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CPGE Lissane Eddine - Laayoune

Essaidi Ali

mathlaayoune@gmail.com

Matrice de Gram
Définitions et notations
Dans tout le problème, E est un espace euclidien de dimension n ≥ 2 et p un entier ≥ 1.
– Si x1 , . . . , xp ∈ E alors la matrice Γ(x1 , . . . , xp ) = (hxi , xj i)1≤i,j≤p et le réel γ(x1 , . . . , xp ) = det Γ(x1 , . . . , xp ) s’appellent, respectivement, la matrice de Gram et le gramien de la famille (x1 , . . . , xp ).
– Si x1 , . . . , xp , y1 , . . . , yp ∈ E alors la matrice bΓ((x1 , . . . , xp ), (y1 , . . . , yp )) = (hxi , yj i)1≤i,j≤p et le réel
bγ((x1 , . . . , xp ), (y1 , . . . , yp )) = det bΓ((x1 , . . . , xp ), (y1 , . . . , yp )) s’appellent, respectivement, la matrice de Bigram et le
bigramien des deux familles (x1 , . . . , xp ) et (y1 , . . . , yp ).
Le but de ce problème est d’étudier les propriétés de ces matrices et d’en proposer quelques applications.

Première partie
Propriétés de la matrice de Gram et du gramien
Soit x1 , . . . , xp ∈ E non tous nuls, F = Vect{x1 , . . . , xp } et B = (e1 , . . . , ek ) une base orthonormale de F .
1: Soit C = (ε1 , . . . , εn ) une base de E. Montrer que ∀x, y ∈ E, hx, yi = tXΓ(ε1 , . . . , εn )Y avec X = mat(x, C ) et
Y = mat(y, C ).
2: Donner une condition nécessaire et suffisante sur Γ(x1 , . . . , xp ) pour que la famille (x1 , . . . , xp ) soit orthogonale (resp.
orthonormale).
3: Soit A = matB (x1 , . . . , xp ). Montrer que Γ(x1 , . . . , xp ) = tAA. En déduire que si k = p, γ(x1 , . . . , xp ) = det2B (x1 , . . . , xp ).
4: Montrer que γ(x1 , . . . , xp ) ≥ 0 et que γ(x1 , . . . , xp ) = 0 si, et seulement si, la famille (x1 , . . . , xp ) est liée.
5: En déduire une démonstration, à l’aide du gramien, de l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec le cas d’égalité.
6: On suppose que p ≥ 2. Montrer que ∀x ∈ Vect{x1 , . . . , xp−1 }, γ(x1 , . . . , xp + x) = γ(x1 , . . . , xp ).
7: Montrer que Γ(x1 , . . . , xp ) est symétrique et à valeurs propres positives.
8: Réciproquement, soit M ∈ Mp (R) symétrique et à valeurs propres positives.
8 - 1: Montrer que ∃S ∈ Mp (R) telle que M = tSS.
8 - 2: En déduire que si p ≤ n alors ∃y1 , . . . , y
tels que Γ(y1 , . . . , yp ) = M . Ce résultat reste-t-il vrai si p > n ?
p ∈E
3 1
8 - 3: Déterminer x, y ∈ E tels que Γ(x, y) =
.
1 3
p
9: On pose I = {k ∈ N/k ≥ 2}. Construire une fonction Python de paramètre (n, p, x) ∈ I × I × (Rn ) qui retourne la matrice
Γ(x1 , . . . , xp ) avec x = (x1 , . . . , xp ). Rn étant muni du produit scalaire usuel.
10: Montrer que ker A = ker tAA. En déduire que rg(Γ(x1 , . . . , xp )) = rg(x1 , . . . , xp ).
11: Soit a, b, c ∈ E tels que kak = kbk = kck = 1 et ha, bi = hb, ci = ha, ci = −1. Montrer que la famille (a, b, c) est libre.
12: Montrer que ∀u ∈ L (F ), γ(u(x1 ), . . . , u(xp )) = (det u)2 γ(x1 , . . . , xp ). Que dire lorsque u ∈ O(F ) ?

Quatrième partie
Matrice de biGram, le bigramien
Soit B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E et x1 , . . . , xp , y1 , . . . , yp ∈ E.
1: Soit A = matB (x1 , . . . , xp ) et B = matB (y1 , . . . , yp ). Montrer que bΓ((x1 , . . . , xp ), (y1 , . . . , yp )) = tAB.
2: Montrer que ∀a, b ∈ E, γ(x1 , . . . , xp , a + b) = γ(x1 , . . . , xp , a) + γ(x1 , . . . , xp , b) + 2bγ((x1 , . . . , xp , a), (x1 , . . . , xp , b)).
3: Montrer que si l’une des deux familles (x1 , . . . , xp ) et (y1 , . . . , yp ) est liée alors bγ((x1 , . . . , xp ), (y1 , . . . , yp )) = 0.
4: Montrer que la réciproque est fausse.
5: On suppose, dans la suite, que les familles (x1 , . . . , xp ) et (y1 , . . . , yp ) sont libres et on pose F = Vect{x1 , . . . , xp },
G = Vect{y1 , . . . , yp } et ∀x ∈ E, ϕx la forme linéaire sur G définie par ∀y ∈ G, ϕx (y) = hx, yi. Montrer que l’application
ϕ : F → L (G, R) définie par ∀x ∈ F, ϕ(x) = ϕx est une application linéaire.
6: Justifier l’existence d’une base (ψ1 , . . . , ψp ) de L (G, R) telle que ∀i, j ∈ {1, . . . , p}, ψi (yj ) = δij .
7: Montrer que la matrice de ϕ dans les bases (x1 , . . . , xp ) de F et (ψ1 , . . . , ψp ) de L (G, R) est tbΓ((x1 , . . . , xp ), (y1 , . . . , yp )).
8: En déduire que bγ((x1 , . . . , xp ), (y1 , . . . , yp )) 6= 0 ⇐⇒ F ∩ G⊥ = {0} ⇐⇒ F ⊥ ∩ G = {0}.

Troisième partie
Projection orthogonale, distance à un sous-espace vectoriel
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Essaidi Ali

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1: Montrer que ∀P, Q ∈ R[X], l’application t 7→ P (t)Q(t)e−t est intégrable sur [0, +∞[.
Z +∞
P (t)Q(t)e−t dt est un produit scalaire sur R[X].
2: Montrer que hP, Qi =
0

3: Construire une base orthonormale de R2 [X] à partir de la base canonique par le procédé de Gram-Schmidt.
4: En déduire la projection orthogonale du polynôme P = X 3 sur R2 [X].
Z +∞
5: Déterminer inf
(t3 − at2 − bt − c)2 e−t dt.
a,b,c∈R

0

6: Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p, (e1 , . . . , ep ) une
 base
 deF et x ∈E.
α1
hx, e1 i
 ..   .. 
6 - 1: Montrer que si pF (x) = α1 e1 + · · · + αp ep alors Γ(e1 , . . . , ep )  .  =  . .
αp
hx, ep i
6 - 2: Retrouver le résultat de la question 4 de la partie 3.
γ(e1 , . . . , ep , x)
6 - 3: Montrer que d2 (x, F ) =
.
γ(e1 , . . . , ep )
6 - 4: Retrouver le résultat de la question 5 de la partie 3.
7: Montrer que ∀x1 , . . . , xp ∈ E, γ(x1 , . . . , xp ) ≤ kx1 k2 · · · kxp k2 . Étudier le cas d’égalité.
8: Montrer l’inégalité de Hadamard, ∀A ∈ Mn (R), | det A| ≤ kC1 k · · · kCn k avec C1 , . . . , Cn les colonnes de A et ∀i ∈
{1, . . . , n}, kCi k2 = tCi Ci . Étudier le cas d’égalité.

Quatrième partie
Applications
I - Vecteurs unitaires équidistants : Soit x1 , . . . , xp ∈ E (p ≥ 2) unitaires et α > 0 tels que ∀i, j ∈ {1, . . . , p}
distincts, kxi − xj k = α.
1: Montrer que ∃β 6= 1, ∀i, j ∈ {1, . . . , p} distincts, hxi , xj i = β.
2: Montrer que γ(x1 , . . . , xp ) = (1 + (p − 1)β)(1 − β)p−1 .
h
i
−1
,1 .
3: En déduire que si la famille (x1 , . . . , xp ) est libre alors p ≤ n et β ∈ p−1
4: On suppose que la famille (x1 , . . . , xp ) est liée.
4 - 1: Montrer que la famille (x1 , . . . , xp−1 ) est libre.
−1
4 - 2: En déduire que β = p−1
et p ≤ n + 1.
−1
5: Réciproquement, on suppose que p = n + 1, β = p−1
= − n1 et on se propose de montrer qu’il existe une famille de vecteurs
unitaires y1 , . . . , yn ∈ E telle que ∀i, j ∈ {1, . . . , n + 1} distincts, kyi − yj k = α.
5 - 1: Justifier l’existence d’une famille de vecteurs unitaires y1 , . . . , yn ∈ E telle que ∀i, j ∈ {1, . . . , n} distincts, hyi , yj i = β.
5 - 2: Conclure en considérant le vecteur yn+1 = y1 + · · · + yn .
II - L’équation Γ(x1 , . . . , xn ) = Γ(y1 , . . . , yn ) et applications : Soit x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ E tels que
Γ(x1 , . . . , xn ) = Γ(y1 , . . . , yn ) et k = rg(x1 , . . . , xn ). On veut montrer que ∃f ∈ O(E), ∀i ∈ {1, . . . , n}, f (xi ) = yi .
1: Montrer ce résultat dans le cas k = n.
2: On suppose, dans la suite, que k < n. Montrer que ∃σ ∈ Sn tel que (xσ(1) , . . . , xσ(k) ) et (yσ(1) , . . . , yσ(k) ) soient libres.
3: On pose F = vect{xσ(1) , . . . , xσ(k) }, G = vect{yσ(1) , . . . , yσ(k) }, (uk+1 , . . . , un ) une base orthonormale de F ⊥ , (vk+1 , . . . , vn )
une base orthonormale de G⊥ . Montrer que l’endomorphisme de E définie par ∀i ∈ {1, . . . , k}, f (xσ(i) ) = yσ(i) et ∀i ∈
{k + 1, . . . , n}, f (ui ) = vi est orthogonal.
4: Montrer que ∀i ∈ {k + 1, . . . , n}, yσ(i) − f (xσ(i) ) ∈ G ∩ G⊥ .
5: Conclure.
6: Montrer que ∀A, B ∈ Mn (R), tAA = tBB ⇐⇒ ∃U ∈ O(n), B = U A.
7: Soit A ∈ Mn (R).
7 - 1: Montrer que tAA est symétrique à valeurs propres positives.
7 - 2: Montrer que ∃U, V ∈ O(n), ∃D ∈ Mn (R) diagonale telles que A = U DV (décomposition singulière de A).
7 - 3: Déduire que tAA et AtA sont orthogonalement diagonalisables (i.e ∃U ∈ O(n), tAA = tU AtAU .
III - Matrice de l’adjoint dans une base non forcément orthonormale : Soit B une base orthonormale
de E, C = (e1 , . . . , en ) une base de E, u ∈ L (E), M = mat(u, C ), N = mat(u∗ , C ) et Γ = Γ(e1 , . . . , en ).
1: Soit P la matrice de passage de la base B vers la base C . Montrer que Γ = tP P .
2: Montrer que N = Γ−1 tM Γ.
3: Montre que u est autoadjoint si, et seulement si, ΓM = tM Γ.
4: Montre que u est orthogonal si, et seulement si, tM ΓM = Γ.

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