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L3-PHYSIQUE

Examen de Mécanique Quantique
Première session – Mai 2016
3 heures, documents manuscrits autorisés (cours et TD), pas de smartphone

Exercice 1 : Oscillateur harmonique
On considère un oscillateur harmonique décrit par l’Hamiltonien
2
ˆ2
ˆ2
ˆ = P + mω X
H
2m
2

Après le changement de variables qˆ =
les opérateurs

p mω
~

ˆ et pˆ =
X

a
ˆ=

√ 1
Pˆ ,
m~ω

qˆ + iˆ
p
√ ,
2

(1)

2
ˆ = ~ ω (ˆ
cet Hamiltonien s’écrit H
ˆ2 ). On définit
2 p +q

ˆ
N

=

a
ˆ+ a
ˆ

(2)

ˆ a
ˆ de valeur propre
1. Rappeler les actions des opérateurs H,
ˆ+ et a
ˆ sur les états propres |ni de l’opérateur N
n.
2. Trouver les deux fonctions propres φn (x) = hx|ni de plus basses énergies, explicitement comme des variables
de x, grâce aux expressions de a
ˆ+ et a
ˆ dans l’espace réel.
Exercice 2 : Particule ferromagnétique
On considère une particule ferromagnétique décrite par l’Hamiltonien effectif
ˆ = aJˆz + b Jˆz2
H
~

(3)

où a et b sont deux constantes positives ou nulles ayant les dimensions d’une pulsation. Le système a trois états
stationnaires correspondant au moment cinétique j = 1 et formant une base {| + 1i, |0i, | − 1i} constituée des trois
vecteurs propres de Jˆz tels que Jˆz |mi = ~m|mi avec m = 0, ±1.
1. Donner la représentation matricielle dans la base de chaque terme du Hamiltonien. Quels sont les niveaux
d’énergie du système et pour quelle valeur du rapport ab y a-t-il dégénérescence du niveau fondamental ?
~ associé au moment cinétique, et γ le rapport gyromagnétique
2. On considère le moment magnétique M
~ dans la direction ~u(θ, φ) les deux angles du repère
correspondant. On applique un faible champ statique B
sphérique. Exprimer en fonction des composantes de J~ et des angles (θ, φ) l’énergie d’interaction W du
~ Ecrire la matrice représentant W dans la base des trois états propres. On
moment magnétique avec B.
donne l’expression des matrices Jˆx et Jˆy :




0 1 0
0 −i 0
~
~
Jˆx = √  1 0 1 
Jˆy = √  i 0 −i 
(4)
2
2
0 1 0
0 i
0
3. On suppose que b = a et que la direction de ~u est parallèle à Ox. Calculer les énergies et les états propres
de W dans le sous-espace des deux états dégénérés.
Exercice 3 : Triple puits de potentiel
On considère une particule dans un triple de puits de potentiel. On désigne par |ii (i = 1, 2 ou 3) l’état de la
particule lorsqu’elle se trouve dans le puits numéro i et on suppose que hi|ji = δi,j .
On introduit dans le système un processus qui permet à la particule de passer d’un puits à l’autre par effet
tunnel avec une amplitude t > 0, ce qui conduit à l’Hamiltonien :
ˆ = t (|1ih2| + |2ih1| + |1ih3| + |3ih1| + |2ih3| + |3ih2|)
H

(5)

1. Démontrer que l’opérateur de permutation Pˆ défini par Pˆ |1i = |2i, Pˆ |2i = |3i et Pˆ |3i = |1i commute avec
l’Hamiltonien.
1

2. Que vaut Pˆ 3 ? En déduire les valeurs propres de Pˆ .
3. Déterminer les vecteurs propres associés.
ˆ et leur dégénérescence.
4. En déduire les valeurs propres de H
Exercice 4 : Evolution temporelle
On considère un système à deux niveaux dont le Hamiltonien, dans la base {|+i, |−i} s’écrit


A B
ˆ
H=~
B −A
ˆ :
On donne les valeurs propres et les vecteurs propres de H
(

E+ = ~ A2 + B 2
|χ+ i = cos θ2 |+i + sin θ2 |−i

E− = −~ A2 + B 2
|χ− i = − sin θ2 |+i + cos θ2 |−i
avec cos θ =

√ A
,
A2 +B 2

sin θ =

√ B
A2 +B 2

et tan θ =

(6)

(7)

A
B.

1. Le vecteur d’état |φ(t)i au temps t peut se décomposer sur la base {|+i, |−i}, |φ(t)i = c+ (t)|+i + c− (t)|−i.
Ecrire le système d’équations différentielles couplées auquel obéissent les composantes c± (t).
2. En déduire que ces composantes vérifient l’équation différentielle
ω2
d 2 c±
+
c± = 0
dt2
4

(8)

avec ~ω la différence d’énergie entre les deux niveaux et ω = 2 A2 + B 2 .
3. On décompose à présent |φ(t = 0)i sur la base {|χ+ i, |χ− i} comme |φ(t = 0)i = λ|χ+ i + µ|χ− i avec
|λ|2 + |µ|2 = 1. Montrer que c+ (t) s’écrit :
ωt
θ
θ
− µei 2 sin
2
2
4. On suppose que c+ (0) = 0. En déduire λ et µ à une phase près, ainsi que c+ (t).
5. Montrer que la probabilité de trouver le système au temps t dans l’état |+i est


ωt
ωt
B2
2
2
2
p+ (t) = sin θ sin
= 2
sin
.
2
2
A +B
2

c+ (t) = λe−i

ωt
2

cos

(9)

(10)

6. Montrer que si c+ (0) = 1, alors

c+ (t) = cos

ωt
2




− i cos θ sin

ωt
2


.

(11)

7. En déduire p+ (t) et p− (t) et vérifier la compatibilité du résultat avec celui de la question précédente.
Exercice 5 : Etat quantique d’un atome d’hydrogène
On considère un atome d’hydrogène formé d’un noyau fixe de charge e et d’un électron de masse m et de charge
−e. L’opérateur Hamiltonien de cet électron en coordonnées sphériques s’écrit :


ˆ2
L
~2 1 ∂
e2
θ,φ
2 ∂
ˆ
Hr,θ,φ = −
r
+

2m r2 ∂r
∂r
2mr2
r
ˆ 2 est l’opérateur associé au carré du moment cinétique orbital, et le coefficient 1/(4π 0 )
Dans cette expression, L
de l’énergie potentielle a été incorporé dans e2 .
On place l’électron dans un état quantique décrit par la fonction d’onde :
Ψ(r, θ, φ, t) = A(t)e−ρ/2 + B(t)(1 − ρ/4)e−ρ/4
Dans cette expression, A(t) et B(t) sont des nombres complexes fonctions uniquement du temps, et la distance
2
radiale r a été remplacée par la variable adimensionée ρ = 2me
~2 r.
ˆ 2 Ψ pour cet état quantique ? Quel est le nombre quantique orbital l de cet état ?
1. Que vaut L
ˆ en fonction de la variable adimensionée ρ. On fera apparaître l’énergie caractéristique
2. Ecrire l’opérateur H
R=

me4
2~2 .

ˆ Ψ pour cet état quantique. Est-ce un état stationnaire ?
3. Calculer H
4. En appliquant l’équation de Schrödinger, établir les équations différentielles temporelles sur A(t) et B(t),
puis donner leur solution.
5. Rappeler les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. A quoi correspond l’état quantique Ψ ?
6. Calculer la densité de probabilité de présence |Ψ|2 . A quelle fréquence oscille-t-elle ? A quoi correspond cette
fréquence ?

2


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