EF+ Corrigé Math1 ST Sujet2 2016 2017 .pdf



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MATH1 ST sujet 2

Exercice 01: (5 pts) Soit f une application de N vers N dé…nie par:

)

si n est pair (63264862c64a)
si n est impair (64163162f64a)

ce
n

n
2
n+1
2

n 7! f (n) =

Tl
em

(1) a) Donner la dé…nition d’une application.
(0.25 pt) f est une application ,

es

Sc

(0.25 pt) f est injective ,

ie
nc

(2) a) Donner la dé…nition d’une application injective.

....................................................................car:

Fa
c

ul


de
s

(1.25 pt) b) f est-elle injective? f

(0.25 pt) f est surjective ,

)~

(3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.

....................................................................car:

D

SM

/S
T

(S
1

(1.5 pt) b) f est-elle surjective? f

LM

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

(U

ni
v.

(1.5 pt) b) f est-elle une application? f ....................................................................car:

e

Exercice 02: (6 pts)

Pr
em


r

(1) Soit f la fonction dé…nie de R+ vers R par:
f (x) =

4x + 5
x+3

(1.5 pt) Sans l’utilisation de la dérivée f est-elle strictement monotone?

1

(2) On dé…nie la suite (Un )n 2 N par:
Un+1 =

U0 = 2
4Un + 5
;
Un + 3

n 2 N:

es
ie
nc

Sc

(3) En déduire que (Un )n 2 N est convergente et calculer sa limite.

ul


de
s

(1.5 pt) Critère de convergence:

Fa
c

(0.5 pt +1 pt) La limite est..................... car:

)~

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

(U

ni
v.

Tl
em

ce
n

)

(1.5 pt) Montrer que: 8n 2 N : 0 < Un < 5:

(S
1

xercice 3: (4.5 pts) Soit la fonction :

/S
T

f :R ! R; x 7! f (x) =

e

LM

D

SM

25 pt +1.25 pt) Etudier la continuité de la fonction f sur R:

Pr
em


r

0.25 pt +1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:

2

x3 sin x12 si x 6= 0
0 si x = 0

est-elle continue sur R?

Tl
em

ce
n

)

(0.25 pt +1 pt) La première dérivée de f

ni
v.

xercice 4: (4.5 pts)

es
ie
nc
de
s

Sc

(2) (1 pt) Donner le théorème de Rolle.

ul


Page Facebook "Sciences Tlemcen"

(U

(1) (1 pt) Donner les équations D’EULER.

Pr
em


r

e

LM

D

SM

/S
T

(S
1

)~

Fa
c

(3) (2.5 pts) Ecrire sin 6x en fonction des puissances de cosinus et de sinus.

3

Le corrigé du sujet 2 de l’épreuve …nale du MATH1 ST 2016-2017

Exercice 01: (5 pts) Soit f une application de N vers N dé…nie par:

)

si n est pair
si n est impair

ce
n

n
2
n+1
2

n 7! f (n) =

ni
v.

ie
nc

es

(2) a) Donner la dé…nition d’une application injective.

Sc

(0.25 pt) f est injective , 8m1 ; m2 2 N; f (m1 ) = f (m2 ) ) m1 = m2
b) f est-elle injective? f n’est pas injective (0.5 pt) car: (avec justi…cation si non
c’est faux)

ul


de
s

3 6= 4 et f (3) = f (4) = 2 (0:75 pt)

Fa
c

(3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.

)~

(0.25 pt) f est surjective , 8m 2 N; 9n 2 N tq f (n) = m:
b) f est-elle surjective? f est surjective (0.5 pt) car: (avec justi…cation si non c’est
faux)
= m (1 pt).
Si m 2 N ) 9n = 2m tq: f (n) = g (2m) = 2m
2

(S
1

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(U

(0.25 pt) g est une application , 8n 2 N; f (n) existe et f (n) 2 N:
b) f est-elle une application? f est une application car:
Si n est impair ) f (n) = n+1
2 N:(0.75 pt)
2
Si n est pair ) f (n) = n2 2 N:(0.75 pt)
) g (m) existe et g (m) 2 N:

Tl
em

(1) a) Donner la dé…nition d’une application.

/S
T

Exercice 02: (6 pts)

SM

(1) Soit f la fonction dé…nie de R+ vers R par:
4x + 5
x+3

D

f (x) =

LM

(1.5 pt) Sans l’utilisation de la dérivée f est-elle strictement monotone?

Pr
em


r

e

Soit x et x0 2 R+ tq: x > x0
f (x)

f (x0 ) =

7 (x x0 )
>0
(x + 3) (x0 + 3)

alors f est strictement croissante. (0.25 pt).

1

(1:25 pt)

(2) On dé…nie la suite (Un )n 2 N par:
Un+1 =

U0 = 2
4Un + 5
;
Un + 3

n 2 N:

ce
n

0:

Tl
em

1) Montrer que Un i 0 pour tout n

)

(1.5 pt) Montrer que: 8n 2 N : 0 < Un < 5:

es

0:

ie
nc

2) Montrer que Un < 5 pour tout n

ul


de
s

Sc

Montrons par récurrence que: 8n 2 N : Un < 5::::: (An )
Pour n = 0 on a: U0 = 2 < 6 ) (A0 ) est vraie (0.25 pt).. Supposons que (An ) est vraie
pour un n 2 N .
et montrons que(An+1 ) est vraie ç-à-d:Un+1 < 5?
n + 5
n 15
en e¤et: :Un+1 5 = 4U
5 = 4Un +4n5 +5U
= VUnn+ 10
< 0 (0.75 pt).) Un+1 < 5:
Un + 3
3
3
D’où Un < 5:8n 2 N:

Fa
c

(3) En déduire que (Un )n 2 N est convergente et calculer sa limite.

p
1+ 21
2

(0.5 pt )car:

(S
1

La limite est

)~

Critère de convergence: (Un )n2N est majorée par 5 (0.5 pt) et elle est strictement croissante
car f est strictement croissante (1 pt)donc elle converge.

/S
T

Un+1 = g (Un ) ) lim Un+1 = lim f (Un )
n!+1

n!+1

4l + 5
) l = f (l) ) l =
)l2 l 5=0
l
+
3
p
1
21
) l=
< 0 ne convient pas
p 2
1 + 21
ou l =
:(1 pt)
2

SM
D
LM

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(U

ni
v.

Montrons par récurrence que: 8n 2 N : Un > 0::::: (An )
Pour n = 0 on a: U0 = 2 > 0 ) (A0 ) est vraie (0.25 pt).. Supposons que (An ) est vraie
pour un n 2 N .
et montrons que(An+1 ) est vraie ç-à-d:Un+1 > 0?
n + 5
en e¤et: :Un+1 = 4U
> 0 (0.25 pt).
Un + 3
D’où Vn > 0:8n 2 N:

Pr
em


r

e

xercice 3: (4.5 pts) Soit la fonction :
f :R ! R; x 7! f (x) =

25 pt +1.25 pt) Etudier la continuité de la fonction f sur R:

2

x3 sin x12 si x 6= 0
0 si x = 0

1) (0.25pt) Dans R , f est continue car c’est le produit et le composée des fonctions continues
sur R :
2) en 0:
1
x2

1 (1pt)

)

x!0

sin

ce
n

1
= 0 car lim x3 = 0 et
1
x!0
x!0
x2
= f (0) ) f est continue en 0 (0:25 pt)

lim f (x) = lim x3 sin

Tl
em

Conclusion: f est continue sur R:

0.25 pt +1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:

x

x!0

1
1
2
=
0
car
lim
x
=
0
et
1
sin
x!0
x!0
x2
x2
0
= f (0) ) f est dérivable en 0 (0:25 pt)
= lim x2 sin

es

f (0)

Sc

Conclusion: f est dérivable sur R:

(0.25 pt +1 pt) La première dérivée de f

1 (1.25pt)

ie
nc

f (x)

est-elle continue sur R?

f 0 (x) = 3x2 sin

de
s

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lim

(U

ni
v.

1) (0.25pt) Dans R , f est dérivable car c’est le produit et le composée des fonctions
dérivables sur R :
2) en 0:

1
x2

2 cos

1
x2

si x 6= 0 :(0:25pt)

ul


Alors f 0 est continue sur R :(0.25pt)

Fa
c

Mais:

lim f 0 (x) n’existe pas car lim cos

x!0

x!0

1
x2

n’existe pas.(0:5pt)

)~

alors f 0 n’est pas continue en 0.(0.25pt)

(S
1

xercice 4: (4.5 pts)

/S
T

(1) (1 pt) Donner les équations D’EULER.

SM

8x 2 R; cos x =

eix + e
2

ix

et sin x =

eix

e
2i

ix

.

D

(2) (1 pt) Donner le théorème de Rolle.

LM

Si f est continue dans [a; b] et dérivable dans ]a; b[ tq: f (a) = f (b)
alors: 9c 2 ]a; b[ tq: f 0 (c) = 0:


r

e

(3) (2.5 pts) Ecrire sin 6x en fonction des puissances de cosinus et de sinus.

Pr
em

sin 6x = Im (cos 6x + i sin 6x) = Im (cos x + i sin x)6
(0.25pt+0.25pt)
6
5
4
cos x + 6 cos x (i sin x) + 15 cos x (i sin x)2 + 20 cos3 x (i sin x)3
= Im
+15 cos2 x (i sin x)4 + 6 cos x (i sin x)5 + (i sin x)6
= 6 cos5 x sin x

20 cos3 x sin3 x + 6 cos x sin5 x:(1pt)

3

(1pt)


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