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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ieme Année Master MCO
Matière : Outils d’Analyse 2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 2

Projection Orthogonale
(30 Janvier 2017)
Exercise 1 Pour n > 0, soit
fn (x) =

p

n; 0 t 1=n2
0;
ailleurs:

Montrer que fn ! 0 dans L2 [0; 1] mais que fn (0) ne converge pas vers zero.
Exercise 2 Déterminer le complément orthogonal du sous espace de R3 engendré par le vecteur (1; 2; 1) :
Exercise 3 Soit f (t) = 1 sur 0 t 1: Montrer que le complément orthogonal
de f dans L2 [0; 1] est l’ensemble des fonctions dont la valeur moyenne est égale
à zéro.
Exercise 4 Soit V = L2 [ ; ] et considérons le sous espace V0
par
V0 = span f1; cos x; sin xg :

V donné

(i) Trouver une BON pour V0 ( notons que V0 est un sous espace de L2 [
de sorte que les fonctions ne soient dé…nies que sur [ ; ]):

; ]

(ii) Montrer que l’espace V1 = span fcos 2x; sin 2xg
V est orthogonal à V0 :
V1 est-il le complément orthogonal de V0 ? Justi…ez votre réponse.
(iii) Calculer la projection orthogonale de f (x) = cos 3x sur V0 :
(iv) Calculer la projection orthogonale de f (x) = x; pour x 2 [
dans V1 :

; ],sur V0 et

Exercise 5 Considérons sur l’espace de Hilbert L2 [0; 1] les fonctions suivantes
8
< 1 0 x < 1=2
1 0 x<1
1 1=2 x < 1 :
(x) =
;
(x) =
0 ailleurs:
:
0
ailleurs:
(a) Calculer la projection orthogonale de la fonction f (x) = e
[0; 1],sur le sous espace V0 = span f ; g :

x

; pour x 2

(b) Calculer la projection orthogonale de g (x) = x sur l’espace engendré par
les fonctions (x) ; (x) ; (2x) ; (2x 1) 2 L2 [0; 1].
1


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