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M ASTER 1 ET M AGIST E` RE 2 DE
P HYSIQUE F ONDAMENTALE
..............................................................................................
M E´ CANIQUE DES FLUIDES (M1P HYS F-404A)
E XAMEN DU 12 NOVEMBRE 2014
(Dur´ee : 3 heures - sans document)
..............................................................................................

Probl`eme 1 : Jet sur un plan inclin´e
On souhaite calculer dans ce probl`eme la force exerc´ee par un jet d’eau impactant une plaque plane
inclin´ee (figure 1). On consid`ere un jet d’eau bidimensionnel, stationnaire, de densit´e ρ, d’´epaisseur h,
~ selon ~ex , venant impacter une plaque
de profondeur L arbitraire (selon l’axe z) et de vitesse uniforme U
plane pench´ee d’un angle α par rapport a` ~ey . On note ~e⊥ et ~ek les vecteurs unitaires perpendiculaire et
parall`ele a` la plaque. Le jet se s´epare en deux parties, d’´epaisseur h1 et h2 . La pression dans l’air est not´ee
p0 . On n´eglige la gravit´e dans ce probl`eme, ainsi que les effets de tension de surface et les frottements
visqueux.

U1

p0

h1
A1

y
B1
α
e

U

e

h A
B

x

0
(S)

A2
h2

B2

U2
F IGURE 1 – Impact d’un jet bidimensionnel sur une plaque plane inclin´ee d’un angle α.
On consid`ere le volume de contrˆole d´elimit´e par la surface (S), d´efinie dans le plan (x, y) par le
contour ferm´e ABA2 B2 B1 A1 . Les surfaces de sorties A1 B1 et A2 B2 sont choisies suffisamment loin du
point d’impact, de sorte que les jets sortants soient parall`eles au plan inclin´e. En l’absence de frottements,

2
l’´ecoulement a` travers ces deux surfaces de sortie peut eˆ tre consid´er´e comme uniforme, de vitesse e´ gale
~ 1 et U
~ 2 respectivement.
a` U
1. Intuitivement, comment sera orient´ee la force F~ exerc´ee par le jet sur la plaque ? Que pensez-vous
de sa norme |F~ | en fonction de l’angle α ? La r´eponse devra eˆ tre simplement qualitative (sans
e´ quation).
` partir du th´eor`eme de transport appliqu´e a` la masse contenue dans la surface de contrˆole (S),
2. A
montrer que les e´ paisseurs des surfaces d’entr´ee et de sortie sont reli´ees par
hU = h1 U1 + h2 U2 .
3. Justifier que la pression selon les surfaces d´efinies par AB, AA1 , BA2 , A1 B1 et A2 B2 est e´ gale a`
p0 .
` partir de l’´equation de Bernoulli e´ crite pour les lignes de courant que l’on pr´ecisera, en d´eduire
4. A
la relation liant U , U1 et U2 , ainsi que la relation liant h, h1 et h2 .
` partir du th´eor`eme de transport appliqu´e a` la quantit´e de mouvement contenue dans la surface
5. A
de contrˆole (S), justifiez que la force F~ exerc´ee par le fluide sur la plaque peut s’´ecrire

~
~
F = −ρ
~u(~u · d2 S).
Calculer cette force en fonction de ρ, U , L, α, et des e´ paisseurs h, h1 et h2 .
6. Justifiez que la composante de la force le long de la plaque est nulle, et en d´eduire h1 et h2 en
fonction de h et α.
7. Que pensez-vous de la pression le long de la plaque ? Tracez qualitativement son allure en fonction
de la coordonn´ee s le long de la plaque, en pr´ecisant les valeurs prises en son maximum ainsi qu’`a
s = ±∞.
8. Qu’est-ce que la viscosit´e changerait aux r´esultats de ce probl`eme ?

Probl`eme 2 : Mouillage forc´e, mod`ele de Landau-Levitch
Pour r´ealiser industriellement un d´epˆot de liquide sur un substrat solide, on tire le solide a` enduire
d’un bain liquide, a` vitesse constante. Il est alors important de pouvoir contrˆoler l’´epaisseur du d´epˆot.
Dans ce probl`eme on consid`ere une plaque plane immerg´ee dans un bain liquide et tir´ee verticalement
et lentement a` la vitesse V de telle sorte que l’on reste toujours en r´egime stationnaire. Par convention,
z = 0 correspond a` la surface du liquide loin de la plaque. On notera ρ la densit´e du liquide, η sa viscosit´e dynamique, et γ la tension interfaciale entre l’air et le liquide. Dans la suite on n´egligera la masse
volumique et la viscosit´e de l’air, l’interface correspondra donc a` une surface libre .
On peut distinguer trois r´egions dans cet e´ coulement (voir la figure 2) :
R´egion (I), ou r´egion asymptotique : le film est entraˆın´e par la plaque et reste d’´epaisseur finale
constante, qu’on notera e.
R´egion (II), ou r´egion de lubrification : l’´ecoulement est faiblement non parall`ele et les effets visqueux sont pr´edominants.
R´egion (III), dite du m´enisque statique : la forme du m´enisque est contrˆol´ee par les forces de tension
de surface et par la gravit´e.
Pour l’application num´erique (partie E), on consid`erera que le liquide est de l’eau : γ = 50 × 10−3
Pa · m, η = 10−3 kg · m−1 · s−1 et ρ = 103 kg/m3 .

3

z

e
(I)

p0

g

plaque plane

V

δ(z)

(II)

h(x)
0

R

(III)

x
liquide

F IGURE 2 – Sch´ema du film liquide entraˆın´e par le mouvement vertical de la plaque.

A) Analyse dimensionnelle
´
On admet que l’´epaisseur du film e est une fonction des param`etres ρ, g, γ, η et V . Ecrire
l’expression
de e sous forme adimensionnelle, en faisant apparaˆıtre le nombre capillaire
Ca
=
ηV

et
un
nombre de
p
Reynolds Re = ρV λc /η construit avec la longueur capillaire λc = γ/(ρg) .
B) R´egion asymptotique (I)
On suppose que l’´epaisseur est constante et que la vitesse n’a qu’une composante verticale v(x).
´
B1. Ecrire
l’´equation de Navier-Stokes projet´ee sur les axes Ox et Oz. En d´eduire que la pression
dans le fluide est e´ gale a` la pression atmosph´erique de l’air p0 dans toute la r´egion (I).
´
les conditions aux limites pour la vitesse (ou sa d´eriv´ee) en x = 0 et en x = e.
B2. Ecrire
B3. Calculer le profil de vitesse v(x). Calculer la vitesse en x = e, et donner une condition sur V
pour que celle-ci soit positive ou n´egative. Tracer l’allure du profil de vitesse dans ces deux cas.
` quelle condition peut-on e´ crire
B4. Calculer le d´ebit volumique par unit´e de largeur transverse Q. A
Q ' V e ? Tracer alors le profil v(x). Montrer que cette condition revient a` comparer un temps de diffusion visqueuse et le temps pour atteindre en chute libre la vitesse V . On supposera cette condition
satisfaite dans la suite du probl`eme.
Les parties C et D peuvent eˆ tre trait´ees s´epar´ement.
C) R´egion du m´enisque statique (III)
Dans cette r´egion, on suppose que le fluide est au repos. On rep`ere l’interface du liquide par sa
hauteur z = h(x). Loin de la plaque (x → ∞), l’interface peut eˆ tre consid´er´ee comme plane, d’altitude
z = 0.
´
C1. Ecrire
ce qui reste de l’´equation de Navier-Stokes dans cette condition hydrostatique. En d´eduire

4
la pression qui existe dans le fluide a` l’altitude z. Quelle pression a-t-on dans le plan z = 0 ?
On rappelle que le saut de pression de part et d’autre d’une interface courb´ee s’´ecrit ∆p = γκ o`u
κ d´esigne la courbure de l’interface. Sous le param´etrage choisi, en notant avec des primes les d´eriv´ees
selon x, on a
h
i3/2
.
(1)
κ = −h00 (x)/ 1 + h0 (x)2
C2. En e´ galisant cette pression hydrostatique au niveau de l’interface avec le saut de pression dˆu a` la
tension de surface, en d´eduire une relation entre l’altitude h(x) de l’interface et la courbure en ce point.
C3. Montrer que dans le cas de faibles pentes |h0 (x)| 1, l’interface a une forme exponentielle dont
l’´echelle caract´eristique est donn´ee par la longueur capillaire λc .
D) R´egion (II) de lubrification
Dans cette r´egion interm´ediaire d’´epaisseur δ(z) variant faiblement par rapport a` z, on peut supposer
que les termes inertiels et de gravit´e sont n´egligeables et que les hypoth`eses de lubrification s’appliquent,
c’est-`a-dire que la composante de la vitesse selon Ox est tr`es petite devant celle selon Oz.
L’expression de la courbure κ de la surface x = δ(z) s’´ecrit selon ce param´etrage :
h
i3/2
κ = −δ 00 (z)/ 1 + δ 0 (z)2
,

(2)

ou` δ 0 d´esigne maintenant la d´eriv´ee de δ selon z.
D1. Donner dans cette r´egion (II) la composante sur Oz de l’´equation de Navier-Stokes. En tenant
compte de la diff´erence de pression a` l’interface (et en supposant |δ 0 (z)| 1), en d´eduire :
γδ 000 + η

∂2v
= 0.
∂x2

(3)

D2. Montrer que les hypoth`eses de lubrification et les conditions aux limites en x = 0 et x = δ(z)
conduisent au profil de vitesse parabolique suivant :


δ 000
(4)
v(x) = V 1 +
x(δ − x/2) .
Ca
D3. En d´eduire le d´ebit volumique par unit´e de largeur de plaque Q.
D4. En e´ galisant ce d´ebit avec celui trouv´e dans la r´egion (I) dans la limite des faibles e´ paisseurs, en
d´eduire que δ(z) v´erifie l’´equation diff´erentielle suivante :
δ 3 δ 000 = 3 Ca(e − δ).

(5)

D5. Calculer la vitesse a` la surface v(x = δ(z)). En utilisant cette e´ quation (5), montrer que cette
vitesse en surface s’annule pour une e´ paisseur critique δ(z) = ec que l’on d´eterminera en fonction de e.
D6. Dessiner le profil de vitesse de part et autre de cette e´ paisseur critique, et en d´eduire l’allure des
lignes de courant dans la r´egion (II).
D7. Montrer que l’´equation (5) prend une forme unique ne d´ependant d’aucun param`etre en introduisant les variables adimensionn´ees suivantes :
µ=

δ
e

et ξ =

z
(3 Ca)1/3 .
e

Cette nouvelle e´ quation peut se r´esoudre num´eriquement. Quelles sont les 3 conditions aux limites qui
permettraient de r´esoudre cette e´ quation ?
Num´eriquement on trouve que la courbure dans la r´egion (II) pour µ → ∞ vaut :


d2 µ
dξ 2

(II)
= α ≈ 0,644.

µ→∞

5
En faisant un raccordement entre la forme de l’interface de la r´egion (III) et la r´egion (II), on peut montrer
la loi de Landau-Levitch qui s’´ecrit

e = α 2 × λc Ca2/3 .
(6)
E) Applications num´eriques
La loi de Landau-Levitch se d´emontre sous l’hypoth`ese Ca 1. En pratique, elle est v´erifi´ee pour
des nombres capillaires inf´erieurs a` 10−2 .
E1. Si l’on sort pr´ecipitamment de son bain, la vitesse V est de l’ordre de 0,5 m/s. Montrer que l’on
est en limite du mod`ele de Landau-Levitch , mais que celui-ci s’applique encore.
E2. Quelle est alors l’´epaisseur d’eau du bain qui va couvrir notre corps ?
E3. Pour un adulte de corpulence moyenne, la surface du corps est de l’ordre de 1,7 m2 . Quelle est
alors la masse d’eau du bain que l’on va entraˆıner avec soi ?


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