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Existence d’une racine positive
Nous allons utiliser le théorème de Bolzano afin de montrer l’existence de cette racine positive, il énonce
que :
Théorème de Bolzano: Soient 𝑎,𝑏 ∈ ℝ
Soit 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ une fonction continue.
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 ⇒ ∃𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) = 0

Nous avions remarqué que la racine positive d’une équation métallique semblait être inférieure à 2 tout en se
rapprochant de 2, ainsi, on peut prendre pour 𝑎 et 𝑏, raisonnablement :
𝑎=1
{
𝑏=3
Ce qui donne alors :
𝑝−1


𝑝

𝜎𝑝 (𝑎) = 1 − ∑ 1𝑘 = 1 − 𝑝 < 0

∀𝑝 ∈ ℕ ,

𝑘=0

𝑝−1


∀𝑝 ∈ ℕ ,

𝑝

𝜎𝑝 (𝑏) = 3 − ∑ 3𝑘
𝑘=0

La somme correspond à une série géométrie de raison 3 d’où :
1
3𝑝 1
𝜎𝑝 (𝑏) = 3𝑝 − (3𝑝 − 1) =
+ >0
2
2 2
Donc finalement d’après le théorème de Bolzano, il existe bien un réel 𝑐 dans [1,3] tel que 𝜎𝑝 (𝑐) = 0 quelque
soit l’entier naturel 𝑝. Toute fonction 𝜎𝑝 admet donc au minimum une racine positive.

Unicité de la racine positive
On cherche à prouver ici, que la racine positive de 𝜎𝑝 trouvée est unique. Commençons donc par écrire que :
𝑝−1


𝑝

∀𝑝 ∈ ℕ , ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝜎𝑝 (𝑥) = 𝑥 − ∑ 𝑥 𝑘
𝑘=0
𝑝−1

On écrit ∑𝑘=0 𝑥 𝑘 comme la somme des termes d’une suite géométrique de raison 𝑥, on a alors :
𝑝−1
𝑝

𝑥 − ∑ 𝑥 𝑘 si 𝑥 = 1
𝜎𝑝 (𝑥) =

𝑘=0
𝑝

𝑥 −1
𝑝
{ 𝑥 − 𝑥 − 1 sinon