Maths Corrigé Bac Blanc 2015 2016[1] .pdf



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Auteur: FABIEN

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CORRECTION DU BAC BLANC TERMINALES S 2016 (non spécialistes)
Exercice 1 :
On nous donne la courbe de

définie sur

On en déduit les variations de

1) Pour tout réel
2) La fonction

, et on nous précise que

.

:

de l'intervalle

,

est croissante sur

3) Pour tout réel

de l'intervalle

4) La tangente à

, courbe de

Cette tangente

a pour équation :

Or d'après la courbe de

,
, au point d'abscisse

,

D'après l'énoncé,

, passe par le point de coordonnées

?

.
.

On en déduit que :
Cette tangente passe par le point de coordonnées

Exercice 2 :
1)

donc le triangle

est isocèle.

De plus, il est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
2)

est l'ensemble des points

d'affixe

Cette égalité est équivalente à
est donc la médiatrice de
Or les points
Donc

et

, où

tels que
et

.
sont les points d'affixes

et

.

.

sont sur l'axe des imaginaires purs.

est parallèle à l'axe des réels.

3)

On en déduit que :
donc

est un imaginaire pur que si n est impair
Page 1 sur 6

4) Soit

un nombre complexe non nul d'argument

, alors :

On en déduit que :

.
, car

et

, car

5) Si le module de

.

est égal à 1, alors il existe

donc

.

tel que :

.

est un nombre réel.

Exercice 3 :

définie sur

1)a)
Etude des variations de

:

donc
La fonction

et

. on en déduit que

est donc strictement croissante sur

b) Calcul de la limite en 1 de

. On en déduit que :
de

:

donc
tableau de variation de

.

:

donc
Calcul de la limite en

.

. On en déduit que :
:

2)a)
donc

.

Interprétation graphique : les courbes

et

sont asymptotes et

.

b) Etude de la position relative des deux courbes :
. Or si
Position relative : la courbe

donc
est en dessous de

sur

.

Page 2 sur 6

3)a) Soit

.

La tangente

à

au point d'abscisse

a pour équation :

.

Cette tangente passe par l'origine du repère si et seulement si :
donc si et seulement si :
La tangente

à

au point d'abscisse

3)b)

passe par l'origine du repère si et seulement si :

définie sur

L'équation

équivaut à
équivaut à
équivaut à
équivaut à

Les équations

et

c)

ont les mêmes solutions.
définies sur

:

Calcul des limites aux bornes :

Si

,

.

.

De même
dérivée :
valeurs qui annulent la dérivée :
Tableau de variation de

Sur l'intervalle

:

, la fonction

admet un maximum qui vaut

, donc l'équation

n'admet pas de solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle
solution

, la fonction

est continue et strictement croissante, d'intervalle image

donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
sur l'intervalle
.

conclusion : l'équation

admet une unique solution
.

dans

est une valeur approchée de

à

.

admet une unique

.
près.
Page 3 sur 6

d) D'après la question 3)a), la tangente

à

passe par l'origine du repère si et seulement si :

ce qui équivaut à :
ce qui équivaut à :
ce qui équivaut à :
D'après la question 3)c), l'équation

admet une unique solution

dans

.

.
conclusion : la tangente
D'après la question 3)c),

à

passe par l'origine du repère si et seulement si

.

.

. Une valeur approchée de
Pour tracer la tangente

à

, on prend le point

près est

.

d'abscisse

de la courbe

et on trace la droite

.

4) Par lecture graphique, et sans justification, on constate que :


Si



Si

, l'équation

a deux solutions dans l'intervalle



Si

, l'équation

n'a pas de solution dans l'intervalle

(les valeurs

, l'équation

et

a une unique solution dans l'intervalle

.

.
.

étant lues graphiquement ne sont pas des valeurs exactes)

Page 4 sur 6

Exercice 4 :
On admet que pour tout entier naturel

,

1)

.

définie sur

et
On en déduit que
Donc

sont strictement positifs donc

a le même signe que

est strictement décroissante sur

admet un minimum atteint en

D'après l'énoncé, pour tout entier naturel
Or

.

et

De plus

et strictement croissante sur

qui vaut
,

.

.

admet un minimum qui vaut
donc

.

donc si

pour tout entier naturel

,

,

.

.

2)a)
D'après l'énoncé, pour tout entier naturel
D'après 1), pour tout entier naturel

,
,

,

De plus, pour tout entier naturel

donc

et

donc

On en déduit que pour tout entier naturel
b) Pour tout entier naturel

,

,

.
donc la suite

est décroissante.

donc la suite

est minorée par

Or toute suite décroissante et minorée est convergente, donc la suite
c)
Or

donc

donc

.

est convergente.

donc

est une suite de termes strictement positifs donc

.

3)

Page 5 sur 6

4)
a) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel

,

Initialisation :
et

donc

est vraie.

Hérédité :
On suppose que

est vraie :

d'après 1),

donc

Les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces deux nombres, donc :

Or

donc

D'après 3),

donc

Mais

donc

On en déduit que :
Or

, donc

est vraie.

conclusion : pour tout entier naturel
b) En entrant la valeur
On en déduit que

,

.

, l'algorithme affiche le nombre

.

.

D'après 4)a) et 1), on en déduit que :
est donc une valeur approchée de

.
à

près

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