurs stricts de 𝑛. Comme 𝑝|𝛷! (𝑎), il divise aussi 𝑎! − 1. Ainsi l’ordre de 𝑎
dans ℤ×! divise 𝑛.

Montrons que cet ordre est exactement 𝒏.
Si 𝑑|𝑛 avec 𝑑 < 𝑛, on a dans ℤ! :
𝑎! − 1 =

𝛷!! (𝑎)
! ! |!

Or si 𝑑 ! |𝑑, 𝑑 ! |𝑛 et par hypothèse, 𝛷!! (𝑎) ≠ 0 et puisque ℤ! est intègre, le produit d’éléments
non nuls est non nul : 𝑎! ≠ 1. L’orde de 𝑎 est donc 𝑛. Comme cet ordre divise 𝑝 − 1 d’après le
théorème de Lagrange (|ℤ×! |), 𝑝 est de la forme 𝜆𝑛 + 1 avec 𝜆 entier.

3. Montrons qu’il existe alors une infinité de nombres premiers de cette forme.

Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il n’existe qu’un nombre fini 𝑝! , … , 𝑝! de nombres
premiers de cette forme, c’est-à-dire congrus à 1 modulo 𝑛.
Si on arrive à trouver 𝑎 et 𝑝 vérifiant les conditions de la question précédente, on pourra
affirmer que 𝑝 ≡ 1 [𝑛]
Pour éviter qu’un tel 𝑝 = 𝑝! , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑞, ce qui ne nous donnerait pas de contradcition, posons
alors 𝑁 = 𝑛𝑝! … 𝑝! .
Si 𝑝 ≡ 1 [𝑁], alors 𝑝 ne peut être égal à un des 𝑝! (sinon, comme 𝑝! < 𝑁, on aurait 𝑝 ≡ 𝑝! [𝑁])
et pourtant on a bien 𝑝 ≡ 1 [𝑛].
Il faut donc trouver 𝑎 ∈ ℤ et 𝑝 premier tel que 𝑝 divise 𝛷! (𝑎) et ne divise pas
𝛷! 𝑎 , ∀𝑑|𝑁, 𝑑 < 𝑁.
On note :
𝐵=

𝛷!
!|!
!!!

On doit donc trouver 𝑎 ∈ ℤ et 𝑝 premier tel que 𝑝|𝛷! 𝑎 et 𝑝 ∤ 𝐵(𝑎).
Le polynôme 𝐵 est donc premier avec 𝛷! dans ℂ[𝑋] : en effet ils sont scindés sur ℂ et n’ont
aucune racine en commun. Ils sont donc aussi premier entre eux dans ℚ[𝑋].
D’après le théorème de Bézout, il existe donc 𝑈, 𝑉 ∈ ℚ[𝑋] tels que :
𝑈𝛷! + 𝑉𝐵 = 1
De plus, ∃ 𝑎 ∈ ℤ tel que 𝑎𝑈 ∈ ℤ 𝑋 et 𝑎𝑉 ∈ ℤ[𝑋]. Comme 𝛷! ∉ {−1,0,1}, on peut même choisir
𝑎 ∈ ℤ tel que 𝛷! 𝑎 ∉ {−1,0,1}. On a donc :
𝑎𝑈(𝑎)𝛷! 𝑎 + 𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎) = 𝑎
Soit 𝑝 un nombre premier divisant 𝛷! 𝑎 . Alors 𝑝| (𝑎! − 1).
Dans ℤ! , 𝑎! = 1 et donc 𝑎 est inversible ce qui signifie que 𝑎 est premier avec 𝑝.
Si 𝑝 divisait 𝐵(𝑎), il diviserait 𝑎𝑈(𝑎)𝛷! 𝑎 + 𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎) = 𝑎 ce qui est exclu car 𝑎 et 𝑝 sont
premiers. On est donc dans les hypothèses de la question préédente, et on a trouvé 𝑝 premier
(différent des 𝑝! ) congru à 1 modulo 𝑛, d’où la contradiction.


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