Log. népérien .pdf


Nom original: Log. népérien.pdfTitre: D:\mathmouf(résumés de cours 4MAuteur: ZOUHAIER

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Bac Maths + Sc exp

Logarithme népérien

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Définition
On appelle logarithme népérien et on note ln, la fonction
x 1
x
ln x
dt; x 0
1 t
Autrement dit : La fonction ln est la primitive sur 0;
de la fonction
1 , qui s’annule en 1.
t
t

Conséquences

1/ ln x existe si et seulement si x
2/ ln est dérivable sur 0;

0;
1
x

et ln x

3/ ln est strictement croissante sur 0;
4/ x

0; 1 ; ln x

ln 1 0

et

ln b

a

b.

ln a

ln b

a

b

0;

.

.
x

5/ Soient a et b deux éléments de 0;
ln a

0; pour tout x

1;

; ln x

ln 1 0.

on a :

Propriétés
Soient a et b deux éléments de 0;
1/ ln a

b

ln a

2/ Pour tout n
ln a n
3/ ln 1
b

ln b

on a :

c’est la propriété fondamentale de ln

IN

n ln a
ln b

Hadj Salem Habib

et
et

1

ln a n
ln a
b

1 ln a .
n
ln a

ln b

Page 1

Lycée pilote Médenine

Bac Maths + Sc exp

Logarithme népérien

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Théo rème
1/ lim ln x

et

x

et

x 0

x 1

0

lim x ln x

0

x

2/ lim ln x
3/ lim

ln x
x

lim
x 0

ln x
x 1

4/ lim
x 0

1.

ln(1+x)
1.
x
ln n x
xm

5 / Pour tous entiers non nuls n et m,lim
x

0 et lim x m ln n x 0
x 0

Théo rème

Si
f : x

u une fonction dérivable sur un intervalle I
ux

0;

ln u x

x

I

est dérivable sur I et f x

alors la fonction

u x
pour tout x dans I.
ux

Théo rème

Si
f : x

u une fonction dérivable sur un intervalle I
ux

0;

x

I

ln|u x | est dérivable sur I et f x

alors la fonction

u x
pour tout x dans I.
ux

Co nséquence

Si
f : x

u une fonction dérivable sur un intervalle I
ux

0;

x

I

alors la fonction

u x
admet pour primitive sur I la fonction F : x
ux

ln|u x | C

où C est une constante réelle.

Théo rème
La fonction x

Hadj Salem Habib

ln x

x est un primitive sur 0;

Page 2

de la fonction ln

Lycée pilote Médenine


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