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Auteur: Paul PAOLI

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Billet n°1

Nombre d’or

Sommaire

1) Approche algébrique
a) Théorie des nombres métalliques
b) Propriétés arithmétiques du nombre d’or
2) Approche Analytique
a) Expression du nombre d’or à l’aide de racines imbriquées
b) Développement du nombre d’or en fractions continues
c) Généralisation
d) La suite de nombres 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
3) Suites de Fibonacci
a) Suite de Fibonacci
b) Suite de Tribonacci
c) Suite de 𝑘-bonacci
d) Nombre de Lucas
Complément : Notion de suite chaotique et d’attracteur
4) Approche géométrique
a) Formule trigonométrique pour le nombre d’or
b) Détermination géométrique du nombre d’or
5) Approche Arithmétique
a) Coefficients binomiaux
b) Algorithme d’Euclide (théorème de Lamé)
6) Approche Ensembliste
a) Anneau 𝑍[Φ]
Annexes
Index des notions
Index des notations

1- Approche algébrique du nombre d’or
a) Théorie des nombres de métaux
Définition : On appelle équation métallique de degré 𝑝 (EMD𝑝) (𝑝 ≥ 2) l’équation de la forme :
𝑝−1

𝑥𝑝 = ∑ 𝑥𝑘
𝑘=0



Existence d’une unique solution positive aux équations métalliques

On cherche ici à prouver que toute équation métallique admet une unique solution positive.
Nous allons traiter la question en considérant les fonctions 𝜎𝑝 de la forme :
ℝ→ℝ

𝑝−1

𝜎𝑝 ∶ {

𝑥 ⟼ 𝑥𝑝 − ∑ 𝑥𝑘
𝑘=0

Il s’agit alors de trouver les racines de ces fonctions polynomiales.
Quelques exemples

On a représenté ici en bleu 𝜎2 , en rouge 𝜎3 , en vert 𝜎4 et en gris 𝜎5
On remarque que toutes ces fonctions admettent visiblement une unique racine positive inférieure à 2 (la
suite des racines positives des équations métalliques semblent tendre vers 2 néanmoins).

Existence d’une racine positive
Nous allons utiliser le théorème de Bolzano afin de montrer l’existence de cette racine positive, il énonce
que :
Théorème de Bolzano: Soient 𝑎,𝑏 ∈ ℝ
Soit 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ une fonction continue.
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 ⇒ ∃𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) = 0

Nous avions remarqué que la racine positive d’une équation métallique semblait être inférieure à 2 tout en se
rapprochant de 2, ainsi, on peut prendre pour 𝑎 et 𝑏, raisonnablement :
𝑎=1
{
𝑏=3
Ce qui donne alors :
𝑝−1


𝑝

𝜎𝑝 (𝑎) = 1 − ∑ 1𝑘 = 1 − 𝑝 < 0

∀𝑝 ∈ ℕ ,

𝑘=0

𝑝−1


∀𝑝 ∈ ℕ ,

𝑝

𝜎𝑝 (𝑏) = 3 − ∑ 3𝑘
𝑘=0

La somme correspond à une série géométrie de raison 3 d’où :
1
3𝑝 1
𝜎𝑝 (𝑏) = 3𝑝 − (3𝑝 − 1) =
+ >0
2
2 2
Donc finalement d’après le théorème de Bolzano, il existe bien un réel 𝑐 dans [1,3] tel que 𝜎𝑝 (𝑐) = 0 quelque
soit l’entier naturel 𝑝. Toute fonction 𝜎𝑝 admet donc au minimum une racine positive.

Unicité de la racine positive
On cherche à prouver ici, que la racine positive de 𝜎𝑝 trouvée est unique. Commençons donc par écrire que :
𝑝−1


𝑝

∀𝑝 ∈ ℕ , ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝜎𝑝 (𝑥) = 𝑥 − ∑ 𝑥 𝑘
𝑘=0
𝑝−1

On écrit ∑𝑘=0 𝑥 𝑘 comme la somme des termes d’une suite géométrique de raison 𝑥, on a alors :
𝑝−1
𝑝

𝑥 − ∑ 𝑥 𝑘 si 𝑥 = 1
𝜎𝑝 (𝑥) =

𝑘=0
𝑝

𝑥 −1
𝑝
{ 𝑥 − 𝑥 − 1 sinon

De plus, on peut remarquer que si 𝑥 = 1 :
𝑝−1


𝑝

𝑝−1
𝑘

𝑝

∀𝑝 ∈ ℕ , 𝑥 − ∑ 𝑥 = 1 − ∑ 1𝑘 = 1 − 𝑝
𝑘=0

𝑘=0

D’où :
1 − 𝑝 si 𝑥 = 1
𝜎𝑝 (𝑥) = {𝑥 𝑝+1 − 2𝑥 𝑝 + 1
sinon
𝑥−1
1 n’est bien sûr pas racine de 𝜎𝑝 , en effet : 𝜎𝑝 (1) = 1 − 𝑝 ≠ 0
On se concentre alors sur l’équation :
𝑥 𝑝+1 − 2𝑥 𝑝 + 1
=0
𝑥−1
Pour cela nous allons étudier la fonction 𝜔𝑝 et montrer qu’elle a une unique racine :
∀𝑝 ≥ 2, ∀𝑥 ∈ ℝ,

𝜔𝑝 (𝑥) = 𝑥 𝑝+1 − 2𝑥 𝑝 + 1

On étudie alors 𝜔𝑝 en la dérivant :
∀𝑥 ∈ ℝ,
D’après cette formule,

𝑑𝜔𝑝
𝑑𝑥

𝑑𝜔𝑝
(𝑥) = (𝑝 + 1)𝑥 𝑝 − 2𝑝𝑥 𝑝−1 = 𝑥 𝑝−1 ((𝑝 + 1)𝑥 − 2𝑝)
𝑑𝑥

admet deux racines : 0 et

2𝑝
𝑝+1

Voici donc le tableau de variation de 𝜔𝑝 pour 𝑝 pair (le tableau pour 𝑝 impair est néanmoins identique sur
]0, +∞[ donc il s’agit du même cas) :

𝑥

−∞

0

𝑥 𝑝−1



(𝑝 + 1)𝑥 − 2𝑝



𝑑𝜔𝑝
𝑑𝑥

𝜔𝑝

+

0

+



0

2𝑝

1



+∞

𝑝+1

+

+



0

+



0

+

Maximum
Minimum

On étudie 𝜎𝑝 sur [0, +∞[ :
𝜎𝑝 (0) =

0−2×0+1
= −1
0−1

De plus, on a :
1<
Donc par la décroissance de 𝜎𝑝 sur [0,

2𝑝
𝑝+1

2𝑝
𝑝+1

], on a :

2𝑝
𝜎𝑝 (
) < 𝜎𝑝 (1) = 1 − 𝑝 < 0
𝑝+1
Donc le minimum de 𝜎𝑝 est négatif. Vu que 𝜎𝑝 est strictement croissante après et qu’on a prouvé qu’il
existait bien une racine positive à 𝜎𝑝 , alors cela prouve également l’unicité de cette racine.



Etude de la suite des nombres métalliques

Maintenant qu’est-prouvée l’existence d’une suite de nombres, solutions uniques des EMD𝑝, on va étudier
cette suite de nombres « métalliques » qu’on notera (𝛿𝑝 )𝑝≥2 .
Vocabulaire :
𝛿2 est le nombre d’or et vérifie : 𝛿22 − 𝛿2 − 1 = 0
𝛿3 est le nombre d’argent et vérifie : 𝛿33 − 𝛿32 − 𝛿3 − 1 = 0
𝛿4 est le nombre de bronze et vérifie : 𝛿44 − 𝛿43 − 𝛿42 − 𝛿4 − 1 = 0
On va démontrer ici que :
lim 𝛿𝑝 = 2

𝑝→+∞

Croissance de (𝜹𝒑 )

𝒑≥𝟐

On a par définition :
𝑝+1

{

𝜔𝑝 (𝛿𝑝 ) = 0 ⇔ 𝛿𝑝

𝑝+2

𝑝

𝑝

− 2𝛿𝑝 + 1 = 0 ⇔ 𝛿𝑝 (2 − 𝛿𝑝 ) = 1
𝑝+1

𝑝+1

𝜔𝑝+1 (𝛿𝑝+1 ) = 0 ⇔ 𝛿𝑝+1 − 2𝛿𝑝+1 + 1 = 0 ⇔ 𝛿𝑝+1 (2 − 𝛿𝑝+1 ) = 1

Or puisque ∀𝑝 ≥ 2, 𝛿𝑝+1 ≠ 0 on peut écrire que :
𝑝+1

𝑝

𝛿𝑝+1 (2 − 𝛿𝑝+1 ) = 1 ⇔ 𝛿𝑝+1 (2 − 𝛿𝑝+1 ) =

1
𝛿𝑝+1

Or, on a :
𝑝

𝜔𝑝 (𝛿𝑝+1 ) = 𝛿𝑝+1 𝑝+1 − 2𝛿𝑝+1 𝑝 + 1 = 𝛿𝑝+1 (𝛿𝑝+1 − 2) + 1
Donc :
𝜔𝑝 (𝛿𝑝+1 ) = 1 −
Or bien sûr 1 −

1

1
𝛿𝑝+1

> 0 donc :

𝛿𝑝+1

𝜔𝑝 (𝛿𝑝+1 ) > 𝜔𝑝 (𝛿𝑝 ) = 0
Par stricte croissance de 𝜔𝑝 sur ]

2𝑝
𝑝+1

, +∞[, on a : 𝛿𝑝+1 > 𝛿𝑝

Donc (𝛿𝑝 )𝑝≥2 est bien strictement croissante.

Convergence de (𝜹𝒑 )

𝒑≥𝟐

En invoquant à nouveau le théorème de Bolzano, on peut montrer que :
∀𝑝 ≥ 2, 𝛿𝑝 ∈ ]

2𝑝
, 2[
𝑝+1

En effet :
𝜎𝑝 (

2𝑝
𝑝+1

) < 0 et 𝜎𝑝 (2) = 1 > 0

Donc la suite des (𝛿𝑝 )𝑝≥2 est bien bornée. Puisqu’elle est bornée et strictement croissante alors elle converge
vers un réel 𝛽 inférieur ou égal à 2 (d’après le théorème de la limite monotone).
Or, comme on peut le voir :
𝛿𝑝 ∈ ]
Lorsque 𝑝 → +∞, on a :

2𝑝
𝑝+1

2𝑝
, 2[
𝑝+1

→ 2 . Ce qui prouve au final que :
lim 𝛿𝑝 = 2

𝑝→+∞

(en utilisant la définition de la limite)




Complément : Formule explicite d’approximation des nombres métalliques

Par la méthode de Newton-Raphson, on peut montrer que :
∀𝑝 ≥ 2, 𝛿𝑝 ≅ 2 −

2
2𝑝+1 − 𝑝

b) Propriétés arithmétiques du nombre d’or


Détermination analytique du nombre d’or

Comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, les équations de la forme :
𝑝−1
𝑝

𝑥 = ∑ 𝑥𝑘
𝑘=0

Admettent une unique solution positive.
Considérons EMD2 :
𝑥2 = 𝑥 + 1
Qu’on peut réécrire ainsi :
𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0
Il s’agit d’une équation du second degré qu’on peut résoudre :
Par complétion de carrés :
1 2 1
1 2 5
1 + √5
1 − √5
𝑥 2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 + ) − − 1 = (𝑥 + ) − = (𝑥 −
) (𝑥 −
)
2
4
2
4
2
2
L’équation se réécrit donc ainsi :
(𝑥 −

1 + √5
1 − √5
) (𝑥 −
)=0
2
2

Puisque on se place dans l’anneau intègre des réels, on a alors les deux solutions de l’équation :
1+√5
2

et

1−√5
2

.

Bien sûr,
1 + √5 1 − √5
>
2
2
Et comme il n’existe qu’une unique racine positive il ne peut s’agit que de

1+√5
2

.

Le « nombre d’or » qu’on notera Φ vaut donc :
Φ=

1 + √5
2




Propriétés théoriques et numériques du nombre d’or

Nombre algébrique
Le nombre d’or est bien évidemment un nombre algébrique puisqu’il est solution d’une équation
polynomiale à coefficient entiers (qu’on a résolu plus haut).
Nombre irrationnel
Le nombre d’or est un nombre irrationnel, cela signifie qu’on ne peut pas l’écrire sous la forme d’une fraction
de deux entiers relatifs.
En effet, supposons au contraire que Φ soit rationnel, alors ∃(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ∗ tel que
Φ=

a
b

Alors :
1 + √5 𝑎
2𝑎 − 𝑏
= ⇒ √5 =
2
𝑏
𝑏
Donc √5 serait un nombre rationnel ce qui est impossible car toute racine carrée d’un nombre entier qui
n’est pas un carrée parfait est forcément irrationnelle.

Ceci explique pourquoi il n’existe pas de développement décimal régulier dans le nombre d’or :
Φ ≈ 1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135
Néanmoins nous pouvons trouver quelques « approximations rationnelles » du nombre d’or comme par
exemple (nous verrons plus loin comment déterminer ces approximations rationnelles) :
Φ≈

21
13

On peut également noter que :
3

Φ ≈ √10 × (𝜋 − 𝑒)
Où 𝑒 désigne la constante de Neper.

Une approximation physique :
Φ≈

4 ℏ𝑐𝜋𝜀0
85 𝑒 2

Où ℏ, 𝑐, ℰ0 , 𝑒 désignent respectivement : la constante de Planck réduite, la vitesse de la lumière dans le vide,
la permittivité du vide et la charge élémentaire.



Propriétés algébriques du nombre d’or

Factorisation du nombre d’or
Le nombre d’or vérifie la formule :
Φ2 = Φ + 1
Il s’agit de l’unique nombre positif dont le carré vaut le nombre de départ plus 1.
De même on peut en déduire que :
Φ = Φ2 − 1 = (Φ − 1)(Φ + 1)
Il s’agit d’une factorisation remarquable du nombre d’or :
Φ = (Φ − 1)(Φ + 1)
De même, on peut en déduire une factorisation de 1 remarquable :
1 = (Φ − √Φ)(Φ + √Φ)

Relation entre carré et inverse
Le nombre d’or vérifie de même :
Φ = Φ2 − 1 ⇒ 1 = Φ −

1
Φ

Donc :
1
{Φ=1+Φ
Φ = Φ2 − 1
Ce qui permet d’écrire la relation carré-inverse :
Φ2 −

1
=2
Φ


Puissances du nombre d’or
Plus généralement puisque :
Φ2 = Φ + 1
Alors en multipliant par Φ les deux membres de l’égalité :
Φ3 = Φ2 + Φ
De même, par le même procédé :
Φ4 = Φ3 + Φ2
Plus généralement,
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, Φ𝑛 = Φ𝑛−1 − Φ𝑛−2
Ce qu’on peut montrer par récurrence sur 𝑛 :
Initialisation :
Pour 𝑛 = 2 on a bien :
Φ2 = Φ + 1
Hérédité :
Soit 𝑛 un entier naturel supérieur ou égal à 2 quelconque et fixé tel que pour ce 𝑛 là, la propriété soit vraie,
alors :
Φ𝑛 = Φ𝑛−1 − Φ𝑛−2
D’où en multipliant par Φ :
Φ𝑛+1 = Φ𝑛 − Φ𝑛−1
Donc l’hérédité est bien prouvée.


Autre formule irrationnelle pour le nombre d’or
Proposition :

Φ=√

1+√5
2

5+√5

et √

5−√5

5 + √5
5 − √5

sont deux nombres strictement positifs, ainsi on peut comparer leur carré :
2

2

5 + √5
5 + √5 (5 + √5)
25 10√5 5
3 √5
(√
) =
=
=
+
+
= +
20
20
20
20
2
2
5 − √5
5 − √5
Et :
2

1 + √5
1 + 2√5 + 5 3 √5
(
) =
= +
2
4
2
2
Donc ces deux nombres sont bien identiques.


2- Approche analytique du nombre d’or
a) Expression du nombre d’or à l’aide de racines imbriquées
Proposition :
On a vu plus haut que :
Φ2 = Φ + 1
Donc :

Φ = √1 + Φ = √1 + √1 + Φ = √1 + √1 + √1 + Φ = ⋯
On appelle cette expression : le développement de Φ en racines imbriquées. Et nous allons montrer que :

Φ = √1 + √1 + √1 + √1 + ⋯

Démonstration :
On considère la suite (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ telle que :
{

𝑢0 = 1
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+1 = √1 + 𝑢𝑛

Croissance
Cette suite est croissante, on le montre par récurrence sur 𝑛 :
Initialisation :
Pour 𝑛 = 0 :
𝑢0 = 1, 𝑢1 = √2
Donc on a bien :
𝑢1 > 𝑢0
Hérédité :
Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé tel que :
𝑢𝑛+1 > 𝑢𝑛

⟹ 𝑢𝑛+1 + 1 > 𝑢𝑛 + 1
Ici pour que la démonstration soit complète, il faut prouver que la suite est strictement positive (pour
pouvoir prendre la racine carrée), ce qui est assez trivial :
Lemme : positivité de la suite (𝒖𝒏 )𝒏∈ℕ :
On voit bien que 𝑢0 est positif et que quelque soit l’entier 𝑛, 𝑢𝑛 s’exprime comme une racine carrée et est
donc positif. (une démonstration rigoureuse nécessite de procéder par récurrence sur 𝑛)
Ainsi nous pouvons prendre la racine carrée des deux membres :
⟹ √𝑢𝑛+1 + 1 > √𝑢𝑛 + 1
Et donc :
𝑢𝑛+2 > 𝑢𝑛+1
Ce qui prouve finalement la croissance de (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ .

Majoration
Nous allons montrer que la suite est majorée par Φ , procédons par récurrence sur 𝑛 encore une fois :
Initialisation :
Pour 𝑛 = 0 on a bien évidemment que 𝑢0 = 1 < Φ
Hérédité :
Soit 𝑛 un entier naturel non nul fixé pour lequel on a :
𝑢𝑛 < Φ
Alors :
√𝑢𝑛 + 1 < √Φ + 1
Or d’après les propriétés de Φ vues plus haut, on a :
√Φ + 1 = Φ
D’où :
√𝑢𝑛 + 1 < Φ
Finalement, on a bien montré par récurrence que Φ était un majorant de (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ .

Convergence
(𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ est croissante et majorée par Φ donc (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ converge et donc ∃𝛽 ∈ ℝ , 𝛽 ≤ Φ tel que :
lim 𝑢 = 𝛽
+∞

On détermine 𝛽 par passage à la limite dans l’égalité :
𝑢𝑛+1 = √𝑢𝑛 + 1
Ce qui donne :
lim 𝑢𝑛+1 = lim (√𝑢𝑛 + 1)

𝑛→+∞

𝑛→+∞

D’où :
𝛽 = √𝛽 + 1
Puisque 𝛽 est positif (car la suite est positive) alors forcément 𝛽 vérifie :
𝛽2 = 𝛽 + 1

Or, on sait bien que cette équation n’admet qu’une unique solution positive qui n’est d’autre que Φ, d’où
nécessairement : 𝛽 = Φ.
Finalement :
lim 𝑢 = Φ
+∞

Ce qui signifie que :

Φ = √1 + √1 + √1 + √1 + ⋯



Complément : Algorithme de Φ et approximations irrationnelles

A partir de cette formule on peut déterminer un algorithme qui donne la valeur de Φ au bout d’un certain
nombre d’itérations :
Entrer 𝑛
𝐴𝑝𝑝𝑛 (Φ) prend la valeur 1
Pour 𝑘 allant de 1 à 𝑛 :
𝐴𝑝𝑝𝑛 (Φ) prend la valeur √1 + 𝐴𝑝𝑝𝑛 (Φ)
Fin pour
Afficher 𝐴𝑝𝑝𝑛 (Φ)
En Python :
def 𝐴𝑝𝑝Φ (n) :
A=1
For k in range(1,n,1) :
A = (A + 1)**(0.5)
Return A
Approximations irrationnelles de Φ :
On arrête l’algorithme à un certain rang 𝑛 raisonnable (petit) :

Φ ≅ 1 + √1 + √1 + √1 + √1 + √2


b) Expression du nombre d’or en fractions continues
Proposition :
On a vu plus haut que :
Φ= 1+

1
Φ

Donc :
Φ=1+

1
1+

1
Φ

1

= 1+

1

1+

1+

1

=1+
1
Φ

=⋯

1

1+
1+

1
1+

1
Φ

De même, cette expression est le développement de Φ en fractions continues. Et nous allons montrer que :
1

Φ= 1+

1

1+

1

1+
1+

1
1+⋯

Démonstration :
On considère la suite (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ telle que :
𝑣0 = 1
{

∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑣𝑛+1 =

1
1 + 𝑣𝑛

On s’intéresse aux suites extraites paires et impaires de (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ :
(𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ désigne la sous-suite des termes de rangs pairs.
(𝜔𝑛 )𝑛∈ℕ désigne la sous-suite des termes de rangs impairs.
On a bien sûr (voir annexe pour dem) : si (𝜔𝑛 )𝑛∈ℕ et (𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ convergent vers une même limite 𝑙 alors :
lim 𝑣 = 𝑙
+∞

Nous allons nous servir de cette propriété pour démontrer la proposition.
Etude d’une fonction
Soit 𝜇, la fonction suivante (de classe 𝒞 ∞ ) :
∀𝑥 ∈ [1,2], 𝜇(𝑥) = 1 +
Sa dérivée a pour expression sur [1,2] :
𝜇 ′ (𝑥) = −

1
<0
𝑥2

1
𝑥

Donc 𝜇 est strictement décroissante sur [1,2].
1

De plus, 𝜇 est minorée par 𝜇(2) = 1 + et 𝜇 est majorée par 𝜇(1) = 2.
2

Croissance de (𝒘𝒏 )𝒏∈ℕ
On a :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑤𝑛+1 = 𝑣2𝑛+2 = 1 +

1
𝑣2𝑛+1

1

=1+

1+

1
𝑣2𝑛

=1+

1
𝑣2𝑛
𝑤𝑛
=1+
=1+
𝑣2𝑛 + 1
𝑣2𝑛 + 1
𝑤𝑛 + 1
𝑣2𝑛

On admettra pour la suite que (𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ prend bien ses valeurs dans [1,2] (c’est « visuellement » évident mais
on peut le démontrer rigoureusement par récurrence).
On va montrer que (𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ est croissante. Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété 𝒟(n) ∶
"𝑤𝑛+1 ≥ 𝑤𝑛 " pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 0, on a
𝑤1 = 1 +

1
⇒ 𝑤1 ≥ 𝑤0
2

Donc la propriété est vérifiée au rang 0
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que 𝒟(n) est vraie et montrons que cela
implique que 𝒟(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :
𝑤𝑛+1 > 𝑤𝑛
⇒ 𝜇(𝑤𝑛+1 ) < 𝜇(𝑤𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(𝑤𝑛+1 )) > 𝜇(𝜇(𝑤𝑛 ))
⇒ 𝑤𝑛+2 > 𝑤𝑛+1

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : 𝒟(n) ⇒ 𝒟(n + 1).
La suite (𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ est donc strictement croissante.
Majoration de (𝒘𝒏 )𝒏∈ℕ
On va montrer que (𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ est majorée par 2 . Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété
𝒯(n) ∶ "𝑤𝑛 ≤ 2" pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 0, on a
𝑤0 = 1 ⇒ 2 ≥ 𝑤0

Donc la propriété est vérifiée au rang 0
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que 𝒯(n) est vraie et montrons que cela
implique que 𝒯(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :
2 ≥ 𝑤𝑛
⇒ 𝜇(2) < 𝜇(𝑤𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(2)) > 𝜇(𝜇(𝑤𝑛 ))
3
⇒ 𝜇 ( ) > 𝑤𝑛+1
2
⇒2>1+

2
> 𝑤𝑛+1
3

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : 𝒯(n) ⇒ 𝒯(n + 1).
La suite (𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ est donc bien majorée par 2.
Convergence de (𝒘𝒏 )𝒏∈ℕ
(𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ est strictement croissante et est majorée par 2 donc elle converge (d’après le théorème de la limite
monotone). On note 𝐿 sa limite qui est inférieure à 2, on a alors :
lim 𝑤𝑛 = 𝐿

𝑛→+∞

Et
lim 𝑤𝑛+1 = lim (1 +

𝑛→+∞

𝑛→+∞

𝑤𝑛
𝐿
)= 1+
𝑤𝑛 + 1
𝐿+1

Or,
lim 𝑤𝑛+1 = lim 𝑤𝑛 = 𝐿

𝑛→+∞

𝑛→+∞

D’où :
1+

𝐿
=𝐿
𝐿+1

⇔ 𝐿 + 1 + 𝐿 − 𝐿(𝐿 + 1) = 0
⇔ −𝐿2 + 𝐿 + 1 = 0
⇔ 𝐿2 − 𝐿 − 1 = 0
On a déjà résolu cette équation plus haut, on sait que les solutions sont :
1−√5
2

et

1+√5
2

. 𝐿 est évidemment positif (car la suite (𝑤𝑛 )𝑛∈ℕ est positive et que donc elle converge vers une

limite positive). Donc :
𝐿=

1 + √5
2

Décroissance de (𝝎𝒏 )𝒏∈ℕ
On a :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝜔𝑛+1 = 𝑣2𝑛+1 = 1 +

1
1
1
𝑣2𝑛−1
𝜔𝑛
=1+
=1+
=1+
= 1+
1
𝑣
+
1
𝑣2𝑛
𝑣2𝑛−1 + 1
𝜔𝑛 + 1
2𝑛−1
1+
𝑣2𝑛−1
𝑣2𝑛−1

On admettra également pour la suite que(𝜔𝑛 )𝑛∈ℕ prend bien ses valeurs dans [1,2] (c’est « visuellement »
évident mais on peut le démontrer rigoureusement par récurrence).
Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété ℒ(n) ∶ "𝜔𝑛+1 ≤ 𝜔𝑛 " pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 1, on a
𝜔2 = 1 +

1
⇒ 𝜔2 ≤ 𝜔1
2

Donc la propriété est vérifiée au rang 1
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que ℒ(n) est vraie et montrons que cela
implique que ℒ(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :

𝜔𝑛+1 ≤ 𝜔𝑛
⇒ 𝜇(𝜔𝑛+1 ) ≥ 𝜇(𝜔𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(𝜔𝑛+1 )) ≤ 𝜇(𝜇(𝜔𝑛 ))
⇒ 𝜔𝑛+2 < 𝜔𝑛+1

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : ℒ(n) ⇒ ℒ(n + 1).
Finalement la suite (𝜔𝑛 )𝑛∈ℕ est strictement décroissante.
Minoration de (𝝎𝒏 )𝒏∈ℕ
Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété ℋ(n) ∶ "ωn ≥ 2" pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 1, on a
𝜔1 = 1 ⇒ 1 ≤ 𝜔1
Donc la propriété est vérifiée au rang 1
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que ℋ(n) est vraie et montrons que cela
implique que ℋ(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :
1 ≤ 𝜔𝑛
⇒ 𝜇(1) ≥ 𝜇(𝜔𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(1)) ≤ 𝜇(𝜇(𝜔𝑛 ))
⇒ 𝜇(2) ≤ 𝜔𝑛+1
⇒1<1+

1
≤ 𝜔𝑛+1
2

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : ℋ(n) ⇒ ℋ(n + 1).
Donc, la suite (𝜔𝑛 )𝑛∈ℕ est minorée par 1.
Convergence de (𝝎𝒏 )𝒏∈ℕ
(𝜔𝑛 )𝑛∈ℕ est décroissante et est minorée par 1 donc elle converge. On note 𝐿′ sa limite qui est supérieure
à 1, on a alors :
lim 𝜔𝑛 = 𝐿′

𝑛→+∞

Et
lim 𝜔𝑛+1 = lim (1 +

𝑛→+∞

𝑛→+∞

𝜔𝑛
𝐿′
)=1+
𝜔𝑛 + 1
𝐿′ + 1

Or,
lim 𝜔𝑛+1 = lim 𝜔𝑛 = 𝐿′

𝑛→+∞

𝑛→+∞

D’où :
1+

𝐿′
= 𝐿′
𝐿′ + 1

⇔ 𝐿′ + 1 + 𝐿′ − 𝐿′(𝐿′ + 1) = 0
⇔ −𝐿′2 + 𝐿′ + 1 = 0
⇔ 𝐿′2 − 𝐿′ − 1 = 0
On a déjà résolu cette équation plus haut, on sait que les solutions sont :
1−√5
2

et

1+√5
2

. 𝐿 est évidemment positif (car la suite(𝜔𝑛 )𝑛∈ℕ est positive et que donc elle converge vers une

limite positive). Donc :
𝐿′ =

1 + √5
2

Convergence de (𝒗𝒏 )𝒏∈ℕ
On a prouvé que la suite des termes pairs de (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ à savoir (𝑤𝑛 ) et la suite des termes impairs de (𝑣𝑛 ) à
savoir (𝜔𝑛 ) avaient la même limite à savoir : 𝐿 = 𝐿′ =

1+√5
2

.

Donc (𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ converge vers cette limite. Et on a donc :
lim 𝑣𝑛 =

𝑛→+∞

1 + √5
2

Et donc finalement :
1

Φ= 1+

1

1+

1

1+
1+

1
1+⋯




Complément : Algorithme de Φ et approximations rationnelles

A partir de cette formule on peut déterminer un algorithme qui donne la valeur de Φ au bout d’un certain
nombre d’itérations :
Entrer 𝑛
𝐴𝑝𝑝𝑅𝑛 (Φ) prend la valeur 1
Pour 𝑘 allant de 1 à 𝑛 :
𝐴𝑝𝑝𝑅𝑛 (Φ) prend la valeur 1 +
Fin pour
Afficher 𝐴𝑝𝑝𝑅𝑛 (Φ)

1
𝐴𝑝𝑝𝑅𝑛(Φ)

En Python :
def 𝐴𝑝𝑝𝑅Φ (n) :
A=1
For k in range(1,n,1) :
A = 1 + 1/A
Return A
Approximations rationnelles de Φ :
On arrête l’algorithme à un certain rang 𝑛 raisonnable (petit) :
1

Φ≅ 1+

=

1

1+
1+

1
1+

8
5

1
1

Remarque : C’est grâce à cette formule qu’on peut donner des approximations rationnelles du nombre d’or.
c)

Généralisation des propositions précédentes

Ici, nous allons montrer que plus généralement :

∀𝜒 ∈ ℕ∗ ,

1 + √4𝜒 + 1
=𝜒+
2
𝜒+

1
1
𝜒+

1
𝜒+⋯

= √𝜒 + √𝜒 + √𝜒 + √𝜒 + ⋯



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