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Lycée pilote Médenine

Similitudes

4° Maths

Prof : hs.habib

Les similitudes directes :
·
·

f est une similitude directe de rapport k>0 Þ f conserve les mesures des angles orientés.
f est une similitude directe de rapport k=1 Û f est un déplacement f= t ur ou f = R( I ; q )

·

f est une similitude directe de rapport k ¹ 1 alors f admet un seul point invariant I appelé centre de f.
f= h ( I,k ) oR ( I,q ) = R ( I,q ) oh ( I,k ) on note f= S+ ( I, k , q )

ìï S+ ( I,1,0 ) = IdP = t 0r = R(I,0) = h(I,1)
* S ( I,1, q ) =R(I, q ) í +
ïîS ( I,1, p ) = SI = t 0r = R(I, p) = h(I, -1)
* S+ ( I, k , 0 ) =h( I,k)
, S+ ( I, k , p ) =h( I,-k)
+

*Toute homothétie de rapport l est une similitude de rapport l
* S+ ( I, k , q ) o S+ ( I, k ', q ') = S+ ( I, kk ', q + q ')

uuur uuur
$ ' º q [ 2p ]
ì IM,IM
ï
+
iq
* S ( I, k , q ) (M)=M’ Û ZM ' - ZI = k e ( Z M - Z I ) Û í
IM '
ï
=k
î IM
*f : P ® P : M(z) a M’(z’) tel que z’= az+b , ( a Î £* ; b Σ )
r
ìsi a = 1 Þ f = t r avec aff (u) = b
u
ï
í
b
iq
ïsi a ¹ 1 Þ f = S+ ( I, k, q ) avec a = ke et z I =
1
a
î
Construction de l’image d’un point par une similitude directe
f=S+(A, k, q ) avec f(B)=C
But: construction du point M’= f(M)
uuuur uuur
uuur uuur
$
$
1. On construit la demi droite [ Ax ) tel que AM;Ax
º AB;AC
[ 2 p]

(

(

)

) (

)

2. On place B’ sur [ AM ) tel que AB’=AB , on place C ’ sur [ Ax ) tel que AC ’=AC.

3. La parallèle à (B’C’)issue de M coupe [ Ax ) en M’.
II) Similitudes indirectes :
· f est une similitude indirecte de rapport k>0 f change les mesures des angles orientés en leurs opposés.
· f est une similitude indirecte de rapport k=1 Û f est un antidéplacement Û f= SD ou f est une symétrie
·

glissante.
Si f est une similitude indirecte de rapport k ¹ 1 alors f admet un seul point invariant I ( centre de f).

·
·

f similitude indirecte : SD oh(I,k) =h(I,k)o SD avec I∈∆ f=S-(I,k,∆)
La compose de deux similitudes indirectes est une similitude directe de rapport le produit de deux rapports.
La compose d’une similitude directe et d’une similitude indirecte est une similitude indirecte.
Si f = S- ( I, k, D ) alors fof= f(I, k2)
Détermination de l’axe d’une similitude indirecte :

Soit f = S- ( I, k, D ) : il existe trois méthode pour déterminer ∆ :
uuuuuur
uuur
1ère méthode : D = M Î P / If (M) = k.IM
uur uur
$ à justifier :
2ème méthode : si f(A)=B Þ D =bissectrice intérieure de IA,IB

{

}

(

)

uur uuur
f
h
$
: S∆=foh-1=h-1of : A ¾¾
® B ¾¾®
B' Þ S∆(A)=B’ donc ∆=bissectrice intérieure de IA,IB'
-1

uuur 1 uur
uur uur
$
Et comme IB' = IB Þ D = bissectrice intérieure de IA,IB
k

(

)

f
h
3ème méthode : S∆=foh-1=h-1of : A ¾¾
® B ¾¾®
B' donc ∆=med [ AB']
-1

(

)

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Similitudes

4° Maths

Prof : hs.habib

Remarques importantes :
1) Soient A,B,C et D quatre points tel que AB ¹ 0 et CD ¹ 0 alors il existe deux similitudes f et g l’une directe
l’autre indirecte tel que f(A)=C et f(B)=D .

uuur uuur
ìïAB = CD (1)
$
Si AB,CD
º 0 [ 2 p] ; í
ïîCD ¹ AB ( 2 )
(1) Þ f = t uuur
= t uuur
AC
BD

·

(

·

Si AB=CD (k=1) Þ f est un
antidéplacement
ìïmed [ AC] = med [ BD ] (1)
í
ïîmed [ AC] ¹ med [ BD ] ( 2 )
(1) Þ f= SD tel que D = med [ AC]
(2) Þ f est une symétrie glissante
Þ f = t ur oSD = SD ot ur

·

Si AB ¹ CD ( k ¹ 1) Þ S- ( I, k, D )

)

CD
ì
ïk =
(2) Þ k ¹ 1 Þ f= S (I,k,0) = h(I,k) í
AB
ïîI Î (AC) Ç (BD)
+

uuur uuur
ìïAB = CD (1)
$
Si AB,CD
º p [ 2p] Þ í
ïîCD ¹ AB ( 2 )
(1) Þ f= R ( I, p ) = SI telque I = A * C = B * D
·

(

)

Û f= h(I, k)oSD = SD oh(I, k) ;I Î D
uur uur
D =bissectrice de IB, JC

(

)

(2) Þ S+ (I,k, p) = h(I, -k),I Î (AC) Ç (BD)
uuur uuur
ìïAB = CD (1)
$
Si AB,CD
º q[ 2p] avec q ¹ kp í
ïîCD ¹ AB ( 2 )
ìïI Î med [ AC ] Ç med [ BD ]
(1) K=1 Þ f= R(I, q) í
ïîoù I Î ( AB ) Ç ( CD )
(2) k ¹ 1 Þ f = S+ ( I, k, q )

·

(

)

f est une similitude indirecte

f est une similitude directe

2) Si f : M(z) a M '(z') tel que z’= az + b
a) f est une similitude de rapport k= a ¹ 1 Þ W :centre de f Þ f (W) = W
b) f change les mesures des angles orientés en leurs opposés :
uur uur
uuuur uuuur
Rond O,OI, OJ ® Ron(ind) O ',O 'I ', O 'J ' avec O’=f(O) , I’=f(I) et J’=f(J)

(

)

(

)

æz -z ö
p
Þ arg ç J ' O' ÷ º - [ 2p]
2
è z I' - z O' ø
uuuuuur
uuur
c) M(x,y) Î D : axe de f Û If (M) = a IM et on détermine l’équation de ∆.


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