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Soit donc ϕ une fonction de Musielak-Orlicz , i.e.
ϕ : R × R+ −→ R+ est telle que :
1. ∀t ∈ R, ϕ(t, .) est convexe sur R+ .
2. ∀x ∈ R+ , ϕ(., x) est Lebesgue mesurable sur R et ∀t ∈ R, ϕ(t, x) = 0
ssi x = 0.
On suppose de plus que ϕ v´erifie les deux conditions suivantes :
3. ϕ(., .) est continue sur R × R+ .
4. ∀x ∈ R+ , ϕ(., x) est p´eriodique de p´eriode T ind´ependante de x (on
peut supposer T = 1).
Soit maintenant M(R, C) = M l’ensemble de toutes les fonctions Lebesgue
mesurables sur R `a valeurs dans C.
La fonctionnelle
ρϕ : M −→ [0, +∞]
1
f −→ ρϕ (f ) = lim
T →+∞ 2T

Z

+T

ϕ(t, |f (t)|)dt = M [ϕ(., |f (.)|)].
−T

est une pseudo modulaire convexe sur M (voir [6]).
L’espace modulaire associ´e :
B ϕ = {f ∈ M : lim ρϕ (αf ) = 0},
α→0

= {f ∈ M : ρϕ (λf ) < +∞, pour un λ > 0},
est appel´e espace de Besicovitch-Musielak-Orlicz.
Cet espace est naturellement muni de la norme de Luxemburg :



f
kf kϕ = inf k > 0, ρϕ
≤1 .
k
Soit A l’ensemble de tous les polynˆomes trigonom´etriques g´en´eralis´es, i.e.,

A = {Pn (t) =

j=n
X
j=1

aj eiλj t , aj ∈ C, λj ∈ R, n ∈ N}.