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Calcul du Facteur de Puissance et Compensation .pdf



Nom original: Calcul du Facteur de Puissance et Compensation.pdf
Auteur: Admin

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UNIVERSITE LIBANAISE

FACULTE DE GENIE
BRANCHE 1
No d'ordre 50/1442/G1-EE/2013

PROJET DE FIN D’ÉTUDES
Réalisé par

Sawsan El AHMAD
Pour obtenir le

Diplôme Ingénieur en Électricité et Électronique
Option Informatique Industrielle & Contrôle

Calcul du Facteur de Puissance et
Compensation

Dirigé par :
Dr. Nazih MOUBAYED
Soutenu devant le Jury :
Dr. Amer FAYDALLAH
Dr. Chayban HAYKAL
Dr. Omar MIKATI

Session Juillet 2013

Remerciements
Tout d’abord, je tiens à remercier Dieu le tout puissant et miséricordieux, qui m’a donnée
la force et la patience d’accomplir ce Modeste travail.
En second lieu, je tiens à remercier Dr. Nazih Moubayed, pour son précieux conseil et
son aide durant toute la période du travail. Je voudrais

également lui témoigner ma

gratitude pour sa patience, sa confiance et son soutien. Qu’il trouve dans ce travail un
hommage vivant à sa haute personnalité.
Mes vifs remerciements vont également aux membres du jury, Dr. Amer Faydallah, Dr.
Chayban Haykal et Dr. Omar Mikati, pour leur confiance, leur encouragement, leur conseil
et leur intérêt qu’ils ont apporté à mon travail.
J’adresse mes plus sincères remerciements à tous mes proches et amis, qui m’ont toujours
soutenue et encouragée au cours de la réalisation de ce mémoire.
Enfin,

je n’oublie pas ma famille, spécialement ma mère et mon frère, pour leur

contribution, leur soutien et leur patience.
Merci à tous et à toutes.

Résumé
Notre monde ne peut se passer d’une alimentation électrique sûre et fiable. Or le courant
fourni par le réseau n’est pas toujours l’onde parfaite sortie des centrales. Pour déterminer
l’efficacité du courant produit, on calcule le facteur de puissance. Les charges, surtout non
linéaires, créent des harmoniques qui causent une augmentation de la puissance réactive.
Le but de ce projet est de calculer le facteur de puissance, en utilisant deux méthodes : le
calcul direct et le calcul par la FFT. Ensuite, une méthode de compensation des harmoniques
est appliquée à un système gradateur, afin d’éliminer les harmoniques et corriger le facteur de
puissance.

Abstract
Our world depends on a safe and reliable power supply. However, the current supplied by
the network is not the perfect wave output. To determine the effectiveness of the produced
current, power factor is calculated. Loads, especially nonlinear, create harmonics that cause
an increase in reactive power.
The aim of this project is to calculate the power factor, using two methods: the direct
calculation and the calculation using the FFT. Then, a method for compensating harmonics is
applied to an AC to AC system to eliminate harmonics and power factor correction.

Tables des Matières
Introduction générale ................................................................................................................. 3
Chapitre 2. Etude Théorique du Calcul du Facteur de Puissance .............................................. 5
1. Introduction ..................................................................................................................... 5
2. Définition des puissances électriques ............................................................................. 5
3. Calcul du facteur de puissance d’un système monophasé ............................................. 6
3.1.

Source de tension sinusoïdale avec charge linéaire ................................................. 6

3.2.

Source de tension sinusoïdale avec charge non linéaire .......................................... 6

3.3.

Source de tension non sinusoïdale ........................................................................... 7

3.4.

Algorithme ............................................................................................................... 9

4. Calcul du facteur de puissance pour un système triphasé ............................................. 10
4.1.

Système triphasé sinusoïdal en équilibre ............................................................... 11

4.2.

Système triphasé sinusoïdal avec charge en déséquilibre ..................................... 11

4.3.

Système triphasé non sinusoïdal en équilibre ou non ............................................ 13

4.4.

Algorithme ............................................................................................................. 15

Chapitre 3. Méthode de calcul du facteur de puissance sous Matlab/Simulink....................... 16
1. Première méthode de calcul du facteur de puissance.................................................... 16
1.1.

Système monophasé .............................................................................................. 16

1.2.

Système triphasé .................................................................................................... 20

2. Calcul du facteur de puissance en utilisant la FFT ....................................................... 23
2.1.

Introduction ........................................................................................................... 23

2.2.

Série de Fourier ..................................................................................................... 23

2.3.

DFT ........................................................................................................................ 24

2.4.

L’approche proposée pour calculer tous les termes de puissance ......................... 25

2.5.

Simulation et résultat ............................................................................................. 25

3. Comparaison entre les deux méthodes de calcul .......................................................... 27
Chapitre 4. Compensation ........................................................................................................ 29
1. Introduction ................................................................................................................... 29
2. Amélioration de

................................................................................................... 29

2.1.

Amélioration par utilisation de compensateurs spéciaux ...................................... 29

2.2.

Amélioration sans utilisation de compensateurs spéciaux .................................... 29

3. Compensation par filtrage ............................................................................................. 30
3.1.

Amélioration de la qualité de puissance par utilisation de filtres passifs .............. 30

3.2.

Amélioration de la qualité de puissance par utilisation de filtres actifs ................ 30

3.3.

Amélioration de la qualité de puissance par utilisation de filtres hybrides ........... 30

4. Filtre hybride ................................................................................................................. 31
1

4.1.

Critères de sélection des filtres hybrides ............................................................... 31

4.2.

Catégorie des charges non linéaires....................................................................... 31

5. Modélisation d’un filtre hybride triphasé ..................................................................... 32
5.1.

Modélisation du filtre hybride shunt ..................................................................... 34

5.2.

Modèle de transformation dans le référentiel « d-q »............................................ 35

5.3.

Contrôle du courant harmonique ........................................................................... 37

5.4.

Contrôle de la tension DC ..................................................................................... 38

5.5.

Simulation et résultat ............................................................................................. 40

5.6.

Conclusion ............................................................................................................. 41

Conclusion ............................................................................................................................... 42
Nomenclature ........................................................................................................................... 43
Références ................................................................................................................................ 45

2

Introduction générale
Au cours des dernières cinquante années, la mesure précise de l'énergie et d'autres
quantités alternatives était extrêmement importante à tous les niveaux du système
d'alimentation électrique, et était de la valeur pour les distributeurs d'électricité ainsi que pour
les consommateurs.
Les trois quantités élémentaires, puissances apparente, active et réactive, sont les
principales énergies dans les réseaux électriques. Elles définissent ce qui est créé, transmis,
distribués et vendus par les compagnies d'électricité et achetés par les utilisateurs.
Pour des situations sinusoïdales, les définitions des composants de puissance et du facteur
de puissance sont bien définies pour les systèmes monophasés [1] et peuvent être étendues au
cas des systèmes triphasés équilibrés sans aucune restriction. Toutefois, lorsque l’on
considère un système monophasé ou triphasé opérant dans des conditions non sinusoïdales,
ces définitions demeurent inadéquates [2]. Comme un défi, de nombreux chercheurs tendent
résoudre ce problème par l’une des deux façons, soit en étendant les définitions établies pour
les systèmes monophasé et triphasé sous les conditions sinusoïdales afin d’être adapté pour
les systèmes triphasés déséquilibrés avec des tensions et des courants déformés ou en
développant une théorie générale pour les systèmes triphasés non équilibrés sous des
conditions non sinusoïdales puis essayer de rendre cette théorie applicable aux systèmes
monophasé et triphasé en équilibre sous les conditions sinusoïdales [3]-[7]. Les définitions
les plus recommandées peuvent être trouvées dans la norme IEEE 1459-2010 [8].
Dans la dernière décennie, l’énergie de l’éolienne est devenue la source d’énergie
renouvelable croissant vite, gagnant de plus en plus d'acceptation, intérêt et utilisation au
niveau international. Cependant, cette exigence pose des défis techniques. L’interconnexion
d’aérogénérateur électrique au réseau peut conduire à plusieurs perturbations, telles que les
fluctuations de tension, étincelles, harmoniques, instabilité, problème de régulation de
puissance et phénomène transitoire signalés dans diverses littératures [10]. Ces défis
concernant l'intégration de l'énergie éolienne au réseau se compose principalement de
maintenir un niveau de tension acceptable et un équilibre de puissance du système. Afin
d'exploiter efficacement l'énergie d'une éolienne des techniques d'interface appropriées sont
choisies parmi différentes possibilités d'interface [11] – [14].
Compte tenu de ces techniques, on utilisait des équipements basés sur l’électronique de
puissance, c.à.d. des contrôleurs à semi-conducteurs. Ces contrôleurs ont des impacts
importants sur la qualité de la tension fournie et ils ont augmenté la pollution en harmonique
de courant dans les réseaux de distribution. Ils ont de nombreux effets nocifs sur le système
d'alimentation et chez le client, tels que des pertes supplémentaires dans les câbles aériens et
souterrains, les transformateurs et les machines électriques tournantes, des problèmes dans le
fonctionnement des systèmes de protection, une surtension, des erreurs dans les instruments
de mesure, et des dysfonctionnements de faible efficacité des charges sensibles chez le
client. D’où la nécessité de compenser les harmoniques créées [15].
Ce projet est dédié au calcul du facteur de puissance et sa compensation. Il est divisé en
deux parties. Dans la première partie, on présente des méthodes de calcul du facteur de
puissance. Une étude théorique est présentée. Cette étude est basée sur le standard IEEE
3

1459. Ce standard fournit les définitions de la puissance active, la puissance réactive et la
puissance apparente ainsi que le facteur de puissance pour les systèmes monophasé et
triphasé sous des conditions sinusoïdale, non sinusoïdale, équilibrée ou non équilibrée. Ces
définitions sont basées sur les connaissances développées et approuvées au cours des années
1940. De telles définitions ont bien servi l’industrie, tant que les formes d’ondes du courant et
de la tension sont restées presque sinusoïdales.
De plus, on applique les relations obtenues par ce standard [8] pour calculer le facteur de
puissance en Matlab Simulink. Ensuite, on applique la FFT [9] pour calculer ce facteur. La
FFT donne une version du signal dans le domaine fréquentiel, une liste des amplitudes et des
angles de phase correspondant à l’ensemble des harmoniques sinusoïdales. Enfin une
comparaison entre les deux méthodes est faite afin de conclure quelle méthode est plus
efficace pour calculer le facteur de puissance.
Dans la seconde partie, on parlera de la compensation du facteur de puissance. Le but
principal de la compensation par filtrage [16]-[22] est d’éliminer les perturbations sur le
facteur de puissance, elle concerne presque exclusivement les installations triphasées où les
harmoniques sont présentes à cause des charges non linéaires.

4

Chapitre 2. Etude Théorique du Calcul du Facteur de Puissance
1. Introduction

La puissance active P, la puissance réactive Q et la puissance apparente S sont les
quantités de base principales pour le flux d’énergie dans les réseaux électriques. Elles
définissent ce qui est généré, transmis, distribué et vendu par les compagnies d'électricité et
achetés par les utilisateurs.
Pour éviter la confusion, on utilise le Watt (W) pour la puissance instantanée et la
puissance active, le Volt-Ampère (VA) pour la puissance apparente, et le Volt-Ampère réactif
(VAR) pour la puissance réactive et les puissances non actives, ceci maintient la séparation
nette entre ces trois grands types de puissances.
Dans ce chapitre, une étude théorique du calcul du facteur de puissance est présentée, se
basant sur le standard IEEE 1459-2010. Ce standard fournit les définitions de la puissance
active, la puissance réactive et la puissance apparente pour les systèmes monophasé et
triphasé sous les conditions suivantes : source sinusoïdale ou non sinusoïdale, charge
équilibrée ou non équilibrées. Ces définitions sont fondées sur les connaissances développées
et approuvées au cours des années 1940. De telles définitions ont bien servi le domaine
industriel, tant que les formes d’ondes du courant et de la tension sont sinusoïdales.

2. Définition des puissances électriques
La puissance active P, appelée aussi puissance réelle, est l’énergie convertie en travail
utile. Elle est définie comme étant la valeur moyenne de la puissance instantanée durant
l’intervalle du temps d’observation [τ, τ + kT] :

où la puissance instantanée p est le produit du courant instantané et de la tension instantanée,
elle est donnée par la relation suivante :
()
() ()
La puissance réactive Q, le composant inutile du travail, est l’amplitude de la puissance
instantanée oscillante




Note : Si la charge est inductive, alors Q est positive. Si elle est capacitive, alors Q est
négative.
La puissance apparente S est la puissance active maximale qui peut être transmise tout en
maintenant la tension de la charge constante et les pertes d’énergie dans les lignes constantes.
C’est le produit des valeurs RMS du courant et de la tension, elle est donnée par
Pour mesurer l’efficacité du courant converti en puissance réelle, on calcule le facteur de
puissance. Ce facteur est le rapport entre la puissance réelle et la puissance apparente. Il est
connu par la formule suivante
5

Note : Lorsque le cas non sinusoïdal est traité, le taux de distorsion harmonique du courant
et/ou de la tension est défini. Ce taux est l'écart global de l'onde déformée de son
fondamental,

3. Calcul du facteur de puissance d’un système monophasé

Dans cette section, on présente les définitions des puissances électriques et du facteur de
puissance afin de qualifier le flux d’énergie électrique pour des systèmes monophasés pour
des conditions sinusoïdales ou non.

Figure 1 : Système monophasé

3.1.Source de tension sinusoïdale avec charge linéaire

Une source de tension sinusoïdale

() √
( ) alimentant une charge linéaire par exemple une ampoule à filament, un radiateur électrique, un condensateur, une bobine, un
(
),
moteur asynchrone sans variateur - produit un courant sinusoïdal ( ) √
où θ est l’angle de phase entre le courant et la tension.
Les puissances électriques seront :
 p (t) = v(t) * i (t) = V I cos (θ) [1 – cos (2 ωt)] + V I sin (θ) * sin (2 ωt) [W];
 P = V I cos (θ) [W];
 Q=
( ) [VAR];
 S = VI = √
[VA];
Finalement, le facteur de puissance sera donné par la relation

3.2.Source de tension sinusoïdale avec charge non linéaire

Lorsque

les charges ne sont pas linéaires – par exemple une ampoule basse
consommation, un éclairage néon, un ordinateur, un téléviseur, un moteur asynchrone avec
variateur, un moteur à courant continu avec variateur – mais la source de tension est

6

sinusoïdale, le courant obtenu contient des harmoniques, ce courant aura l’expression
suivante :
( )

∑√

(

)

Les puissances électriques seront :
 P = V I1 cos θ1 [W] ;
 Q = VI1 cos θ1 [VAR] ;
 S = VI [VA].
Dans ce cas, S2 # P2 + Q2, on obtiendra une puissance déformante D [VAR], dite puissance
de distorsion, donnée par la relation suivante
(
)
Comme le courant contient des harmoniques, le taux de distorsion harmonique du courant
sera donné par THDI,
√( )

Enfin, le facteur de puissance sera

Le terme cos 1 est appelé facteur de déplacement car il dépend de l’angle de phase entre
la tension et le composant fondamental du courant, il est similaire au facteur de puissance
calculé pour une charge linéaire et une source de tension sinusoïdale.
Note : Si la puissance réactive des charges augmente, l’angle de phase entre la tension et le
composant fondamental du courant augmente aussi, par suite le facteur de puissance total
diminue. Pareillement, si le taux de distorsion harmonique augmente, le facteur de puissance
total décroît. Le facteur de puissance total est toujours inférieur au facteur de déplacement
lorsque la distorsion harmonique est présente.
3.3.Source de tension non sinusoïdale

En pratique, la tension du secteur n’est jamais complètement sinusoïdale : il y a des
harmoniques de tension.
Quelques soit le type de la charge, linéaire ou non, le courant et la tension admettent des
composants harmoniques, ils auront deux composants distincts : composants fondamentaux
v1 et i1, et les termes restants vH et iH contenant toutes les harmoniques.
v (t) = v1(t) +
(t);
v1 = √ V1 sin (ωt – α1);

√ ∑

(

i (t) = i1 (t) + (t);
i1 = √ I1 sin (ωt – β1);

);

√ ∑

(

);

Les valeurs RMS correspondantes élevées au carré sont :

7



Puisque le courant et la tension ont tous les deux des harmoniques, l'écart global de l'onde
déformée de son fondamental est estimée avec le taux de distorsion harmonique de la tension
et du courant respectivement :
√(

)

√( )
La puissance active P est considérée comme étant
où P1 est la puissance active fondamentale et PH est la puissance active des harmoniques


La puissance réactive Q est donnée par l’expression suivante
où Q1 est la puissance réactive fondamentale et QH est la puissance réactive de Budeanu

Ensuite, la puissance apparente est S = V I (VA)
Dans ce cas, S2 = S12 + SN2 ; où
 S1 est la puissance apparente fondamentale, cette puissance apparente et ses
composants P1 et Q1 sont les quantités réelles qui permettent de définir le taux de débit
de l'énergie du champ électromagnétique associé à la tension et le courant
fondamentaux ;



SN est la puissance apparente non fondamentale, elle qualifie la quantité globale des
harmoniques polluantes délivrées ou absorbées par la charge


La séparation des valeurs RMS du courant et de la tension en termes fondamentaux et
harmoniques permet d’écrire la puissance apparente de la façon suivante :
(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)
8

La puissance apparente non fondamentale SN est décomposée en trois termes distincts : la
puissance de distorsion du courant DI (VAR) – la puissance de distorsion de tension DV
(VAR) – la puissance apparente des harmoniques SH (VA);

En plus, on définit une puissance de distorsion des harmoniques DH (VAR) telle que

La puissance de distorsion du courant DI identifie la partie de la puissance non active non
fondamentale due à la distorsion du courant. C’est le composant dominant de SN.
La puissance de distorsion de tension DV détermine le composant de puissance non-actif non
essentiel en raison de distorsion de la tension.
La puissance apparente des harmoniques SH indique le niveau de la puissance apparente due
seulement aux harmoniques du courant et de la tension. C’est le composant le plus petit de SN
et inclut la puissance active des harmoniques PH.
Dans ce cas aussi, la puissance apparente n’est pas égale à la somme vectorielle des
puissances active et réactive. Une puissance non active N (VAR) sera définie, cette puissance
réunit ensemble les composants fondamentaux et non fondamentaux non actifs. Elle est aussi
appelée puissance fictive ;

Comme le courant et la tension, tous les deux contiennent des harmoniques, deux facteurs
de puissance peuvent être calculés :
 Le facteur de puissance fondamental évaluant séparément les conditions du flux
d’énergie fondamentale
 Le facteur de puissance total :
(



⁄ ),



(




)

-

,


(


(

))

Tableau 1 : Regroupement des quantités dans les systèmes monophasés avec les signaux non sinusoïdaux
Quantité
Combinée Puissances fondamentales Puissances non fondamentales
Puissance apparente (VA)
S
S1
SN
SH
Puissance active (W)
P
P1
PH
Puissance non active (VAR)
N
Q1
DI
DV
DH
Facteur d’utilisation de ligne PF = P / S
PF1 = P1 / S1

3.4.Algorithme
Puisque l’on a plusieurs conditions pour calculer le facteur de puissance, on peut tracer
l’algorithme suivant pour ce calcul lorsque la source de tension est non sinusoïdale.

9

Figure 2 : Algorithme de calcul du facteur de puissance

4. Calcul du facteur de puissance pour un système triphasé

Cette section présente les définitions des puissances électriques afin de qualifier le flux
d’énergie dans le système triphasé sous les conditions suivantes : source sinusoïdale ou non,
charge équilibrée ou non.
Lorsque le système n’est pas en équilibre, on calcule la puissance apparente effective qui
est égale à

et
sont la tension équivalente et le courant équivalent
respectivement. Dans les situations sinusoïdales et équilibrées, Se est la puissance apparente
conventionnelle
, où V et
sont la tension ligne-neutre et tension ligne√
ligne respectivement. Pour les situations sinusoïdales non équilibrées ou non sinusoïdales
équilibrées ou non, Se permet un calcul correct du facteur de puissance. Cette quantité était
proposée par l’ingénieur allemand Buchholz en 1922 puis en 1933 elle était expliquée par
l’ingénieur américain Goodhue.

Figure 3 : Système triphasé

10

4.1.Système triphasé sinusoïdal en équilibre

On suppose un système de séquence positive tournant dans le sens antihoraire, a – b – c,
les tensions simples [V] sont les suivantes :
( )

(
)

(



)

Les courants [A] dans les lignes ont des expressions similaires, et sont donnés par les
formules suivantes :
(
)

(
)



(

)

Dans cette situation, les définitions des puissances électriques telles que la puissance
active, la puissance réactive et la puissance apparente, ainsi que le facteur de puissance,
déterminés pour les systèmes monophasés peuvent être étendus pour un système triphasé en
équilibre sans aucune restriction.
Pour les systèmes triphasés à trois lignes, on a la relation suivante
Les puissances électriques auront les expressions suivantes :
 ()
[W];

[W];


[VAR] ;

 S=3VI=√
I [VA].
Enfin, le facteur de puissance est donné par la relation

4.2.Système triphasé sinusoïdal avec charge en déséquilibre

Dans ce cas, les trois phaseurs du courant

, et n’ont pas des amplitudes égales, et ils
ne sont pas décalés exactement de 120° l’un par rapport à l’autre. La charge déséquilibrée
conduit à un courant asymétrique qui causera une asymétrie au niveau de la tension.
Les tensions simples sont données par les expressions suivantes :
(
)

(
)

(
)

où au moins une des trois amplitudes des tensions simples √
, √
, ou √
admet
une valeur différente des valeurs des deux autres. La même chose peut être appliquée aux
angles de phase
, , et , si un angle de phase a une valeur différente des deux autres, le
système perdra sa symétrie et devient en déséquilibre.
Les courants auront les expressions suivantes :
11

(





)

(

)

(

)

La puissance instantanée [W] est donnée par la formule suivante :
()
La puissance active totale est alors


,

et

sont les puissances actives des phases a, b et c respectivement.

La puissance réactive de chaque phase est déterminée par :
;

;

;

Alors la puissance réactive totale est
La puissance apparente de chaque phase est donnée par :

On obtient deux types de puissance apparente :
 la puissance apparente arithmétique qui est la somme arithmétique des puissances
apparentes des lignes


La puissance apparente vectorielle considérée égale à la somme vectorielle de P et Q
|
(
)|
|
|

Une interprétation géométrique de
et
est présentée dans la figure suivante :

Figure 4 : Puissance apparente arithmétique et vectorielle en cas sinusoïdale

D’après cette figure on peut déduire que la puissance apparente vectorielle est plus petite que
la puissance apparente arithmétique. Ceci aboutit au calcul de deux facteurs de puissance :
 Facteur de puissance vectoriel donné par la relation suivante :
12



Et le facteur de puissance arithmétique donné par la relation suivante :

En général le facteur de puissance arithmétique est inférieur au facteur de puissance vectoriel.
Ces deux facteurs de puissance ne donnent pas une mesure exacte du facteur de puissance
pour les charges en déséquilibre. D’où la nécessité de calculer le facteur de puissance effectif
qui donne un résultat plus concret.
Dans le but de calculer le facteur de puissance effectif, on considère un circuit virtuel ayant
les mêmes pertes de puissances que le circuit actuel déséquilibré. Cette équivalence conduit à
la définition du courant effectif circulant dans les lignes et une tension effective simple
.
Pour un système triphasé à trois lignes, le courant équivalent et la tension équivalente
peuvent être trouvés en utilisant les relations suivantes :
(
(

)

(
)

(

)
)

où r est la résistance de la ligne et R la résistance shunt de ligne-neutre équivalente.
est la valeur RMS du courant du neutre ;
;
est la résistance du fil neutre.
La puissance apparente effective et le facteur de puissance seront déduits comme étant :

Note :
1. Si le système est en équilibre alors on obtiendra

2. Si le système est en déséquilibre alors on aura

3. Les puissances apparentes arithmétique et vectorielle ne satisfont pas à l'exigence de
linéarité de la perte de puissance du système.
4.3.Système triphasé non sinusoïdal en équilibre ou non

Auparavant, on divisait la puissance apparente effective
puissance non active N de la manière suivante :

en puissance active P et

L’approche utilisée dans le cas d’un système monophasé non sinusoïdal peut être étendue
dans ce cas.

13

Les valeurs RMS effectives du courant et de la tension sont divisées en deux composants –
fondamental et non fondamental – de la manière suivante :
;
.
Si le système triphasé est formé de trois lignes,
de la tension deviennent :
√ (

les expressions du courant et

)

√ (

)

√ (



)

√ ,

-

√ ,

-

√ ,

-



La puissance apparente effective Se aura deux composants, le fondamental Se1 et le non
fondamental SeN, identiquement à la puissance apparente d’un système monophasé.

La résolution de la puissance apparente effective est identique à celle de la puissance
apparente non fondamentale d’un système monophasé,

est la puissance de distorsion du courant,
la puissance de distorsion de la tension,
et
la puissance apparente des harmoniques. Ces puissances admettent les expressions
suivantes :
;

;

De plus on aura la puissance totale des distorsions DeH [VAR]

On définit les taux de distorsion harmonique du courant et de la tension respectivement
comme suit :

Finalement, le facteur de puissance effectif s’écrira :

14

Tableau 2 : Regroupement des quantités dans les systèmes triphasés avec les signaux non sinusoïdaux
Quantité

Combinée

Puissance fondamentale

Puissance non fondamentale

Puissance Apparente (VA)
Puissance Active (W)

P

Puissance Non-active (VAR)

N

Facteur d’utilisation





4.4.Algorithme
De même, pour le système triphasé, on peut tracer un algorithme de calcul du facteur de
puissance pour un système triphasé formé de trois lignes.

Figure 5 : Algorithme de calcul du facteur de puissance d’un système triphasé

15

Chapitre 3. Méthode de calcul du facteur de puissance sous
Matlab/Simulink
1. Première méthode de calcul du facteur de puissance

Cette

première méthode se base sur les relations obtenues dans le standard IEEE 1459.
On applique directement ces relations par une simulation sous Matlab/Simulink en utilisant la
librairie SimPowerSystems. Alors on calcule la puissance active, la puissance apparente et le
facteur de puissance en utilisant les blocs suivants :
 Mean : Ce bloc permet de calculer la valeur moyenne de la puissance instantanée par
suite déduire la puissance active.
 Fourier : Ce bloc permet de calculer la valeur moyenne et l’angle de phase de la
tension et du courant fondamentaux respectivement, par suite on pourra déduire la
puissance apparente.
 THD : Ce bloc permet de calculer le taux de distorsion harmonique de la tension et du
courant respectivement.
 RMS : Ce bloc permet de calculer la valeur efficace du courant et de la tension.
1.1. Système monophasé
1.1.1. Source de tension sinusoïdale avec charge linéaire
 La puissance active est considérée comme étant la valeur moyenne de la puissance
( ) ( ), par suite
instantanée, ( )
.
 La puissance apparente est le produit des valeurs RMS respectives du courant et de la
tension
.
 Le facteur de puissance est
où θ est l’angle de phase ente la tension et le
courant.

Figure 1 : Modèle permettant de calculer le facteur de puissance dans le cas où la source de tension est
linéaire et la charge est linéaire.

1.1.2. Source de tension sinusoïdale avec charge non linéaire
Dans ce cas, on a deux facteurs à calculer : le facteur de puissance total, qui est le rapport
entre la puissance active et la puissance apparente, et le facteur de déplacement
, où
est l’angle de phase entre la tension et le terme fondamental du courant.
On calcule :
16






La puissance apparente fondamentale
La puissance active
;
Le taux de distorsion harmonique

La puissance apparente

;
;
.

Figure 2 : Modèle permettant de calculer le facteur de puissance dans le cas où la tension est sinusoïdale
et la charge n’est pas linéaire.

1.1.3. Source de tension non sinusoïdale
Quelques soit le type de la charge dans ce cas, on a deux facteurs à calculer : le facteur de
puissance total, qui est le rapport entre la puissance active et la puissance apparente, et le
facteur de déplacement
, où
est l’angle de phase entre la tension et le terme
fondamental du courant.
On calcule :





La puissance apparente fondamentale
;
La puissance active P = valeur moyenne de v(t) * i(t) ;
Le taux de distorsion harmonique du courant
;
Le taux de distorsion harmonique de la tension
;

 La puissance apparente



(

) .

17

Figure 3 : Modèle permettant de calculer le facteur de puissance dans le cas où la tension n’est pas
sinusoïdale.

1.1.4. Exemples de simulation
On présente maintenant les résultats de simulation des modèles de calcul du facteur de
puissance appliqués sur différents types de charges.
Dans les exemples suivants, on considère :
 Une source de tension sinusoïdale : v (t) = 100 sin (100πt) ;
 Une source non sinusoïdale : v (t) = 100*sin (100πt) + 50*sin (300πt) ;
 Un gradateur admettant un rapport cyclique α = π/6. (le système gradateur est
considéré comme charge non linéaire)

Figure 4 : Une simple charge inductive, R = 500 Ω, L = 0.6 H
Source sinusoïdale

P (W)

Source non sinusoïdale

Sinusoïdal

Semi
sinusoïdal

Non
sinusoïdal

Sinusoïdal

Semi
sinusoïdal

Non
sinusoïdal

8.756

8.756

8.756

9.853

9.853

9.853

9.357

9.357

9.926

11.1

0.9357

0.9357

0.9926

0.8878

(VA)
S (VA)

PF

9.357

0.9357

9.357

9.357

0.9357

0.9357

0.9357

0.9357

9.357

0.9357

18

Figure 5 : Gradateur monophasé avec une charge résistive R = 500 Ω.
Source sinusoïdale

P (W)

Sinusoïdal

Semi
sinusoïdal

Non
sinusoïdal

Sinusoïdal

Semi
sinusoïdal

Non
sinusoïdal

9.678

9.678

9.678

11.28

11.28

11.28

9.694

9.694

9.485

9.485

9.767

9.767

10.48

11.71

0.9984

0.9984

0.9906

0.9906

0.9909

0.9909

1.077

0.9633

(VA)
S (VA)

PF

Source non sinusoïdale

9.694

0.9984

9.485

0.9906

Figure 6 : Gradateur monophasé avec une charge inductive, R = 500 Ω et L = 0.2 H
Source sinusoïdale

P (W)

Sinusoïdal

Semi
sinusoïdal

Non
sinusoïdal

Sinusoïdal

Semi
sinusoïdal

Non
sinusoïdal

9.485

9.485

9.485

10.76

10.76

10.76

9.621

9.621

9.386

9.386

9.666

9.666

10.21

11.41

0.9858

0.9858

0.9734

0.9734

0.9813

0.9813

1.054

0.9426

(VA)
S (VA)

PF

Source non sinusoïdale

9.621

0.9858

9.386

0.9734

19

Interprétation des résultats :
On remarque que le premier modèle permet d’obtenir les valeurs fondamentales car il
représente le calcul dans le cas pur sinusoïdal. Alors que le second modèle présentant le
calcul dans le cas semi sinusoïdal donne parfois des erreurs tel que un facteur de puissance
supérieur à 1 dans le cas où la source de tension n’est pas sinusoïdale, ceci est à cause des
harmoniques au niveau de la tension.
1.2. Système triphasé
1.2.1. Source de tension sinusoïdale avec charge en équilibre
Dans ce cas, on considère le système triphasé avec trois lignes, par suite on calcule ;
 La puissance active comme étant la valeur moyenne de
;
 La puissance apparente
;
 Le facteur de puissance PF = P/S.

Figure 7 : Modèle permettant de calculer le facteur de puissance dans le cas où la tension est sinusoïdale
et la charge est en équilibre.

Note : La puissance apparente calculée est la puissance apparente arithmétique du système
car elle est égale à la somme des puissances apparente des lignes.
1.2.2. Source de tension sinusoïdale / non sinusoïdale avec charge en déséquilibre
Dans ce cas, on considère le système triphasé avec trois lignes, par suite on calcule :
 La puissance active P = valeur moyenne de
;
√ ,

 La tension effective équivalente
 Le courant effectif équivalent

√ (

 La puissance apparente
 Le facteur de puissance

;

-;
);

.

20

Figure 8: Modèle permettant de calculer le facteur de puissance dans les cas où la tension est
sinusoïdale et la charge n’est pas en équilibre, et lorsque la tension n’est pas sinusoïdale.

Ce modèle permet de calculer le facteur de puissance effectif.
1.2.3. Exemples de simulation
On présente maintenant les résultats de simulation des modèles de calcul du facteur de
puissance appliqués sur différents types de charges.
Dans les exemples suivants, on considère :
 Une source de tension sinusoïdale triphasée telle que :
(
(
(




);
);
).

Une source de tension non sinusoïdale triphasée :
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
Un gradateur triphasé admettant un rapport cyclique α = π/6.

) ;
);
).

Figure 9 : Charge résistive R = 200 Ω

21

Source sinusoïdale

P
(W)
S
(VA)
PF

Source non sinusoïdale

Sinusoïdal en
équilibre

Sinusoïdal/Non sinusoïdal
en déséquilibre

Sinusoïdal en
équilibre

Sinusoïdal/Non sinusoïdal
en déséquilibre

75

75

75.19

75.19

75

75

75.19

75.19

1

1

1

1

On remarque dans ce cas que le facteur de puissance est égal à 1 car la charge est résistive.
Ceci réellement n’est pas vrai à cause des pertes dans les lignes.

Figure 10 : Gradateur triphasé avec une charge inductive, R = 200 Ω et L = 0.08 H
Source sinusoïdale

P
(W)
S
(VA)
PF

Source non sinusoïdale

Sinusoïdal en
équilibre

Sinusoïdal/Non sinusoïdal
en déséquilibre

Sinusoïdal en
équilibre

Sinusoïdal/Non sinusoïdal
en déséquilibre

50.45

50.45

50.51

50.51

60.11

60.37

65.07

60.73

0.8393

0.8358

0.7763

0.8317

Figure 11 : Gradateur triphasé avec une charge en déséquilibre : R1 =1 KΩ, R2 = 200 Ω et L2 = 0.08 H,
R3 = 500 Ω et L3 = 0.2 H.

22

Source sinusoïdale

P
(W)
S
(VA)
PF

Source non sinusoïdale

Sinusoïdal en
équilibre

Sinusoïdal/Non sinusoïdal
en déséquilibre

Sinusoïdal en
équilibre

Sinusoïdal/Non sinusoïdal
en déséquilibre

20.92

20.92

20.69

20.69

25.63

26.38

27.48

26.28

0.8162

0.7932

0.7528

0.7872

Interprétation des résultats :
Le premier modèle permet d’obtenir le facteur de puissance arithmétique car la puissance
apparente est celle arithmétique. Alors que le second permet de calculer le facteur de
puissance effectif, ce modèle présente la forme générale de calcul du facteur de puissance.

2. Calcul du facteur de puissance en utilisant la FFT
2.1. Introduction

Le calcul des harmoniques présentes dans le courant et la tension est nécessaire afin de
calculer les composants de la puissance et du facteur de puissance. Le standard IEEE 14592010 ne spécifie pas une méthode à utiliser pour obtenir les harmoniques présentes dans un
signal.
L’analyse de Fourier est l’outil le plus utilisé en traitement de signal. Cette analyse
consiste à décomposer le signal en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences
différentes. La transformée de Fourier donne une version du signal dans le domaine
fréquentiel : une liste d’amplitudes et d’angles de phase correspondant à un ensemble de
sinusoïdes en relation harmonique, par suite cette transformée peut être utilisée pour obtenir
le contenu harmonique des signaux du courant et de la tension échantillonnés.
Selon ce concept, on peut reconstruire le signal original (courant ou tension) et obtenir le
signal fondamental et tout signal harmonique. En utilisant ces quantités, on pourra calculer
les puissances fondamentales – active, réactive et apparente – et tout autre terme de
puissance, de plus on calculera le facteur de puissance, soit pour un système monophasé, soit
pour un système triphasé. Ces calculs dérivent des relations présentes dans le standard IEEE
1459-2010.
Cette méthode réduit considérablement la complexité du calcul, elle peut être facilement
applicable et l’exactitude des résultats est maintenue.
2.2. Série de Fourier

Le théorème de Fourier s’énonce comme suit : toute fonction périodique s (t) peut être
décomposée en une série infinie de fonctions sinus et cosinus :
()



(

)

(

))

23


est la pulsation fondamentale (rad/s) ou
Hz,
,
et
sont les
coefficients de la série de Fourier.
L'évaluation de la forme d'onde de domaine temporel seul n'indique pas les fréquences qui
sont présentes. Pourtant, la transformée de Fourier discrète DFT montre clairement les
fréquences présentes et les amplitudes correspondantes.
2.3. DFT

On donne N échantillons consécutifs s(n), 0 < n < N-1, d’une séquence périodique ou
apériodique. Les N points DFT S(k), 0 < k < N-1, sont définis tel que :
( )

∑ ( )



, est la fréquence de la sinusoïde k.
La DFT est généralement mise en œuvre dans la pratique avec l’une des formes les plus
courantes de la transformée de Fourier rapide FFT. La FFT n’est pas une transformée de
Fourier, mais un algorithme de calcul efficace simple qui réduit la complexité de calcul de la
DFT de l’ordre N2 à l’ordre
.
De cette transformation, on peut déduire les amplitudes et les angles de phase :
‖ ( )‖ √( * ( )+)
( * ( )+)
* ( )+
( )
,
* ( )+
Evidemment, la série de Fourier et la DFT sont liées. Par suite, on peut déduire les
coefficients de Fourier comme étant les résultats réduits obtenus par la DFT :
( )

* ( )+
* ( )+

Représentation d’un signal numérique comme une somme de sinusoïdes :
Les termes en sinus et cosinus dans la série de Fourier peuvent être combinées en une
seule sinusoïde avec décalage de phase en utilisant la relation suivante :
(
)
(
)
(
)

,

-

En utilisant les équations précédentes, on peut trouver
coefficients de la DFT :
‖ ( )‖

et

comme fonction des

( )

De l’analyse citée ci-dessus, tout signal numérique peut être représenté par une somme de
sinusoïdes. Au début, on doit trouver la représentation du signal numérique dans le domaine
fréquentiel S (k), puis on utilise les informations obtenues dans le domaine fréquentiel pour
réobtenir le signal original.

24

2.4. L’approche proposée pour calculer tous les termes de puissance

Après avoir obtenu les échantillons du courant et ceux de la tension, on utilise la DFT
pour obtenir les contenus harmoniques des signaux du courant et de la tension.
Le courant et la tension peuvent être exprimés par :
()
()



(

)



(

)

en utilisant les équations dans 3.3, on calcule les termes
,
,
et .
Les valeurs RMS de toutes les harmoniques du courant et de la tension seront
respectivement :


Par suite en se basant sur les relations obtenues dans le standard IEEE 1459, tous les
termes (fondamental et harmonique) de puissance active, puissance réactive et puissance
apparente seront déterminés.
2.5. Simulation et résultat

En se basant sur cette étude, on peut simuler sous Matlab/Simulink afin de calculer le
facteur de puissance d’un système monophasé ou triphasé. Dans Matlab, il est possible de
choisir les signaux du courant ou de la tension avec ou sans harmoniques. Les échantillons du
courant et de la tension sont transformés au domaine fréquentiel en utilisant le bloc FFT de la
librairie SimPowerSystems de Simulink. Ce bloc permet d’obtenir les ordres d’harmoniques,
ainsi que les valeurs RMS. Après avoir connu les ordres d’harmoniques, on utilise le bloc
Fourier de la librairie SimPowerSystems de Simulink, afin d’obtenir l’amplitude de chaque
harmonique et l’angle de phase correspondant. Par suite, on calcule les termes de puissance
en utilisant le standard. Enfin on déduit le facteur de puissance.
2.5.1. Modèle de calcul
La puissance active calculée est P = P1 + PH
La puissance apparente est S = VI pour un système monophasé. Si le système est triphasé, la
puissance apparente calculée est
.
Le facteur de puissance est déduit comme étant le rapport entre la puissance active et la
puissance apparente.
On utilise de la librairie SimPowerSystems les blocs suivants :
 Fourier : ce bloc permet d’obtenir l’amplitude et l’angle de phase de n’importe quelle
harmonique ;
 FFT : ce bloc permet d’obtenir les valeurs RMS ainsi que l’ordre de chaque
harmonique avec son amplitude.

25

Figure 12 : Modèle représentant l’application de la FFT.

Ce modèle est appliqué aux signaux du courant et de la tension respectivement afin d’obtenir
les valeurs RMS puis calculer les termes de la puissance apparente.

Figure 13 : modèle de calcul de la puissance active.

On simule les mêmes exemples traités par la première méthode de calcul, avec les mêmes
sources de tension utilisées.
2.5.2. Simulation du système monophasé
 Charge inductive avec source de tension sinusoïdale puis une source de tension non
sinusoïdale
P (W)
S (VA)
PF

Source de tension sinusoïdale
8.756
9.357
0.9357

Source de tension non sinusoïdale
9.853
11.1
0.8878

 Gradateur monophasé avec une charge résistive
P (W)
S (VA)
PF

Source de tension sinusoïdale
9.678
9.748
0.9928

Source de tension non sinusoïdale
11.28
11.63
0.9705

26

 Gradateur monophasé avec charge inductive
P (W)
S (VA)
PF

Source de tension sinusoïdale
9.485
9.669
0.981

Source de tension non sinusoïdale
10.76
11.43
0.941

2.5.3. Simulation de système triphasé
 Charge résistive
Source de tension sinusoïdale

Source de tension non sinusoïdale

75

75.19

75

75.19

1

1

P (W)
S (VA)
PF

 Gradateur triphasé en équilibre avec charge inductive
Source de tension sinusoïdale

Source de tension non sinusoïdale

50.45

50.51

60.86

61.17

0.8286

0.8258

P (W)
S (VA)
PF

 Gradateur triphasé en déséquilibre
Source de tension sinusoïdale

Source de tension non sinusoïdale

20.92

20.69

26.75

26.59

0.7821

0.7779

P (W)
S (VA)
PF

3. Comparaison entre les deux méthodes de calcul

Les

deux méthodes, application directe des formules et calcul FFT, permettent de
calculer la puissance active, la puissance apparente et le facteur de puissance d’un système
électrique, soit monophasé soit triphasé.
La première méthode de calcul permet de calculer en plus S1, THDI, THDV, le facteur de
déplacement
. Les puissances
, Q1, SN et ses composants ( ,
, ),
et N
peuvent être déduites en appliquant leurs expressions au résultats obtenus.
La deuxième méthode permet de calculer tous les composants des puissances – puissance
active, puissance réactive et puissance apparente – car on a calculé les amplitudes et les
angles de phase pour tout ordre d’harmonique, de plus on peut déduire les valeurs des taux de
27

distorsion harmonique car les valeurs RMS des harmoniques et du fondamental sont les
résultats obtenus par cette méthode.
On remarque que les résultats numériques obtenus en appliquant les deux méthodes sont les
mêmes.
La deuxième méthode est plus efficace en calcul car elle permet d’utiliser les valeurs
d’amplitudes, valeurs RMS et angles de phase, pour calculer les termes nécessaires au calcul
du facteur de puissance et calculer tous les composants des puissances.
Alors que la première méthode permet un calcul direct des puissances sans intérêt au calcul
des composants des puissances.
Lors de la compensation des harmoniques, on doit connaitre ces harmoniques et leur effet sur
le système. Dans ce cas l’utilisation de la deuxième méthode est plus efficace.
Tableau 1 : Comparaison entre les deux méthodes pour un système monophasé
Première méthode

Deuxième méthode

Calcul de P et ses composants

Oui

Oui

Calcul de S et ses composants

Oui

Oui

Calcul de Q et ses composants

Seulement

Oui

Calcul de N

Oui

Oui

Calcul du facteur de déplacement

Oui

Oui

Calcul du facteur de puissance

Oui

Oui

Calcul des taux de distorsion harmonique

Calcul direct

Déduction des valeurs RMS

28

Chapitre 4. Compensation
1. Introduction
De nos jours, les équipements basés sur l’électronique de puissance sont largement utilisés
dans le domaine industriel ainsi que le domaine domestique, tels que les radiateurs, les fours, les
fours à arc, les soudeurs, les industries de transformation telles que la galvanoplastie, les mines
électro etc…, le secteur des services publics tels que les systèmes HVDC, les batteries de
stockage d’énergie et l'interfaçage des systèmes de production d'électricité de l'énergie
renouvelable.
Ces équipements ont des impacts importants sur la qualité de la tension fournie et ils ont
augmenté la pollution en harmonique de courant dans les réseaux de distribution. Ils ont de
nombreux effets négatifs sur le système d'alimentation et sur le client, tels que des pertes
supplémentaires dans les câbles aériens et souterrains, les transformateurs et les machines
électriques tournantes, des problèmes dans le fonctionnement des systèmes de protection, une
surtension, des erreurs dans les instruments de mesure, et des dysfonctionnements de faible
efficacité des charges sensibles chez le client.
Le facteur de puissance est fonction de
, le facteur de déplacement, et des taux de
distorsion harmonique. Lorsque la puissance réactive des charges augmente, l’angle de phase
entre le composant fondamental de la tension et celui du courant augmente aussi, par suite le
facteur de puissance total diminue. Pareillement, si le taux de distorsion harmonique augmente,
le facteur de puissance total décroît. D’où la nécessité de compenser la puissance réactive par
suite améliorer le facteur de puissance.
2. Amélioration de
2.1. Amélioration par utilisation de compensateurs spéciaux
1. Compensation synchrone : les machines synchrones peuvent être utilisées comme
compensateurs de l’énergie réactive. Les compensateurs synchrones peuvent être utilisés
pour des puissances réactives à partir de 5000 à 75000 KVAR. Les pertes actives se
trouvent dans les limites 0.32 à 0.15 KW/KVAR.
2. Condensateurs : les condensateurs utilisés comme source d’énergie réactive sont
généralement fabriqués à puissance plus petite que celui des machines synchrones. Ils
peuvent être groupés en série ou en parallèle pour donner la puissance désirée.
La capacité d’un condensateur est d’autant plus faible que la tension est plus élevée. Dans les
installations triphasées, on emploie des batteries composées chacune de trois condensateurs
branchées en triangle.
2.2. Amélioration sans utilisation de compensateurs spéciaux
C’est la solution la plus rationnelle et économique. Les méthodes sont :
1. Remplacement des moteurs asynchrones ayant des puissances nominales beaucoup plus
grandes que la charge réelle par des moteurs plus petits.
29

2. Diminution de la tension d’alimentation des moteurs à charge réelle plus petite que la
charge nominale.
3. Le fonctionnement de la majorité des systèmes électromécaniques à moteur asynchrone
se caractérise par la marche à vide pour un certain temps (50 à 65% du temps total de
fonctionnement). Il est utile de diminuer ce temps en débranchant le moteur si le temps
est suffisamment long. Par suite la compensation de l’énergie active et particulièrement
réactive diminuera.
4. Amélioration de la réparation capitale des moteurs asynchrones : pendant la réparation
des moteurs asynchrones il faut faire attention des données nominales du moteur, des
schémas d’enroulement statorique.
5. Remplacement des transformateurs : on substitue ou on réarrange les transformateurs en
service : lorsque l’on a des transformateurs en parallèle il faut débrancher un ou plusieurs
unité dans les heures à petite charge.

3. Compensation par filtrage
Les techniques d'atténuation des harmoniques sont classées en trois catégories: les techniques
passives, les techniques actives et les techniques hybrides.
3.1.Amélioration de la qualité de puissance par utilisation de filtres passifs
Au cours de la dernière décennie, les filtres passifs ont été utilisés pour éliminer les courants
harmoniques et améliorer le facteur de puissance du réseau alternatif. Ces filtres passifs se basent
sur une inductance L et une capacité C, mis en série ou en parallèle. Ces filtres passifs LC
présentent de nombreux inconvénients tels que le problème de résonnance, la dépendance de leur
performance sur l’impédance du système, l’absorption de courant harmonique de la charge non
linéaire, ceci pourrait conduire à de nouvelles propagation harmonique dans le système
d’alimentation.
Pour éviter cette résonnance entre le filtre passif existant et l’impédance d’alimentation, des
filtres actifs sont proposés.
3.2. Amélioration de la qualité de puissance par utilisation de filtres actifs
Afin de surmonter le problème de résonnance, des filtres actifs sont introduits. Ces filtres
injectent dans le système une tension ou un courant harmonique avec des amplitudes et angles de
phase appropriés et annulent les harmoniques des charges non linéaires. Mais, ils ont aussi
quelques inconvénients comme le coût initial élevé et de fortes pertes de puissance ce qui limite
leur large application, notamment avec le système de forte puissance. L'amplification du
convertisseur formant le filtre actif shunt, nécessite une haute tension du circuit intermédiaire
afin de compenser efficacement les harmoniques d'ordre supérieur, ce filtre est utilisé pour
annuler les courants harmoniques de la charge. D'autre part, un filtre actif série a besoin d'un
transformateur capable de supporter le courant de la charge dans le but de compenser la
distorsion de tension et améliorer la qualité de la tension appliquée à la charge.
3.3. Amélioration de la qualité de puissance par utilisation de filtres hybrides
Les filtres hybrides ont été introduits et mis en œuvre dans des applications pratiques du
système. Ils offrent une compensation des harmoniques rentable en particulier pour une charge
30

non linéaire de haute puissance. Les filtres hybrides shunt sont constitués d'un filtre actif
connecté en série avec un filtre passif avec un onduleur PWM triphasé. Ce filtre atténue
efficacement le problème d'un filtre passif et celui du filtre actif. Le filtre actif est commandé de
manière à agir comme un compensateur d’harmoniques de la charge en limitant l'ensemble des
courants harmoniques dans le filtre passif. Ceci élimine la possibilité de résonance série et
parallèle. Le filtre hybride fournit la compensation des harmoniques par un coût efficace, en
particulier pour l'alimentation en haute tension d’une charge non linéaire.

4. Filtre hybride
Les filtres hybrides peuvent être classés en fonction du nombre d'éléments dans la topologie,
du système d'alimentation et du type de convertisseur utilisé dans leurs circuits. Le système
d'alimentation peut être monophasé (à deux fils), triphasé à trois fils et triphasé à quatre fils. Le
type de convertisseurs peut être une source de tension inverse ou un onduleur (source de courant)
pour réaliser des filtres actifs avec un contrôle approprié.
Dans chaque cas de système d'alimentation, quatre éléments de base sont tenus d'élaborer des
configurations de circuit de filtrage hybride : filtre passif série, filtre passif shunt, filtre actif série
et filtre actif shunt.
4.1. Critères de sélection des filtres hybrides
La sélection des filtres hybrides pour une application particulière est une décision importante
pour les utilisateurs. Voici quelques facteurs de sélection et de conception de la configuration des
filtres hybrides :









Type du système d’alimentation (monophasé, triphasé trois fils, triphasé quatre fils)
Nature de la charge (alimentation en tension, alimentation en courant ou mixte)
Compensation exigée en courant (harmoniques, puissance réactive, équilibrage, courant
neutre)
Compensation exigée en tension (harmoniques, déséquilibre, réglementation,
affaiblissement, surtension, …)
Modèle de la charge (fixe, variable, fluctuant)
Niveau de compensation nécessaire (THD, individuel, réduction des harmoniques
répondant à la norme spécifique, …)
Coût – Taille - Poids - Efficacité - Fiabilité (nombres de composants)
Facteurs environnementaux (température ambiante, altitude, niveau de pollution,
humidité, types de refroidissement, …)

4.2. Catégorie des charges non linéaires
Les charges non linéaires peuvent être classées en trois catégories.
 Charge alimentée en tension, comme le redresseur en diode avec filtre capacitif
alimentant par le lien DC un moteur AC en base VSI à fréquence variable, les blocs
d’alimentation par un redresseur en diode avec des filtres capacitifs utilisés dans les
ordinateurs et autres appareils, chargeur de batterie, etc… Ces charges causent un courant
discontinu et non sinusoïdal donnant un haut THD du courant, un faible facteur de
31

puissance et des distorsions de la tension alternative aux bornes du PCC. Une des
meilleures topologies des filtres hybrides pour de telles charges est une combinaison de
filtre actif série avec un filtre passif série (figure 1). Le filtre crée un barrage pour les
harmoniques de courant et fournit une solution réglable pour différentes charges. Il évite
aussi le problème de résonnance de filtres passifs.

Figure 1.

 Charge alimentée en courant, comme les convertisseurs à thyristors alimentant un moteur
DC, et convertisseurs à thyristors utilisés pour obtenir une source de courant continu afin
d’alimenter les systèmes CSI et HDVC. L’une des meilleures topologies de compensation
est un filtre hybride constitué d’un filtre actif shunt en série avec des filtres passifs shunt,
comme représenté à la figure 2, à condition que la charge soit équilibrée pour un système
triphasé. Toutefois, si la source d’alimentation a des problèmes de qualité d’énergie
et l’on veut compenser la puissance réactive de la charge, alors un filtre hybride de type
UPQC peut être la meilleure solution (figure 3).

Figure 2


Figure 3

Charges mixte, c.à.d. mélange des deux types cités avant. Dans de tel cas, une topologie
HF de filtre actif série avec des éléments du filtre passif shunt (figure 4) est la meilleure
solution, à condition que l’alimentation électrique soit idéale. La compensation réglable
de la puissance réactive n’est pas nécessaire.

Figure 4

5. Modélisation d’un filtre hybride triphasé
Un certain nombre de concepts de contrôle et de stratégies des filtres actifs ont été rapportés
dans la littérature [11]-[19]. Les plus populaires sont les méthodes dans le domaine temporel
comme la théorie de la puissance réactive instantanée, et la théorie du référentiel synchrone. La
réponse de ces méthodes est rapide par rapport aux méthodes du domaine fréquentiel basées sur
32

la transformée de Fourier rapide. Pourtant, ces dernières offrent une détection sélective des
harmoniques.
Une technique de contrôle non linéaire est proposée dans [20] afin d’améliorer le
comportement dynamique d'un filtre actif shunt modélisé dans le repère orthogonal "d-q". La
théorie de linéarisation de la rétroaction est appliquée à la conception du dispositif de
commande. Cette stratégie de contrôle permet le découplage des courants et améliore la
régulation de tension en courant continu.
Dans [22], des contrôleurs linéaires et non linéaires sont utilisés pour un redresseur à trois
niveaux pour la régulation d'harmonique et de la tension à courant continu. Le découplage du
courant et son contrôle sont atteints grâce à une linéarisation de la rétroaction. Les paramètres de
variations sont compensés à l'aide d'un système adaptatif.
Dans ce rapport, un filtre hybride shunt (SHPF) est modélisé dans le repère de référence fixe
"a-b-c", puis le modèle est transformé en un repère tournant "d-q" pour réduire la complexité de
contrôle. Deux techniques de commande de courant découplé à l'aide de différentes régulateur de
type proportionnel-intégral (PI) et un contrôleur d'hystérésis, sont mis en œuvre pour obliger le
courant du filtre pour suivre la valeur de référence. D'autre part, la tension continue du filtre est
réglée en utilisant le contrôleur PI. Le courant harmonique de la charge non linéaire est contrôlé
par l'alimentation à partir du filtre passif, donc pas de courants harmoniques sont tirés du secteur.
Le filtre passif LC est relié à un filtre actif, le taux requis du filtre actif est beaucoup plus petit
que celui d'un filtre actif shunt autonome. Ici le filtre d'ondulation de commutation n'est pas
nécessaire car son circuit LC accomplit le filtrage de l'ondulation de commutation.
La figure 5 montre un filtre hybride shunt connecté au système électrique alimentant des
charges non linéaires. La charge non linéaire est un système gradateur alimentant une charge
inductive. Le système de filtration est constitué d’un filtre actif connecté en série avec un filtre
passif. Cette configuration de filtre hybride assure la compensation des harmoniques de courant
en améliorant les caractéristiques de compensation du filtre passif et en éliminant le risque de
résonnance. Il prévoit une indemnisation efficace des harmoniques de courant et une distorsion
limitée de la tension d’alimentation.

33

Figure 5 : Système triphasé avec filtre hybride

5.1. Modélisation du filtre hybride shunt
Les lois de Kirchoff du courant et de la tension appliquées à ce système offrira trois équations
différentielles dans le référentiel stationnaire "abc" (pour k = 1 2 3)

En calculant la dérivée de cette équation, on obtiendra

En faisant la somme des trois équations inclus dans l’équation précédente, et en tenant compte de
l'absence de la composante homopolaire du courant dans un système à trois conducteurs, et dans
l'hypothèse où les sources de tension alternatives sont équilibrées, la relation suivante est
obtenue :

On définit la fonction de commutation
du convertisseur k comme étant l'état binaire des deux
interrupteurs
et
. Ainsi, la fonction de commutation
(k=1, 2, 3) est définie comme
étant
*

34

Ainsi, avec

, on obtient la relation suivante :
(



)

Soit la fonction de l'état de commutation
(



)

La valeur de
dépend de l'état de commutation n et de la phase k. En d'autres termes,
dépend simultanément des fonctions de commutation des trois branches du filtre actif. Cela
montre l'interaction entre les trois phases. La conversion de , - à , - est donnée par la
relation suivante:
[

]

[

][ ]

Notez que cette matrice de transformation est de rang 2 et que , - n'a pas de composantes
homopolaires. L'analyse de la composante de courant continu du système donne

En l'absence de composantes homopolaires dans , - et ,
(

- , on obtient

)

(

)

En conséquence, le modèle complet du filtre actif dans le référentiel "abc" est obtenu,

(

)

(

)

Il est à noter que ce modèle est variable dans le temps et de nature non linéaire.
5.2. Modèle de transformation dans le référentiel « d-q »
Étant donné que les composants fondamentaux sont sinusoïdaux, le système se transforme en un
repère orthogonal synchrone tournant à la fréquence ω. La matrice de conversion est

√ [

(
(

)
)

(
(

)

]
)

35



, et les égalités suivantes sont vérifiées
(
)
On peut alors écrire :

(

)

- ,

,

-

L'application de la transformation des coordonnées, on obtient ce qui suit:
(

[

]) (

[

])

,

- [

]

D'autre part, les deux premières équations du modèle peuvent être réécrites sous la forme
suivante :
,

-

,

-

,

-

,

-

Et on pourra réduire la matrice de transformation en
.

√ [

/

.

]

/

Ayant comme inverse la matrice suivante :
√ *

.

/

(

)

+

En appliquant cette transformation, on obtiendra :
0

[

]1

0

[

]1

[

]

[

]

0

[

]1

En outre, avec la propriété de différenciation de la matrice on aura
0
0

[

]1

[
[

0

]1

]

(

[

[

]

(

)[

]

[

]

(

)

[

]

(

)[

)

]1

[

]

(

)[

]

]

Enfin, le modèle dynamique complet dans le référentiel "d-q" est obtenu
(

)

(

)

36

Le modèle est invariant dans le temps lors d'un état de commutation donné.
5.3. Contrôle du courant harmonique
Comme il est concevable que la loi de commande du courant devrait être en mesure de suivre les
harmoniques d'ordre élevé, cette loi est conçue pour avoir une réponse plus rapide que la loi de
commande de la tension continue. En conséquence, les deux premières équations du modèle
seront :
(

)

(

)

de telle sorte que l’on définit les entrées équivalentes suivantes

Ainsi, grâce aux entrées équivalentes définies, la dynamique couplée du problème de suivi en
cours ont été transformées en dynamique découplés. En utilisant des signaux d'erreur
̃
̃
et en appliquant une compensation PI,
̃

et

sont choisies de telle sorte que

∫ ̃

̃

∫ ̃

La fonction de transfert des régulateurs PI est donnée par :
( )
( )
( )
̃ ( )
̃ ( )
et la fonction de transfert en boucle fermée du courant est
( )
( )

( )
( )

(

La boucle de commande intérieure du courant

)

est représentée par la figure 6

Figure 6 : Boucle de contrôle du courant

37

La loi de commande est donnée par ce qui suit :

Notez que les entrées
et
se composent d'une partie d’annulation non linéaire et d’une
partie de compensation de découplage linéaire.
5.4. Contrôle de la tension DC
Le filtre actif produit une tension fondamentale en phase avec le courant principal fondamental
du filtre passif. Il offre à la capacité une petite quantité de puissance active formée par le courant
et la tension fondamentale. Par conséquent, la quantité électrique réglée par le contrôleur de la
tension continue est
. Pour maintenir la tension
égale à sa valeur de référence, les pertes
par les branches résistives inductives du filtre de puissance active seront indemnisées en agissant
sur le courant d'alimentation.
Dès ce qui précède, on peut déduire :

On définira une entrée équivalente

telle que

Ainsi, le courant réactif du filtre actif sera

Toutefois, en supposant que la boucle de courant est idéale, et pour un fonctionnement normal du
filtre actif, les propriétés suivantes sont vérifiées:

La tension

du filtre actif selon l’axe q est


est l’impédance du filtre actif à la fréquence fondamentale et
continue.
Le contrôle dans la boucle de tension continue est

est la composante

Les courants de filtrage triphasés sont exprimés par

38

[

]

(



La valeur RMS du courant fondamental

)

(
)]
[
est donnée par la relation :

La formule de Laplace du contrôle peut être calculée comme suit:

( )



( )



Figure 7 : Boucle de contrôle de la tension DC
Pour régler la tension continue, l'erreur ̃
type PI proposé par

est envoyée à travers un régulateur de
̃

∫̃

La fonction de transfert en boucle fermée résultante est
( )
( )


est la pulsation angulaire de la boucle externe, et

est le facteur d’amortissement.

La fonction de transfert de la figure est donnée comme suit:


( )
( )


Le gain proportionnel

et le gain intégral
(

⁄(√

sont obtenus comme suivant :
))

(

⁄(√

))

39

5.5. Simulation et résultat
Tableau 1 : Spécifications des paramètres
Tension de la phase et fréquence
V = 100 V (RMS), f = 50 Hz
Impédance de la source
Charge
Paramètres du filtre passif
DC-bus et capacité
Paramètres de la boucle interne de contrôle
Paramètres de la boucle externe de contrôle

Puissance active (W)
Puissance Apparente (VA)
Facteur de puissance
Taux de distorsion harmonique du
courant
Taux de distorsion harmonique de
la tension

Tableau 2 : Résultat expérimentaux
Avant compensation
384.4
467.2
0.8229
40.40 %
0.71 %

Après compensation
714.9
789
0.9061
12.17 %
0.52 %

Figure 8 : Contrôle du filtre hybride shunt

La figure 8 montre le schéma de contrôle non linéaire du filtre hybride shunt. Ce modèle est
l’application directe des équations obtenues avant.

40

Figure 9 : Ordre des harmoniques avant et après compensation

Interprétation des résultats :
Dans le filtre proposé, la majeure partie de la compensation est supporté par le filtre passif
tandis que le filtre actif permet d'améliorer les caractéristiques de filtrage et amortit la résonance,
qui peut se produire entre le filtre passif et la source. En outre, aucune tension fondamentale
n’est appliquée au filtre actif. Cela se traduit par une réduction substantielle de la tension
nominale du filtre actif. La note souhaitée du filtre actif est beaucoup plus petite que lorsque le
filtre actif shunt classique est utilisé seul.
La figure 9 permet de éduire que le taux de distorsion harmonique du courant diminue et que
certains ordres d’harmoniques sont négligès. Ceci permet de conclure que le filtre élimine les
harmoniques.
La tension du condensateur à courant continu est un paramètre important de conception qui
affecte fortement les performances de filtrage du filtre hybride. Le THD du courant est inférieur
à 15% lorsque la tension du condensateur DC est supérieure à 25 V. Toutefois, une tension
continue en dessous de 25 V n'a pas apporté un bon fonctionnement du filtre hybride. On choisit
V pour obtenir une meilleure THD.
De plus, la compensation a permis de corriger le facteur de puissance (tableau 2). Le facteur de
puissance a augmenté de 10% approximativement.
5.6.Conclusion
L'algorithme de contrôle non linéaire proposé a été mis en œuvre pour améliorer la réponse du
filtre hybride shunt, il a permis de compenser les harmoniques et la puissance réactive causées
par des charges non linéaires. Ce filtre hybride utilisant un filtre actif connecté en série avec un
filtre passif a une double fonction : améliorer la performance de filtrage et réduire les exigences
de notation de puissance du filtre actif. La technique de contrôle proposée a été conçue sur la
base de deux boucles internes de courant et un régulateur de tension dc en boucle externe. Il a été
observé qu'il n'y a pas d'interaction entre les boucles interne et externe, en plus de bonnes
performances dans les opérations en régime permanent et transitoire. Il a été démontré que le
système a une réponse dynamique rapide et est capable de garder le THD du courant en dessous
des limites fixées par les normes IEC61000-3-2. Ainsi, le système filtre hybride shunt peut être
une solution efficace et économique pour les problèmes harmoniques provoqués par les charges
non linéaires de grande capacité.
De plus, l’utilisation de ce filtre a permis de corriger le facteur de puissance en augmentant sa
valeur (la valeur est devenue supérieure à 0.9).
41

Conclusion
Ce projet est à propos du calcul du facteur de puissance et de la compensation.
D’abord, une étude théorique du calcul du facteur de puissance est présentée. Cette étude se
base sur le standard IEEE 1459, elle permet d’obtenir les composants des puissances (active,
réactive et apparente) et le facteur de puissance pour des systèmes monophasé ou triphasé sous
les conditions suivantes : sinusoïdale ou non, en équilibre ou non. Pour un système monophasé,
on obtiendra comme formule générale du facteur de puissance la formule suivante :
(


⁄ ),



(

⁄ )



-

,


(


(

))

Pour un système triphasé, on obtiendra comme formule générale du facteur de puissance la
formule suivante :

Puis, sous Matlab / Simulink, des modèles de calcul du facteur de puissance pour les systèmes
monophasé et triphasé, selon deux méthodes de calcul. La première est une application directe
des formules et la seconde est la FFT. On remarque que les deux méthodes donnent des valeurs
numériques avec des erreurs inférieures à 2 %.
Ensuite, des méthodes de compensation sont données, telles que la compensation synchrone,
les condensateurs, les filtres passifs, les filtres actifs et les filtres hybrides.
Les filtres hybrides sont une solution efficace pour la compensation des harmoniques. Ils
permettent de réduire les taux d’harmoniques et améliorer le facteur de puissance.
Finalement, un filtre hybride shunt est modélisé. Ce filtre a permis une compensation des taux
d’harmoniques et une amélioration du facteur de puissance. L’application est un système
gradateur triphasé avec une charge inductive.

42

Inductance du filter passif

Nomenclature
N

ASD

A
Filtre actif
Angle de phase de la tension
simple
Adjustable speed drives

Β

B
Angle de phase du courant

AF
Α

p(t)

PCC
PWM
PF

Q
CSI

C
Current-source inverter
Capacité du filtre actif
Capacité du filtre passif
D
Puissance de distorsion du courant
Puissance de distorsion de la
tension
Puissance de distorsion
harmonique

I

S

I

Entire
High-voltage direct current
I
Valeur instantanée du courant
d’une phase
Courant passant par le filtre
Valeur efficace du courant
valeur efficace du courant
fondamental
Courant effectif
valeur efficace des composants
harmoniques du courant

THD

UPQC

K
Entier
L

Q
Puissance réactive
Puissance réactive fondamentale
Puissance réactive de Budeanu

S
Puissance apparente
Puissance apparente fondamentale
Puissance apparente arithmétique
Puissance apparente non
fondamentale
Puissance apparente vectorielle
T

T
T
Θ

V
k

P
Puissance instantanée
Puissance active fondamentale
Puissance active harmonique
Point de couplage commun
Pulse width modulation
Facteur de puissance

R
Résistance du filtre passif

H
H
HVDC

N
Puissance non active

V
VA

Temps
Période
Angle de phase entre la tension et
le courant
Taux de distorsion harmonique
U
Universal power quality
conditioner
V
Valeur instantanée de la tension
Tension aux bornes de
Valeur efficace de la tension d’une
phase
Volt Ampère
43

VAR
VSI

Volt Ampère Réactif
Voltage source inverter
Tension aux bornes du PWM
Tension par rapport au point neutre
Tension de la source
W

W
ω

Watt
Pulsation

44

Références
[1] ―Fast-Response Power factor computation‖ Published in: Advances in Computational
Tools for Engineering Applications (ACTEA), Pages: 235 – 240, Dec. 2012
[2] L. S. Czarnecki, ―Orthogonal decomposition of the currents in a 3-phase nonlinear
asymmetrical circuits with a non-sinusoidal voltage source,‖ IEEE Trans. Instrum. Meas.,
vol. 37, no. 1, pp. 30–34, Mar. 1988.
[3] H. Lev-Ari and A. M. Stankovic, ―A decomposition of apparent power in poly-phase
unbalanced networks in non-sinusoidal operation,‖ IEEE Trans. Power Syst., vol. 21, no. 2,
pp. 438–440, Feb. 2006.
[4] A. Ferrero and G. S. Furga, ―A new approach to the definition of power components in
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[5] F. Z. Peng and J. S. Lai, ―Generalized instantaneous reactive power theory for three-phase
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based on the generalized reactive power theory for three-phase four-wire systems,‖ IEEE
Trans. Power Electron., vol. 13, no. 6, pp. 1174–1181, Nov. 1998.
[7] R. Arseneau, Y. Baghzouz, J. Belanger, K. Bowes, A. Braun, A. Chiaravallo, M. Cox, S.
Crampton, A. Emanuel, P. Filipski, E. Gunther, A. Girgis, D. Hartmann, S.-D. He, G.
Hensley, D. Iwanusiw, W. Kortebein, T. McComb, A. McEachern, T. Nelson, N. Oldham, D.
Piehl, K. Srinivasan, R. Stevens, T. Unruh, and D. Williams. ―Practical definitions for powers
in systems with non-sinusoidal waveforms and unbalanced loads: a discussion‖. IEEE
Transactions on Power Delivery, Vol. 11, No. 1, Jan. 1996, pp. 79-101.
[8] IEEE standard 1459 - Published on March 2010, pp. 1 – 40, Revision of IEEE Std 14592000
[9] Francis M. Fernandez, P.S. Chandramohanan Nair , ―A New Expression for Power Factor
under Non-sinusoidal Conditions‖ Published in: Innovative Smart Grid Technologies - India
(ISGT India), 2011 IEEE PES, pp. 155 – 159, Dec. 2011
[10] M. Kiani, W.J. Lee, ―Effects of Voltage Unbalance and System Harmonics on the
Performance of Doubly Fed Induction Wind Generators‖ Published in:
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[11] A.M. Sharaf 1, Weihua Wang 1, and Ismail H. Altas ―A Novel Modulated Power Filter
Compensator for Renewable Dispersed Wind Energy Interface‖, Published in:
pp. 549 – 555, May 2007
[12] L.G.B. Rolim, A. Ortiz, M. Aredes, R. Pregitzer, J. G. Pinto, Joao L. Afonso, ― Custom
Power Interfaces For Renewable Energy Sources‖, 1-4244-0755-9/07 IEEE 2007 Published

45


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