Maths Sujet Bac Blanc 2015 2016[1] .pdf



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Bac Blanc Terminale S
2016
Dur´
ee 4h, calculatrice autoris´
ee
Exercice 1. commun `
a tous les candidats : 4 points



~
~
Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e O; i, j .
On consid`ere une fonction f d´erivable sur l’intervalle
[−3 ; 2].
On dispose des informations suivantes :
• f (0) = −1.
• la d´eriv´ee f 0 de la fonction f admet la courbe
repr´esentative C 0 ci -contre.

C0

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification
n’est demand´ee.
1. Pour tout r´eel x de l’intervalle [−3, −1], f 0 (x) 6 0.
2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].
3. Pour tout r´eel x de l’intervalle [−3 ; 2], f (x) > −1.
4. Soit C la courbe repr´esentative de la fonction f .
La tangente `a la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonn´ees (1 ; 0).

Exercice 2. commun `
a tous les candidats : 5 points
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
d´emonstration de la r´eponse choisie.
Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonormal direct (O; ~u, ~v ).
1. Soient A le point d’affixe 2 − 5i et B le point d’affixe 7 − 3i.
Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isoc`ele.
2. Soit (∆) l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z − i| = |z + 2i|.
Proposition 2 : (∆) est une droite parall`ele a` l’axe des r´eels.

3. Soit z = 3 + i 3.
Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z 3n est imaginaire pur.
4. Soit z un nombre complexe non nul.
π
Proposition 4 : Si est un argument de z alors |i + z| = 1 + |z|.
2
5. Soit z un nombre complexe non nul.
1
Proposition 5 : Si le module de z est ´egal a` 1 alors z 2 + 2 est un nombre r´eel.
z

1/5

Exercice 3. commun `
a tous les candidats : 6 points
Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par
1
.
ln x
On nomme
(C) la courbe repr´esentative de f et Γ la courbe d’´equation y = ln(x) dans un rep`ere
orthogonal O;~i, ~j .
f (x) = ln x −

(ln(x))2 + 1
et ´etudier les variations de f .
x (ln(x))2
(b) Calculer les limites de f en 1 et en +∞ et donner le tableau de variations de f .

1. (a) Montrer que f 0 (x) =

2. (a) D´eterminer lim [f (x) − ln x].
x→+∞

Interpr´eter graphiquement cette limite.
(b) Pr´eciser les positions relatives de (C) et de Γ.
3. On se propose de chercher les tangentes `a la courbe (C) passant par le point O.
(a) Soit a un r´eel appartenant a` l’intervalle ]1 ; +∞[.
D´emontrer que la tangente Ta a` (C) au point d’abscisse a passe par l’origine du rep`ere si et
seulement si f (a) − af 0 (a) = 0.
Soit g la fonction d´efinie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par
g(x) = f (x) − xf 0 (x).
(b) Montrer que sur ]1 ; +∞[, les ´equations g(x) = 0 et
(ln x)3 − (ln x)2 − ln x − 1 = 0 ont les mˆemes solutions.
(c) Apr`es avoir ´etudi´e les variations de la fonction u d´efinie sur R par u(x) = x3 − x2 − x − 1
montrer que l’´equation u(x) = 0 admet une unique solution α dont on donnera une valeur
approch´ee a` 10−3 pr`es.
(d) En d´eduire l’existence d’une tangente unique `a la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe Γ sont donn´ees en annexe.
Tracer cette tangente le plus pr´ecis´ement possible sur cette figure.
4. On consid`ere un r´eel m et l’´equation f (x) = mx d’inconnue x.
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du r´eel m, le nombre de
solutions de cette ´equation appartenant `a l’intervalle ]1 ; 10].

2/5

Exercice 4. candidats n’ayant pas choisi la sp´
ecialit´
e math´
ematique : 5 points
L’objet de cet exercice est d’´etudier la suite (un ) d´efinie sur N par


1
7
u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 =
un +
2
un

(?)

On pourra utiliser sans d´emonstration le fait que pour tout entier naturel n, un > 0.
1. On d´esigne par f la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :


1
7
f (x) =
x+
.
2
x
D´emontrer que la fonction f admet un minimum.

En d´eduire que pour tout entier naturel n, un > 7.
2. (a) Soit n un entier naturel quelconque.
´
Etudier
le signe de un+1 − un .
(b) Pourquoi peut-on en d´eduire que la suite (un ) est convergente ?
1
(c) On d´eduit de la relation (?) que la limite ` de cette suite est telle que ` =
2
D´eterminer `.
3. D´emontrer que pour tout entier naturel n, un+1 −





7
`+
.
`

√ 2
1 un − 7
7=
.
2
un

4. On d´efinit la suite (dn ) par :
1
d0 = 1 et pour tout entier naturel n, dn+1 = d2n .
2
(a) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel n,
un −



7 6 dn .

(b) Voici un algorithme :
Variables :

n et p sont des entiers naturels
d est un r´eel.
Entr´ee :
Demander a` l’utilisateur la valeur de p.
Initialisations : Affecter a` d la valeur 1.
Affecter `a n la valeur 0
Traitement :
Tant que d > 10−p .
Affecter `a d la valeur 0, 5d2
Affecter `a n la valeur n + 1.
Sortie :
Afficher n.
En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5. Quelle in´egalit´e peut-on en d´eduire
pour d5 ?

Justifier que u5 est une valeur approch´ee de 7 `a 10−9 pr`es.

3/5

Exercice 4. candidats ayant choisi la sp´
ecialit´
e math´
ematique : 5 points

` faire sur une copie s´
A
epar´
ee des autres exercices.
Les parties A et B sont ind´ependantes
Partie A : ROC
On rappelle que si a et b sont deux entiers relatifs et p un entier naturel
sup´erieur ou ´egal a` 2 :
on dit que a est congru a` b modulo p et on ´ecrit a ≡ b[p]
lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a − b = kp
1. D´emontrez que si a ≡ b[p] et c ≡ d[p] alors ac ≡ bd[p]
2. En d´eduire que pour tout entier naturel non nul n

an ≡ bn [p]

Partie B
Pour tout entier naturel k > 2, on pose Mk = 2k − 1.
On dit que Mk est le k-i`eme nombre de Mersenne.
1. (a) Reproduire et compl´eter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de Mk :
k
Mk

2
3

3

4

5

6

7

(b) Prouver que le nombre de Mersenne M11 n’est pas premier.
2. Soient p et q deux entiers naturels strictement sup´erieurs `a 1.
(a) Justifier que
2p ≡ 1[2p − 1]
et d´eduisez-en que 2pq ≡ 1[2p − 1].
(b) D´emontrer que 2pq − 1 est divisible par 2p − 1 et par 2q − 1.
3. D´emontrer que si 2n − 1 est premier alors n est premier.
La r´eciproque est-elle vraie ?

4/5

8

9

10

Num´
ero d’anonymat :
Annexe `
a rendre avec la copie.

Exercice 3 :
3
Γ
2
C
1

−1

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

−3

5/5

8

9

10

11

12


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