Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils Recherche Aide Contact



krigeage Marcotte .pdf



Nom original: krigeage-Marcotte.pdf
Titre: Développement de techniques permettant la gravimétrie aéroportée à haute résolution
Auteur: presentation

Ce document au format PDF 1.3 a été généré par Acrobat PDFMaker 5.0 pour PowerPoint / Acrobat Distiller 5.0.5 (Windows), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 03/02/2017 à 04:58, depuis l'adresse IP 41.111.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 238 fois.
Taille du document: 645 Ko (46 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


Krigeage

Automne 2003

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

1

Plan
„

Définition

„

Krigeage simple et krigeage ordinaire

„

Interprétation

„

Exemple numérique

„

Propriétés du krigeage

„

Aspects pratiques

„

Validation croisée

„

Lien entre KS et KO

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

2

Définition
Méthode d’estimation linéaire, sans biais, minimisant la variance
d’estimation telle que calculée à l’aide du variogramme
Dans le cadre stationnaire, il y a 2 formes particulières de krigeage :
n

- Le krigeage simple :

Z*v = m + ∑ λi (Zi − m)
i =1

- Le krigeage ordinaire :

*
Zv

n

= ∑ λi Zi
i =1

Le krigeage simple suppose la moyenne du processus (m) connue.
Le krigeage ordinaire est plus fréquemment utilisé.
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

3

Krigeage simple
La variance d’estimation est:
n

n

n

2
σe = Var[Zv] + ∑ ∑ λi λ j Cov[ Zi , Z j] - 2 ∑ λi Cov[ Zv , Zi ]
i =1

i =1 j=1

L’idée est de choisir les λi de façon à minimiser la variance
d’estimation.
2

Pour trouver le minimum, on dérive σe par rapport à chacun

des λi et l’on pose ces dérivées partielles égales à zéro (condition
d’un extrémum; cet extrémum est un minimum)

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

4

On obtient alors le système linéaire suivant comportant « n »
équations à « n » inconnues (les « n » λi)
n

∑ λ j Cov[Zi , Z j] = Cov[Zv , Zi]

∀ i = 1...n

j=1

À l’optimum, la variance d’estimation s’écrit, tenant compte
des équations précédentes:
n

σ2ks = Var[Zv] - ∑ λi Cov[ Zv , Zi]
i =1

L’estimé est obtenu par :

n

Zv = m + ∑ λi (Zi − m)
*

i =1

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

5

Ces équations s’écrivent sous forme matricielle :

K sλs = k s

λs =

−1
Ks ks

σ 2ks = σ 2v − λ's k s


σ2
Cov( Z1 , Z 2 )

2
σ
Cov
(
Z
,
Z
)
2
1








Cov( Z , Z ) Cov( Z , Z )
n
1
n
2


École Polytechnique - GLQ3401

Ks







Cov( Z1 , Z n ) 

Cov( Z 2 , Z n )






σ2


Krigeage - D. Marcotte

 λ1 
λ 
 2
•
 
•
λ n 

λs

=

 Cov( Z1 , Z v ) 
Cov( Z , Z ) 
2
v 









Cov( Z n , Z v )

ks

6

Krigeage ordinaire
Dans le krigeage ordinaire, « m » n’est pas connue. L’estimateur
prend alors la forme :
n

Z*v = ∑ λi Zi
i =1

Pour que l’estimateur soit sans biais, il faut imposer la
n
contrainte habituelle :

∑ λi = 1
i =1

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

7

On a un problème de minimisation sous contrainte => méthode de
Lagrange, i.e. on forme le lagrangien.
L(λ, µ) = σe2 +

 n

2µ  ∑ λi - 1
 i =1


 n

= Var[Z v] + ∑ ∑ λi λ j Cov[Zi , Z j] - 2 ∑ λi Cov[Zv , Zi] + 2µ  ∑ λi - 1
i =1
i =1 j=1
 i =1

n

n

n

Poser les dérivées partielles par rapport à λ et µ égales à zéro =>
système linéaire de n+1 équations à n+1 inconnues

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

8

n

∑ λ j Cov[Zi , Z j] + µ = Cov[Zv , Zi]
j=1

∀ i = 1...n

n

∑ λj =1
j=1

À l’optimum, la variance d’estimation est :
n

σ2ko = Var[ Zv] - ∑ λi Cov[ Zv , Zi] - µ
i =1

Sous forme matricielle :

K oλ o = k o
σ 2ko = σ 2v − λ'o k o
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

9


σ2
Cov( Z1 , Z 2 )

σ2
Cov( Z 2 , Z1 )




Cov( Z n , Z1 ) Cov( Z n , Z 2 )

1
1


• Cov( Z1 , Z n )
• Cov( Z 2 , Z n )



σ2

1

1

1
•

1
0

 λ1 
λ 
 2
•
 
λ n 
 µ 

λo

Ko

=

 Cov( Z1 , Z v ) 
Cov( Z , Z ) 
2
v 






Cov
(
Z
,
Z
)
n
v 



1

ko

Le krigeage permet d’estimer directement un bloc (Zv) ou un point (Z0)
Tout ce qui change c’est le membre de droite k0.

Le krigeage d’un bloc est égal à la moyenne des krigeages ponctuels dans
le bloc.

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

10

Exemple
Variance d'estimation Sph(C0=0.5,C=0.5,a=5)
h=1

+

x0

1

+

0.8

x2

On a toujours :

σ2ko ≥ σ2ks

Poids λ

2

x1

h=2

0.6

k0

0.4

0.2

ks

0
0

0.2

0.4

0.6

Poids λ

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

0.8

1

1

11

Interprétation du krigeage
Le krigeage minimise la variance d’estimation théorique calculée à partir
du variogramme.
Le krigeage est-il plus juste que tout autre estimateur linéaire ?
Oui, en moyenne (i.e. sur un grand nombre de valeurs estimées),
lorsque:
- hypothèse de stationnarité est valide
- on a le bon modèle de variogramme
Pour un bloc particulier ou un point, on ne peut rien affirmer.
En pratique, dans la plupart des cas, le krigeage est en moyenne au moins
aussi juste que les autres estimateurs.
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

12

Exemple numérique détaillé
1

Variogramme sphérique, C0=1, C=10, a=3

h=1

Z1=9, Z2=3, Z3=4

0
2

3

h=1

h=2

X0

X1

X2

X3

X0

X1

X2

X3

X0

0

1.4

1

2

X0

0

7.55

5.81

9.52

X1

1.4

0

1

3.2

X1

7.55

0

5.81

11

X2

1

1

0

3

X2

5.81

5.81

0

11

x3

2

3.2

3

0

x3

9.52

11

11

0

h

École Polytechnique - GLQ3401

γ(h)

Krigeage - D. Marcotte

13

X0

X1

X2

X3

X0

11

3.45

5.19

1.48

X1

3.45

11

5.19

0

X2

5.19

5.19

11

0

x3

1.48

0

0

11



 11 5.19 0 1

5.19
11
0
1


 0
0 11 1


 1
1 1 0

École Polytechnique - GLQ3401

C(h)


  
 λ1 3.45
  5.19

λ 2  = 
  1.48

 λ3 
   1
 µ

Krigeage - D. Marcotte

14

  

 λ1  .21
   .51
λ 2  = 

   .28
 λ 3 

  - 1.55
 µ
Z0* = Σ λiZi = (.21)*9 + (.51)*3 + (.28)*4 = 4.54

σ2ko = 11 - λ′ k 0 = 8.76

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

15

Propriétés du krigeage
i. Linéaire, sans biais, à variance minimale, par construction.
ii.

Interpolateur exact

iii.

Effet d'écran

iv. Tient compte de la taille du champ a estimer et de la position
des points entre eux.
v.

Tient compte de la continuité spatiale du phénomène étudié

vi. Effet de lissage
vii. Presque sans biais conditionnel.
viii. Transitif (cohérence des estimés)

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

16

Interpolateur exact
Linéaire

Gaussien

10

10

5

0
0

5

5

10

0
0

10

10

5

5

0
0

En présence d’effet de
pépite, les valeurs interpolées
sont discontinues => éviter
d’estimer un point observé

5

10

Pépite + Sphérique(.75, a=10)

École Polytechnique - GLQ3401

0
0

5

10

5

10

Pépite pur

Krigeage - D. Marcotte

17

Exemple
Points coincidant

Points non-coincidant

30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

5

10

15

20

25

5

30

10

15

20

25

30

En décalant d’un epsilon la grille d’interpolation, on évite les
discontinuités sur la carte interpolée

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

18

Effet d’écran
Variogramme sphérique; C=100, a=100, C0=0
Var.k.= 29.0

Var.k.= 28.0

50

50
l=0.25

l=0.25

l=0.25

l=0.25

0

l= -0.02

l= -0.01

l= -0.01

l= -0.02

l= -0.01

l= 0.29

l= 0.29

l= -0.01

l= -0.01

l= 0.29

l= 0.29

l= -0.01

l= -0.02

l= -0.01

l= -0.01

l= -0.02

0

-50

-50
-50

0

École Polytechnique - GLQ3401

50

-50

Krigeage - D. Marcotte

0

50

19

Nb. de points dans le voisinage

Nb. de points dans le voisinage
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

20

Tient compte de la taille du champ à estimer
Var. k. = 8.24
60

-0.02

0

0

Var. k. = 1.56
-0.02

40
20

02

05

05

02

05

12

12

05

05

12

12

05

02

05

05

02

40
0

0.27

0.27

0

0

0.27

0.27

0

0

20
0

-20
-40

60

-20
-0.02

0

0

-0.02

-60

-40
-60

-50

0

50

-50

0

Var. k. = 1.06
60

Var. k. = 5.03
100

06

06

06

06

40
20

50

50
06

06

06

06

06

06

06

06

06

06

06

06

0

0

12

06

06

12

06

01

01

06

06

01

01

06

12

06

06

12

-20
-40
-60
-50
École Polytechnique - GLQ3401

0

50

-50
-100

-100

Krigeage - D. Marcotte

-50

0

50

100
21

Tient compte de la redondance des données

Var. k. = 76.54

Var. k. = 25.6

50

50

42

0

27

0

16

46

42

-50

-60

-40

27

-20

École Polytechnique - GLQ3401

0

20

40

-50

Krigeage - D. Marcotte

-50

0

50

22

Tient compte de la continuité spatiale
Variance de krigeage vs proportion relative de pépite
7

Modèle sphérique, a=100, C0+C=100; bloc de 133 x 133; grille centrée de 4x4

6
5

Var. k.

Effet de
pépite

4
3
2
1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Proportion relative de pépite

Variance de krigeage vs portée
5
4

Portée
Var. k.

Modèle sphérique, C0=0; C=100; bloc de 133 x 133; grille centrée de 4x4
3
2
1
0

0

50

100

150

200

250

300

Portée (m)

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

23

Influence d’anisotropies
var. k. = 26.5

50

0

-50

-0.01

-0.02

-0.02

var. k. = 87.1
-0.01

0.1

0.19

0.19

0.1

0.1

0.19

0.19

0.1

-0.01

-50

-0.02

0

-0.02

-0.01

50

École Polytechnique - GLQ3401

50

var. k. = 12.1

0.17
0.04
0.04
0.04
0.04
0.17

0

-50

50

0
0.17
0.04
0.04
0.04
0.04
0.17

-50

0

50

Krigeage - D. Marcotte

-0.02

-0.02

0.01

0.01

0.26

0.26

0.26

0.26

0.01

0.01

-0.02

-0.02

-50

-50

0

50

24

Influence du modèle
Quatre modèles de variogrammes

+
100

+
+

λ2
+
λ3
+
+

180

+

+

160
140

+


+

+

+

variogramme

λ1
+

200

+

+

120

Lin(1.5)
Sph(150,150)

100

Sph(100,100)
Exp(150,290)

80
60
40

+

20
0

100

0

20

40

60
distance

80

100

λ1

λ2

λ3

σ2k

Sphérique, C=100, a=100

-.02

-.01

.29

28.0

Sphérique, C=150, a=150

-.01

-.01

.29

27.8

Exp. C=150, aeff=290

-.01

-.01

.28

28.2

=> mêmes poids λ

Linéaire, pente=1

-.01

-.01

.28

27.6

=> même

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

120

4 ajustements équivalents
h<30

σ2k

25

Effet de lissage
K. Simple

Var( Z v ) =

*
2
Var( Z v ) + σ ks

Var( Z*v ) ≤ Var( Zv )
L’estimateur KS est toujours moins variable que la réalité qu’il cherche à estimer

K. Ordinaire

Var ( Z v ) =

*
2
Var ( Z v ) + σ ko

+ 2µ

Habituellement µ < 0 et |2µ| < σ 2ko

Var( Z*v ) ≤ Var( Zv )
L’estimateur KO est habituellement moins variable que la réalité qu’il
cherche à estimer
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

26

Exemple
réalité iso- vario iso

Réalité isotrope

réalité iso- vario aniso

5

5

5

10

10

10

15

15

15

20

20

20

25

25

25

30

10

20

30

30

10

20

30

30

réalité aniso- vario iso

réalité anisotrope
5

5

10

10

10

15

15

15

20

20

20

25

25

25

10

20

École Polytechnique - GLQ3401

30

30

10

20

Krigeage - D. Marcotte

20

30

réalité aniso- vario aniso

5

30

10

30

30

10

20

30

27

Biais conditionnel
Si Zv et Zv* suivent une loi binormale de moyenne « m » :

[

]

E Zv | Z*v = a + bZ*v
Cov( Z v , Z*v )
b=
Var ( Z*v )
et

a=(1-b)m

Krigeage simple, par construction :

Var ( Z*v ) = Cov ( Z v , Z*v ) ⇒ b = 1, a = 0

[

]

E Zv | Z*v = 0 +1* Z*v = Z*v
L’estimateur KS est sans biais conditionnel dans le cas normal
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

28

Krigeage ordinaire
Par construction :

Var ( Z*v ) + µ = Cov( Z v , Z*v ) ⇒ b = 1 +

µ
−µ
=
,
a
Var(Z*v )
Var(Z*v )

Équations du KO

[

]

E Z v | Z*v = Z*v +

µ
*
(
Z
v − m)
*
Var ( Z v )

Dans le cas normal, l’estimateur KO présente un biais conditionnel proportionnel
à µ. Habituellement,
µ < 0 => b < 1, les fortes valeurs de KO surestiment les vraies teneurs des blocs
|µ| est faible => le KO est presque sans biais conditionnel
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

29

Lien entre lissage et biais conditionnel
Cov(Z v , Z*v )
b=
Var(Z*v )
ρσ v σ*v
ρσ v
b=
= *
*
Var(Z v ) σ v
Absence de biais conditionnel => b=1 =>

σ *v ≤ σ v

Un estimateur sans lissage est nécessairement avec biais conditionnel.
Les valeurs estimées doivent montrer une variance inférieure aux
vraies valeurs.

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

30

Le krigeage est transitif
Modèle gaussien (a=10)

Modèle gaussien (a=10)
10

10
Z(x)*
Donnée
1000*σ k

8

Z(x)*
Donnée
1000*σ k

8
6

Z(x)

Z(x)

6
4

4

2

2

0

0

5

10

0

0

5

10
x

x

À droite, à x=10, on observe une donnée égale à la valeur krigée à gauche.
Toutes les valeurs krigées demeurent inchangées. Seules les variances de
krigeage sont réduites.

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

31

Aspects pratiques du krigeage
Krigeage ordinaire => syst. d’éq. linéaire (n+1) équations et (n+1) inconnues
=> limite pratique sur « n »
« m » est estimée implicitement => voisinage glissant (ou local) permet de
relaxer l’hypothèse de stationnarité (« m » peut fluctuer d’un voisinage à
l’autre)
Grille de krigeage: régulière ou non, points ou blocs.
Voisinage utilisé pour le krigeage:
- Habituellement en voisinages glissants.
- Nombre de points suffisant ( >10; peut atteindre jusqu'à 50-100).
- Zone de recherche assez grande pour assurer un minimum de
points.
- Recherche par quadrants (2D) ou octants (3D) (min 2 ou 3 points
par quadrant/octant)
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

32

7

6

4
1

10

9
3

2
5

8
11

Exemple: Recherche circulaire, maximum de 2 points par quadrant.
3 et 11 sont rejetés car en dehors du cercle de recherche.
8 est rejeté car deux autres points sont plus proches dans ce quadrant.

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

33

Dans certains cas, le choix d’un voisinage approprié est crucial !

Tous les points proviennent d’un même
forage =>
+

+

- discontinuité prononcée sur la carte
- estimation peu précise

Les points proviennent des 2 forages =>
à gauche : qq points dans la zone riche

+
+

À droite : aucun point dans la zone riche
=>
- discontinuité prononcée sur la carte

Zone riche

École Polytechnique - GLQ3401

- estimation peu précise

Krigeage - D. Marcotte

34

Les points proviennent des 2 forages =>
+

+

- pas de discontinuité
- estimation précise

Les points proviennent des 2 forages =>

+
+

- pas de discontinuité
- estimation précise

Zone riche

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

35

Exemple

Circulaire, quadrant n=3

Circulaire, n=10

Réalité

30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

30

25

5

10

15

20

25

5

30

10

15

20

25

30

20

15

Globale

Elliptique, quadrant n=3

30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

10

5

5

10

15

20

25

30

5

École Polytechnique - GLQ3401

10

15

20

25

Krigeage - D. Marcotte

30

5

10

15

20

25

30

36

Validation croisée
Valider le modèle de variogramme
Valider le voisinage utilisé pour le krigeage
résidu : ei=Zi-Zi*

résidu normalisé

ei
ni =
σ ki

∑ ei ≈ 0 et ∑ n i ≈ 0
i

i

∑ | ei | min ou ∑ ei2 min
i

i

1
2
n
 ∑ i
N i

École Polytechnique - GLQ3401

0.5

≈1

Krigeage - D. Marcotte

37

Aussi :
- histogramme des résidus et résidus normalisés
- carte des résidus et résidus normalisés

positif
négatif

Résidus normalisés

Résidus normalisés +
grands à droite qu’à
gauche => considérer
scinder le domaine en 2

100
80
60
40
20
0
0

20

40

60

80

École Polytechnique - GLQ3401

100

120

140

160

180

200

Krigeage - D. Marcotte

38

- important de reproduire dans la validation des situations réalistes
d’estimation (semblables à celles du krigeage final)
Points d'interpolation
Données completes
Données décimées
100
80
60
40
20
0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Avec grille complète des données => valider le variogramme à petite échelle seulement
Avec grille décimée => valider le variogramme pour des distances + grandes

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

39

Exemple de validation croisée
Validation croisée, bon modele: e2

1600 points (40 x 40)
Pas variable
50 voisins
Sphérique a=10, C=1 C0=0
(bon modèle)

2
Moy e2
Moy σ 2

1.5
1
0.5
0

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

n2 (erreurs normalisées)
2
1.5
1
0.5
0

École Polytechnique - GLQ3401

2

3

Krigeage - D. Marcotte

4

5
Pas de la grille

40

Effet pépite pur au lieu de sphérique a=10: e2
2

Idem

Moy e2
Moy σ 2

1.5

Vrai modèle : Sphérique a=10, C=1
Modèle validé: effet de pépite pur
C0=1

1
0.5
0

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

n2 (erreurs normalisées)
2
1.5

Le modèle validé
est pessimiste par
rapport au vrai
modèle

1
0.5
0

2

3

4

5
Pas de la grille

Pourquoi à de larges mailles la validation fournit-elle de bons résultats ?
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

41

Sphérique a=20 au lieu de a=10: e2
2
Moy e2
Moy σ 2

1.5

Idem
Vrai modèle : Sphérique a=10, C=1
Modèle validé: Sphérique a=20, C=1

1
0.5
0

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

n2 (erreurs normalisées)
8

Le modèle validé
est optimiste par
rapport au vrai
modèle

École Polytechnique - GLQ3401

6
4
2
0

2

3

Krigeage - D. Marcotte

4

5
Pas de la grille

42

Sphérique a=10 au lieu de pépite pur: e2
2

Idem
Vrai modèle : Effet de pépite pur, C0=1
Modèle validé: Sphérique a=10, C=1

Moy e2
Moy σ 2

1.5
1
0.5
0

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

n2 (erreurs normalisées)
8

Le modèle validé
est optimiste par
rapport au vrai
modèle

6
4
2
0

2

3

4

5
Pas de la grille

Pourquoi à de larges mailles la validation fournit-elle de bons résultats ?
École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

43

Exemple simulé
Var(e)

Nb. données =30

École Polytechnique - GLQ3401

lid
a
V

on
i
t
a

Minimum en a=15, C0/C=0.3; près des
valeurs utilisées pour la simulation
(C0/C=0.33; a=10)

Krigeage - D. Marcotte

44

Autres mesures de validation
-Variance expérimentale des observations vs valeur théorique D2(•|G)
-Variance expérimentale des valeurs krigées vs valeurs théoriques (pour
différentes tailles de blocs « v »)

Variance
expérimentale des
valeurs krigées

2
σˆ 2Z*v ≈ D 2 ( Z v | G ) − σko
− 2µ

Valeur moyenne des
variances de krigeage

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

Valeur moyenne des
multiplicateurs de Lagrange

45

Lien entre KS et KO
KO => estimer « m » par KO suivi de KS avec cette moyenne estimée
Estimation de « m » par KO =>

λ m,i

Estimation de Zv(x) par KO =>

λ o,i µ

Estimation de Zv(x) par KS avec
m estimé par KO =>

λ s,i

µm

2
σ ko
, m = −µ m

σ 2ko

σ 2ks

Ss = (1 − ∑ λ s ,i )
i

λ o ,i = λ s ,i + S s λ m ,i
µ = S sµ m
2
2
σ ko
= σ ks
+ S s2 σ 2ko ,m

École Polytechnique - GLQ3401

Krigeage - D. Marcotte

46


Documents similaires


Fichier PDF krigeage marcotte
Fichier PDF exercices krigeage
Fichier PDF krigeage
Fichier PDF chapitre9
Fichier PDF krigeage 2
Fichier PDF s baillargeon le krigeage 05


Sur le même sujet..