EF+ Corrigé Math1 ST Sujet1 2016 2017 .pdf

ATH1 ST SUJET 1

xercice 1: (4.5 pts)

Tl
em

ce
n

)

(1) (1 pt) Donner la formule de Moivre.

(U

ni
v.

(2) (1 pt) Donner le théorème des acroissements …nis.

ul
té

de
s

Sc

ie
nc

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

es

(3) (2.5 pts) Ecrire cos 5x en fonction des puissances de cosinus et de sinus.

Fa
c

xercice 2: (4.5 pts) Soit la fonction :

x3 cos x12
0

(S
1

)~

g :R ! R; x 7! g (x) =

SM

/S
T

25 pt +1.25 pt) Etudier la continuité de la fonction g sur R:

Pr
em

iè
r

e

LM

D

0.25 pt +1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction g sur R:

(0.25 pt +1 pt) La première dérivée de g est-elle continue sur R?
1

si x 6= 0
si x = 0

Exercice 01: (5 pts) Soit g une application de N vers N dé…nie par:
m+1
2
m
2

n 7! g (m) =

si m est impair (64163162f64a)
si m est pair (63264862c64a)

ce
n

)

(1) a) Donner la dé…nition d’une application.

Tl
em

(0.25 pt) g est une application ,

(U

ni
v.

(1.5 pt) b) g est-elle une application? g ....................................................................car:

es
ie
nc

(0.25 pt) g est injective ,

ul
té

de
s

Sc

(1.25 pt) b) g est-elle injective? g ....................................................................car:

(0.25 pt) g est surjective ,

Fa
c

(3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.

/S
T

(S
1

)~

(1.5 pt) b) g est-elle surjective? g ....................................................................car:

SM

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(2) a) Donner la dé…nition d’une application injective.

LM

D

Exercice 02: (6 pts)

g (x) =

Pr
em

iè
r

e

(1) Soit g la fonction dé…nie de R+ vers R par:
4x + 5
x+3

(1.5 pt) Sans l’utilisation de la dérivée g est-elle strictement monotone?

2

(2) On dé…nie la suite (Vn )n 2 N par:
Vn+1 =

V1 = 1
4Vn + 5
;
Vn + 3

n2N :

es
ie
nc
Sc

de
s

(3) En déduire que (Vn )n 2 N est convergente et calculer sa limite.

ul
té

(1.5 pt) Critère de convergence:

iè
r

e

LM

D

SM

/S
T

(S
1

)~

Fa
c

(0.5 pt +1 pt) La limite est..................... car:

Pr
em

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(U

ni
v.

Tl
em

ce
n

)

(1.5 pt) Montrer que: 8n 2 N : 0 < Vn < 6:

3

Le corrigé du sujet 1 de l’épreuve …nale du MATH1 ST 2016-2017

xercice 1: (4.5 pts)
(1) (1 pt) Donner la formule de Moivre.
n

=e

in

ou écrire: (cos + i sin )n = cos n + i sin n

)

ei

ce
n

8 2 R; 8n 2 N on a:

Tl
em

(2) (1 pt) Donner le théorème des acroissements …nis.

ni
v.

Si f est continue sur [a; b] et dérivable ]a; b[ sur c, alors il existe au moins un réel c 2 ]a; b[
tq:
f (b) f (a) = (b a) f 0 (c) :

ie
nc

es

cos 5x = Re (cos 5x + i sin 5x) = Re (cos x + i sin x)5
(0.25pt+0.25pt)
5
4
3
cos x + 5 cos x (i sin x) + 10 cos x (i sin x)2 + 10 cos2 x (i sin x)3
= Re
+5 cos x (i sin x)4 + (i sin x)5
= cos5 x

(1pt)

10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x:(1pt)

Sc

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(U

(3) (2.5 pts) Ecrire cos 5x en fonction des puissances de cosinus et de sinus.

x3 cos x12
0

si x 6= 0
si x = 0

ul
té

g :R ! R; x 7! g (x) =

de
s

xercice 2: (4.5 pts) Soit la fonction :

Fa
c

25 pt +1.25 pt) Etudier la continuité de la fonction g sur R:

(S
1

)~

1) (0.25pt) Dans R , g est continue car c’est le produit et le composée des fonctions continues
sur R :
2) en 0:
1
= 0 car lim x3 = 0 et
1
2
x!0
x
= g (0) ) g est continue en 0 (0:25 pt)

lim g (x) = lim x3 cos
x!0

/S
T

x!0

cos

1
x2

1 (1pt)

SM

Conclusion: g est continue sur R:

LM

D

0.25 pt +1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction g sur R:

iè
r

e

1) (0.25pt) Dans R , g est dérivable car c’est le produit et le composée des fonctions
dérivables sur R :
2) en 0:
g (x)

Pr
em
lim

x!0

g (0)
x

1
= 0 car lim x2 = 0 et
1
x!0
x!0
x2
= g 0 (0) ) g est dérivable en 0 (0:25 pt)
= lim x2 cos

Conclusion: g est dérivable sur R:
1

cos

1
x2

1 (1.25pt)

(0.25 pt +1 pt) La première dérivée de g est-elle continue sur R?
g 0 (x) = 3x2 cos

1
+ 2 sin
x2

1
x2

si x 6= 0 :(0:25pt)

1
x2

n’existe pas.(0:5pt)

lim g 0 (x) n’existe pas car lim sin

x!0

x!0

Tl
em

Mais:

ni
v.

alors g 0 n’est pas continue en 0.(0.25pt)

ie
nc

(1) a) Donner la dé…nition d’une application.

ul
té

de
s

Sc

(0.25 pt) g est une application , 8m 2 N; g (m) existe et g (m) 2 N:
b) g est-elle une application? g est une application car:
Si m est impair ) g (m) = m+1
2 N:(0.75 pt)
2
m
Si m est pair ) g (m) = 2 2 N:(0.75 pt)
) g (m) existe et g (m) 2 N:

Fa
c

(2) a) Donner la dé…nition d’une application injective.

(S
1

)~

(0.25 pt) g est injective , 8m1 ; m2 2 N; g (m1 ) = g (m2 ) ) m1 = m2
b) g est-elle injective? g n’est pas injective (0.5 pt)car: (avec justi…cation si non c’est
faux)

/S
T

3 6= 4 et g (3) = g (4) = 2 (0:75 pt)

SM

(3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.

LM

D

(0.25 pt) g est surjective , 8n 2 N; 9m 2 N tq g (m) = n:
b) g est-elle surjective? g est surjective (0.5 pt) car: (avec justi…cation si non c’est
faux)
Si n 2 N ) 9m = 2n tq: g (m) = g (2n) = 2n
= n (1 pt).
2

iè
r

xercice 04: 6 points

e

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si m est impair
si m est pair

es

m+1
2
m
2

(U

Exercice 01: (5 pts) Soit g une application de N vers N dé…nie par:
m 7! g (m) =

ce
n

)

Alors g 0 est continue sur R :(0.25pt)

Pr
em

(1) Soit g la fonction dé…nie de R+ vers R par:
g (x) =

4x + 5
x+3

Sans l’utilisation de la dérivée g est-elle strictement monotone?
2

Soit x et x0 2 R+ tq: x > x0
g (x)

7 (x x0 )
>0
(x + 3) (x0 + 3)

g (x0 ) =

(1:25 pt)

ce
n

)

alors g est strictement croissante. (0.25 pt).

Vn+1 =

V1 = 1
4Vn + 5
;
Vn + 3

Tl
em

(2) On dé…nie la suite (Vn )n 2 N par:
n2N :

ni
v.

(1.5 pt) Montrer que: 8n 2 N : 0 < Vn < 6:

(U

0:

de
s

2) Montrer que Vn < 6 pour tout n

Sc

ie
nc

es

Montrons par récurrence que: 8n 2 N : Vn > 0::::: (An )
Pour n = 1 on a: V1 = 1 > 0 ) (A1 ) est vraie (0.25 pt).. Supposons que (An ) est vraie
pour un n 2 N .
et montrons que(An+1 ) est vraie ç-à-d:Un+1 > 0?
en e¤et: :Vn+1 = 4VVnn ++35 > 0(0.25 pt).
D’où Vn > 0:8n 2 N :

)~

Fa
c

ul
té

Montrons par récurrence que: 8n 2 N : Vn < 6::::: (An )
Pour n = 1 on a: V1 = 1 < 6 ) (A1 ) est vraie (0.25 pt).. Supposons que (An ) est vraie
pour un n 2 N .
et montrons que(An+1 ) est vraie ç-à-d:Vn+1 < 6?
n 13
en e¤et: :Vn+1 6 = 4VVnn ++35 6 = 4Vn +Vn5 +6V3 n 18 = V2V
< 0 (0.75 pt).) Vn+1 < 6
n + 3
D’où Vn < 6:8n 2 N :

(S
1

(3) En déduire que (Vn )n 2 N est convergente et calculer sa limite.

p
1+ 21
2

(0.5 pt )car:

SM

La limite est

/S
T

Critère de convergence: (Vn )n2N est majorée par 6 (0.5 pt) et elle est strictement croissante
car g est strictement croissante (1 pt)donc elle converge.

iè
r

e

LM

D

Vn+1 = g (Vn ) ) lim Vn+1 = lim g (Vn )

Pr
em

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1) Montrer que Vn i 0 pour tout n > 0:

n!+1

n!+1

4l + 5
) l = g (l) ) l =
)l2 l 5=0
l+3
p
1
21
) l=
< 0 ne convient pas
p 2
1 + 21
ou l =
:(1 pt)
2

3