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Partie A (logique Combinatoire)

Chapitre 4:

SYSTEMES DE NUMERATION ET CODES
I. Systèmes de Numération:
I.1. Définition de Base
n

Dans un système de numération de base B, un nombre N est représenté sous la forme:

a i .B i

N
i 1

Où ai est un symbole représentant un chiffre de rang i ;
Si i=0 le chiffre correspondant est de poids le plus faible;
Si i=n le chiffre correspondant est de poids le plus fort;
On note la représentation du nombre N dans le système de numération de base B par:
N = (an an-1 ….. a0)B
Les systèmes de numération les plus répandus sont les systèmes de numération décimal, octal
hexadécimal et binaire, tableau 1.
Tableau 1 : Description des systèmes de numération les plus utilisés.
Système de
Système de
Système de
Système de numération
numération
Numération
Numération
Hexadécimal
décimal
Binaire
Octal
Base (B)

10

2

8

Les symboles (ai)

0,1,…….,9

0,1

0,1,…,7

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

00000
00001
00010
00011
00100
00101
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100
01101
01110
01111
10000
10001
10010
10011
10100

00
01
02
03
04
05
06
07
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
24

16
0,1,…,9,A,B,C,D,E,E,F
( A->10, B->11, C->12, D->13,
E->14, F->15. )
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0A
0B
0C
0D
0E
0F
10
11
12
13
14

I.2. Conversion d'un système de numération (SN) de base B au SN décimal:
Il suffit d'utiliser la formule de définition précédemment donnée:
(an an-1 …..a0)B = an .Bn+an-1.Bn-1+…….+a0.B0.
Exemple:
(101011)2 = 1.25+0.24+1.23+0.22+1.21+1.20 = (43)10
(57)8 = 5.81+7.80 =(47)10
(24FC)16 = 2.163+4.162+15.161+12.160= (9468)10
16

Partie A (logique Combinatoire)

I.3. Conversion du SN binaire au SN de base B = 2k , k>1 et inversement:
La règle générale de cette conversion est de faire des groupements de k bits en partant de la droite, puis
convertir ces groupement au système de base B= 2k.
Exemple:
1) (110001101011)2 ––––> ( ? )16
B=16=24 => k= 4 , donc on fait des groupements de 4 bits:
( 1100 0110 1011 )2
(

C

6

B

)16

2) (110001101011)2 ––––> ( ? )8
B=8=23 => k=3,donc on fait des groupement de 3bits:
( 110 001 101 011 )2
( 6

1

5

3 )8

La conversion inverse c-à-d du SN de base B= 2k au binaire se fait en convertant chaque symbole à son
équivalant binaire écrit sur k bits.
Exemple:
1)
( 5 1 7 4 )8

–––> ( ? )2

k=3

( 101 001 111 100 )2
2)

( F 3 D C

)16

––––> ( ? )2 k=4

( 1111 0011 1101 1100 )2
I.4. La conversion de l'hexadécimal à l'octal et inversement:
Dans ce cas, on fait recours à 2 conversions :
Hexadécimal <––––> Binaire , Binaire <–––––> Octal
Exemple:
1)
( 247 )8 ––––> ( ? )16
( 247 )8 = (010 100 111)2 = (0 1010 0111)2 = (0A7)16 = (A7)16
2)
( B2F )16 ––––> ( ? )8
(B2F)16 = (1011 0010 1111)2 = (101 100 101 111)2 = (5457)8
I.5. Conversion du SN décimal au SN binaire:
I.5.a- Par retranchement de poids binaire:
Le principe de cette conversion est de retrancher le poids binaire le plus grand et inférieur au
nombre à convertir puis reprendre l'opération de retranchement sur le résultat obtenu jusqu'à ce qu'on
obtient un zéro. Le résultat de conversion est obtenu en mettant un 1 devant les poids retranchés.
Les poids binaire à retranchés sont:
……….
27
26
25
24
23
22
21
20
……….
128 64
32
16
8
4
2
1
Exemple:
(76)10 –––> ( ? )2
76 est compris entre 128 et 64
76-64=12,
12-8=4,
……….

128
0

64
1

32
0

4-4=0
16
0

8
1

4
1

2
0

1
0 donc (76)10= (1001100) 2

17

Partie A (logique Combinatoire)

I.5.b- Méthode des divisions successives par 2:
Dans cette méthode, on devise successivement le nombre à convertir par 2, et on arrête lorsque le résultat
de division est nul. Le nombre en binaire correspond aux restes des divisions. Le premier reste est le bit
de poids le plus faible (LSB : Low Significant Bit ) et le dernier est le bit de poids le plus fort (MSB:
Most Significant Bit).
34 2
Exemple:
14 17 2
LSB
0 1 8
2
04 2
(34)10 = (100010)2

0 2

2
01 2
MSB
10

II. le système de numération binaire et les systèmes numériques
II.1 Pourquoi le système de numération binaire dans les systèmes numériques?
Les systèmes de numération décimal, octal et hexadécimal sont difficiles à adapter aux mécanisme
numériques. Par exemple, il est très difficiles de concevoir de l'équipement électronique qui puissent
fonctionner avec 10, 8 ou 16 niveaux de tensions différents. Par contre, il est très facile d'imaginer des
systèmes électroniques simples et précis qui fonctionnent seulement avec 2 niveaux de tension. C'est la
raison pour laquelle la plupart des systèmes numériques ont recours au système binaire comme système
de numération de base pour leur opérations.
Comme la plupart des systèmes numériques traitent aussi bien les nombres négatives que les
nombres positifs, il faut adopter une certaine convention pour représenter toutes les nombres que se soit
positifs ou négatifs. Cela se fait en donnant différentes significations ou valeurs au nombre binaire d'un
certain nombre de bits, selon un mode de représentation, parmi lesquels on trouve:
- représentation non-signée;
- représentation signe-grandeur (Sign-magnitude);
- représentation en complément à 1 (complément restreint);
- représentation en complément à 2 (complément vrai);
II.2. Représentation non-signée:
Avec n bits, les nombres decimaux non-signés qui peuvent être représentés sont compris entre "0" et
"2n-1".
II.3. Représentation signe-grandeur :
0 1 1 0 0 1 0 0 = (100) 10
Dans cette représentation, on ajoute un bit de signe à la représentation
binaire de la valeur absolu du nombre. Ce bit à le poids le plus fort Bit de signe Grandeur
(MSB).
Si MSB=0 –––––> le nombre est >0
1 1 1 0 0 1 0 0 = (-100) 10
Si MSB=1 –––––> le nombre est <0
Exemple
Tableau 2
Nombre binaire
Décimal
Avec n bits on peut représenté que les nombres appartenant à la
Signe
valeur
plage des nombres suivante: -(2n-1-1) , +(2n-1 -1). Il faut noté que
0
11
+3
le nombre zéro possède deux représentations distinctes: +0 et -0.
0
10
+2
Voir dans le tableau 2 ci contre les nombres binaires de 3 bits en
0
01
+1
représentation signe-grandeur avec leurs équivalent décimal.
0
00
+0
1
00
-0
1
01
-1
1
10
-2
1
11
-3
18

Partie A (logique Combinatoire)

Bien que la représentation signe-grandeur soit direct les ordinateurs et les calculateurs n'y ont
généralement pas recours en raison de la complexité des circuits qui matérialisent cette notation.
II.4. Représentation complément à 1 (complément restreint ):
Arithmétiquement, on appelle complément à 1 d'un nombre binaire A le nombre A tel que :
A+A =2n -1 …………. (1)
Logiquement, le complément à 1 d'un nombre binaire A est le nombre A tel que les bits de A
sont l'inverse ou le complément de ceux de A.
II.5. Représentation complément à 2 (complément vrai ):
On appelle complément à 2 d'un nombre binaire A le nombre A tel que :
A+A =2n …………. (2)
Par soustraction de (2)-(1)
A - A =1
A = A +1
Ceci montre que le complément à 2 d'un nombre peut s'obtenir en faisant le complément à1 de celui ci
puis l'incrémenter.
Avec n bits, la plage de représentation des nombres binaires signés en complément à 2 est -2n-1 à 2n-1-1,
tableau 3(n=3).
Tableau 3:
Nombre binaire
0
0
0
0
1
1
1
1
Signe

11
10
01
00
11
10
10
00

Décimal
+3
+2
+1
+0
-1
-2
-3
-4

Les nombre positifs se caractérise par un bit de signe MSB égale
à "0", alors que les nombres négatifs par un bit de signe égale à
"1" comme pour les nombres représenté en signe-grandeur.

Remarquer que jusqu'à maintenant on a traité que les différentes mode de représentation binaire des
nombres entier signé ou non. Dans le prochain paragraphe on va voir ce qui concerne les nombres réels.
II.6 Représentation binaire des nombres réelles: Il y a deux types de représentation :
- représentation en virgule fixe;
- représentation en virgule flottante.
II.6.a- Représentation binaire des nombres en virgule fixe:
Un nombre fractionnaire en virgule fixe possède 2 parties : partie entière et partie fractionnaire.
Dans la représentation binaire de ces nombres la virgule n'est pas matérialisée réellement comme le
signe mais se trouve fictivement entre les deux partie entière et fractionnaire.
Exemple: 01101010,=106 ;
0110,1010=6,625;
011010,10=25,5;
01,101010=1,65625
II.6.b- Représentation binaire des nombres en virgule flottante:
La représentation en virgule fixe permet de représenter des nombres appartenant à une certaine plage et
avec la même précision/ Mais cette représentation ne permet pas de manipuler des nombres très petits ou
très grands. La représentation appropriée à ces nombres est la représentation en virgule flottante:

M BE
M: désigne la mantisse

19

Partie A (logique Combinatoire)

B : est la base du système de numération
E : est l'exposant (Si E>0 le nombre représenté est très grand; Si E<0 le nombre représenté est très petit)
Norme internationale de représentation en virgule flottante est IEEE 754 flottant sur 32 bits
b31 b30 b29 ……… b24 b23 b22 ……….
Signe mantisse

Exposant

b1 b0

Mantisse

Le bit de signe mantisse est 1 pour mantisse négatif et 0 pour mantisse positif
La mantisse vaut toujours 1,xxxx et on ne stocke que xxxx sur b22….. b1 b0
L’exposant est en excédent 127
Exemple :
La valeur 0 correspond à des 0 partout (en fait 1,0.2-127)
1 10000011 11000000000000000000000 = -1,75.24 = -28
0 01111111 00000000000000000000000 = 1,0.20 = 1

Tableau 4:
Signe
0
0
0
0
0

Nombre binaire
Décimal
Partie
Partie
entière
fractionnaire
111
11
+7,75
111
10
+7,50
111
01
+7,25
111
00
+7,00
110
11
+6,75

0
0
1
1

000
000
111
111

01
00
11
10

0,25
0,00
-0.25
-0.5

1
1

000
000

01
00

-7,75
-8

Exemple de représentation en virgule fixe
sur 6 bits dont 4 bits pour la partie entière.
Note: les poids binaires dans la partie
fractionnaire sont de puissance négatif
Exemple
0111,11= 0.23+1.22+1.21+1.20+1.2-1+1.2-2
= 7.75

II.6.c- Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre en SN décimal au SN
binaire
Pour la cconversion en binaire de la partie
fractionnaire on procède la méthode de (0,45)10 –––––> ( ? )2
multiplication successif.
Dans cette méthode, on multiplie le nombre 0,45 * 2 = 0,90
0
fractionnaire à convertir avec 2, puis on reprend 0,90 * 2 = 1,8
1
l'opération de multiplication sur la partie 0,8 * 2 = 1,6
1
fractionnaire du résultat et on arrête lorsque le 0,6 * 2 = 1,2
1
(0,45)10 = (0,0111001...)2
résultat de multiplication est entier (sans partie 0,2 * 2 = 0,4
0
fractionnaire) ou selon la précision spécifiée. Le 0,4 * 2 = 0,8
0
nombre en binaire correspond à la juxtaposition 0,8 * 2 = 1,6
1
des parties entières des résultats de 0,6 * 2 = 1,2 ..
...
multiplication.
20

Partie A (logique Combinatoire)

III. Les Codes Binaires
Pour des raisons techniques, il existe d'autres représentations ou codes qui possèdent des caractéristiques
distinctes et des applications bien déterminées. Certains codes permettent de détecter les erreurs, et les
corriger et de lever un doute sur un résultat présumé faux. D'autre codes ont été crées pour éviter des états
transitoires parasites lors de la saisie des données. Quant aux autres ont des propriétés arithmétiques qui
permettent de faciliter des calculs.
III.1. Code Décimal Codé Binaire (DCB):
Dans ce code, chaque chiffre décimal est codé en binaire sur 4 bits. Exemple: ( 3 1 8 )10
( 0011 0001 1000 )BCD
Le code DCB est un code principalement utilisé dans la fonction d'affichage.
III.2. Code excédant 3 (XS3):
Exemple:
La représentation dans ce code s'obtient par l'ajout de 3 aux chiffres
( 3 1 8 )10
d'un nombre écrit en code DCB.
3 3 3 +
L'intérêt de ce code réside dans le fait que la complémentation à 9
9 4 11
(N+C(N)=9) des nombres représentés dans ce code revient à une
simple inversion des bits. Et les opérations de soustraction se ramène ( 1001 0100 1011 )XS3
alors à des opérations d'addition.
III.3. Code 'p' parmi 'n':
Ce code représente la correspondance à chaque chiffre décimal, 'n' bits dont 'p' soit à '1' et 'n-p' bit
à '0'. Il permet la détection d'une erreur après la réception s'il y a un nombre de différent de 'p'.
Le code 2 parmi 5 est le plus utilisé dans les centraux téléphoniques. Le code 3 parmi 6 est
également utilisé mais il est plus sensibles aux parasites.
III.4. Code Aïken:
Ce code utilise les 5 premières et les 5 dernieres combinaisons de binaire pure.
III.5. Code Gray ou binaire réfléchie ( ou encore le code cyclique):
Le code Gray est construit de telle façon que le passage d'une valeur à la suivante ne nécessite que
la modification d'un seul bit, tableau 5.

Tableau 5:
Code binaire
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1

Décimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Code Gray
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0

Remarquer du tableau ci-contre qu'entre le dernier nombre
15 =1000 et le premier nombre 0=0000 il y a un seule bit
qui change donc en appliquant la définition de ce code le
nombre 15 est suivi par 0 et la séquence se répète; d'où la
qualification code cyclique. Cette propriété est exploitée
dans les dispositifs fournissant en numérique la position
angulaire d'une pièce en rotation

21

Partie A (logique Combinatoire)

Procédure de construction du tableau du code Gray
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
1
1
0
0

0
1
1
0
0
1
1
0

1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
0
0
0
0

0
0
1
1
1
1
0
0

0
1
1
0
0
1
1
0

0
1
2
3
4
5
6
7

0
0
0
0

0
0
1
1

0
1
1
0

1
1
1
1

1
1
0
0

0
1
1
0

0
1
2
3

0
0

0
1

1
1

1
0

0 0
1 1

Axe de symétrie
ou de réflexion

VI. Les Codes pondérés et non-pondérés:
Lorsque les positions des bits des nombres codés ne sont affectées d'aucun poids le code est dit un code
non-pondéré et dans le cas contraire c'est un code pondéré. Le code binaire pure et le code DCB sont des
codes pondérés. Le code Gray, code XS3 et code Aïken sont des codes non-pondérés. Et ces derniers sont
définit par des tableaux de correspondance. Le code 'p' parmi 'n' est un code non-pondéré en réalité mais
on peut trouvé des poids a affecté aux bits mais ils ne sont pas valable pour toutes les combinaisons,
tableau6.
Tableau 6:
Décimal Code DCB
Code
Poids de
100, 10, 1
8, 4, 2, 1
pondération
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001

Code XS3

Code 2 parmi 5

Code Gray

Code Aïken

--

7, 4, 2, 1, 0

8, 4, 2, 1, 0

--

--

0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100

11000 *
00011
00101
00110
01001
01010
01100
10001
10010
10100

11000 *
00011
00101
00110
01001
01010
01100
10100 *
10001
10010

0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101

0000
0001
0010
0011
0100
1011
1100
1101
1110
1111

-- code non pondéré
* anomalie de pondération
22


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