EPST ANNABA ANALYSE EXAMEN S1
24 Janvier 2017. Durée 2h
Problème 1(7.5 points)
Dans tout cet exercice, on considère la fonction f : R ! R; dé…nie par
2
f (x) = e x
a)(1.5points) Démontrez en utilisant la dé…nition que
lim e

x!+1

x2

=0

et

lim e

x! 1

x2

=0

b)(1point) Dressez le tableau de variation de f et tracez son graphe.
c)(1.5points) Considérons l’ensemble E R dé…ni par
n
o
2
E= y2R:y=e x

Montrez que E est non vide, majoré et minoré. Trouvez en justi…ant
votre réponse sup(E); inf(E); max(E):
d)(1points) Trouvez toutes les solutions optimales locales et globales de
f sur R
e)(1point) Soit 2]0; +1[: Pour quelles valeurs de l’équation f (x) =
a une solution unique, plusieurs solutions, n’a pas de solutions. Justi…ez
votre réponse.
f)(1.5points) Montrez que f est une bijection de ] 1; 0] sur l’intervalle
]a; b] qu’on determinera. Trouvez f 1 : Tracez le graphe de f 1

Problème 2 (2.5points)
Donnez en justi…ant votre réponse, l’exemple d’une fonction f : R ! R
dé…nie et dérivable sur R et telle que f 0 véri…e les 3 conditions a), b) et c)
suivantes:
a) f 0 est dérivable sur R =] 1; 0[[]0; +1[
b) f 0 est continue en 0
c) f 0 n’est pas dérivable en 0

1

Problème 3(4points)
Dans ce problème on considère la fonction f (x) = e2x 2 et (un ) la suite
récurente dé…nie par u0 = 0 et un+1 = f (un ); n = 0; 1; :::
a)(1point) Montrez que l’équation f (x) = x admet une solution et une
seule x
b dans l’intervalle [0; 12 ]
b)(1point) Montrez que pour tout n 2 N; un 2 [0; 12 ]
c)(1point) Montrez que la suite (un ) est convergente vers une limite `:
d)(1point) Trouvez par deux méthodes di¤érentes des valeurs approchées
de la limite `:

Problème 4(3points)
Trouvez en utilisant les développements limités et les équivalences la limite suivante:
lim

x!0

x
sin(x)

sin(x)
x sin(x)

Aide: E¤ectuez le changement de variables X =

x sin(x)
sin(x)

Problème 5(3points)
Trouvez en utilisant les développements limités et les équivalences la limite suivante:
esin(x) etan(x)
lim
x!0+ sin(x)
tan(x)

2