Thèse Sghir Aissa 2014 .pdf



Nom original: Thèse_ Sghir_ Aissa_ 2014.pdf

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Université Mohammed Premier

‫جـــامعة محــمد األول‬

Faculté des Sciences Oujda

‫كلــية العلـــوم وجدة‬

‫م ــركز دراســات الدكتـوراه عل ــوم و تقني ــات‬
Centre d’Etudes Doctorales Sciences et Techniques

THÈSE
Pour l'obtention du grade de:
DOCTEUR EN SCIENCES
Formation Doctorale:
Spécialité: Probabilités
Présentée et soutenue par:
Aissa Sghir

Théorèmes limites et stabilité en loi pour certaines
fonctionnelles additives d'une classe de processus
auto-similaires
Le 23 avril devant le jury:
Mr. A. Boutayeb

Professeur, Faculté des Sciences - Oujda

Président

Mr. N. Rhomari

Professeur, Faculté des Sciences - Oujda

Rapporteur

Mr. M. Eddahbi

Professeur, Faculté des Sciences et Techniques - Marrakech

Rapporteur

Mr. J. Vives

Professeur, Université de Barcelone

Rapporteur

Mr. Y. Ouknine

Professeur, Faculté des Sciences Semlalia - Marrakech

Examinateur

Mr. A. Kissami

Professeur, Faculté des Sciences - Oujda

Directeur de Thèse

Mr. M. Ait Ouahra

Professeur Habilité, Faculté Pluridisciplinaire - Nador

Co-directeur de Thèse

Remerciements
Je tiens tout d’abord `a remercier mon directeur de th`ese Monsieur A. Kissami
et mon co-directeur de th`ese Monsieur M. Ait Ouahra qui ont accept´e d’encadrer
ma th`ese. Le fait qu’il m’aient accord´e leur confiance a ´et´e pour moi, bien sˆ
ur, un
grand honneur ainsi qu’un moteur au tout d´ebut de mes travaux. Leur encadrement
tout au long de ma th`ese a surpass´e toutes les attentes que j’avais en tant que nouveau doctorant. Ils ont toujours veill´e `a ce que je participe a` des conf´erences, que
je fasse des expos´es r´eguli`erement, et que je rencontre d’autres math´ematiciens. Ils
m’ont donc aid´e et ´epaul´e au-del`a de ce qu’`a mon avis, on peut attendre d’un directeur et co-directeur de th`ese. Leur disponibilit´e, leur patience et leur gentillesse ont
rendu ces cinq ann´ees pass´ees ensemble aussi stimulantes qu’agr´eables. Il est certain
que je m’en souviendrai avec beaucoup de nostalgie. Je leur adresse mes remerciements les plus sinc`eres.
Je remercie tr`es chaleureusement les professeurs N. Rhomari, M. Eddahbi et
J. Vives qui ont rapport´e cette th`ese, pour leurs nombreuses suggestions constructives. Je leur suis tr`es reconnaissant du temps qu’ils ont accord´e a` l’expertise de ce
travail.
Mes remerciements s’adressent aussi aux professeurs A. Boutayeb et Y. Ouknine pour l’int´erˆet qu’ils ont accord´e `a mon travail et pour m’avoir fait l’honneur
de participer au jury.
Je remercie mes chers professeurs et amis doctorants du Laboratoire de Mod´elisation Stochastique et D´eterministe a` Oujda pour leur aide de tous les jours. Je leur
t´emoigne ma profonde sympathie.
Je remercie enfin ma famille et tous mes amis pour le soutien qu’ils m’ont apport´e
durant toutes mes ann´ees d’´etudes.

D´edicace :
` mes parents, `a mes fr`eres et soeurs,
A
modeste t´emoignage de ma tr`es grande gratitude.

Table des mati`
eres
1 Introduction

7

2 Pr´
eliminaires et notations
2.1 Processus stable sym´etrique (α-PSS) . . . . . . . . . . . .
2.2 Mouvement Brownien fractionnaire (mBf) . . . . . . . . .
2.3 Mouvement Brownien bifractionnaire (mBbf) . . . . . . . .
2.4 Mouvement Brownien sous-fractionnaire (mBsf) . . . . . .
2.5 D´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee et transform´ee de Hilbert
2.6 Espaces de Besov-Orlicz et espaces de Besov standards . .
2.7 Espaces de Besov anisotropiques . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
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.
.
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.
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.
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.
.
.
.

16
16
18
18
19
20
23
26

3 Certaines r´
egularit´
es dans les espaces de type Besov
29
3.1 R´egularit´es dans les espaces de Besov-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 R´egularit´es dans les espaces de Besov standards . . . . . . . . . . . . 33
3.3 R´egularit´es dans les espaces de Besov anisotropiques . . . . . . . . . 37
4 Certains th´
eor`
emes limites dans les espaces de type Besov
4.1 Th´eor`emes limites dans les espaces de Besov-Orlicz . . . . . . . . . .
4.1.1 Tension dans les espaces de Besov-Orlicz . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Probl`emes du temps d’occupation associ´es aux α-PSS et mBf
4.1.3 Principe d’invariance de Donsker . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Convergence faible vers le mBf dans les espaces de Besov standards .
4.3 Convergence faible vers le drap Brownien fractionnaire dans les espaces de Besov anisotropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
41
41
44
50
53
54

5 Approximation forte de certaines fonctionnelles additives associ´
ees
aux α-PSS et mBf
56
p
5.1 Approximation forte dans L (Cas α-PSS et mBf) . . . . . . . . . . 56
5.2 Approximation presque sˆ
ure (Cas α-PSS) . . . . . . . . . . . . . . . 60
6

Continuit´
e en loi
aux mBbf et mBsf
6.1 Cas du mBbf .
6.2 Cas du mBsf .

de certaines fonctionnelles additives associ´
ees
suivant leurs param`
etres
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

`
TABLE DES MATIERES
`
FICHE PRESENTATIVE DE LA THESE
Nom et Pr´
enom de l’auteur: Sghir Aissa
Intitul´
e du travail: Th´eor`emes limites et stabilit´e en loi pour certaines fonctionnelles additives d’une classe de processus auto-similaires.
Directeur de th`
ese:
Nom, Pr´
enom et grade: Kissami Abdelghani, Professeur de l’Enseignement Sup´erieur `a la Facult´e des Sciences Oujda.
Co-directeur de th`
ese:
Nom, Pr´
enom et grade: Ait Ouahra Mohamed, Professeur Habilit´e a` la Facult´e
Pluridisciplinaire de Nador.
Laboratoire et institution:
Laboratoire de Mod´elisation Stochastique et D´eterministe et URAC 04. Facult´e des
Sciences Oujda. B.P. 717.
Lieux de r´
ealisation des travaux: Laboratoire de Mod´elisation Stochastique et
D´eterministe. Facult´e des Sciences Oujda. B.P. 717.
Le travail de cette th`ese a fait l’objet des publications et communications suivantes.
Publications:
1. M. Ait Ouahra, A. Kissami et A. Sghir (2011). Un crit`ere de tension dans les
espaces de Besov-Orlicz et applications au probl`eme du temps d’occupations.
Ann. Math. Blaise. Pascal. Vol. 18 no. 2, p. 301-321.
2. M. Ait Ouahra, A. Kissami et A. Sghir (2012). Un principe d’invariance de
type Donsker dans une classe d’espaces de Besov-Orlicz. Ann. Math. Blaise.
Pascal. Vol. 19 no. 1, p. 263-269.
3. H. Ouahhabi and A. Sghir (2012). Regularities and limit theorems of some
additive functionals of symmetric stable process in some anisotropic Besov
spaces. Portugal. Math. (N.S.) Vol. 69, Fasc. 4, p. 321–339.
4. M. Ait Ouahra, A. Kissami and A. Sghir (2012). Limit theorems for a class
of additive functionals of symmetric stable process and fractional Brownian
motion in Besov-Orlicz spaces. Journal of Mathematics and Statistics. 8 (4),
p. 506-516.
5. M. Ait Ouahra, A. Kissami and A. Sghir. Strong approximation of some
additive functionals of symmetric stable processes. Sous presse MIA.

5

`
TABLE DES MATIERES
6. M. Ait Ouahra and A. Sghir. On the sub-fractional Brownian motion. Soumis.
7. M. Ait Ouahra, H. Ouahhabi and A. Sghir. Continuity in law of some additive functionals of the bifractional Brownian motion. Soumis.
Communications:
1. A. Sghir, (en collaboration avec M. Ait Ouahra et A. Kissami). Limit theorems for a class of additive functionals of symmetric stable process and fractional Brownian motion in Besov-Orlicz spaces. (1-18 D´ecembre 2010). Autumn
School on stochastic Control problems for FBSDEs and applications (Marrakech).
2. A. Sghir, (en collaboration avec M. Ait Ouahra). Continuity in law of some
additives functional of sub-fractional Brownian motion. (15-17 Decembre
2011). Journ´ees de probabilit´es et Statistique (Marrakech).
3. A. Sghir, (en collaboration avec M. Ait Ouahra). On the sub-fractional
Brownian motion. (27 Avril 2011). Journ´ee Nationale: Statistique et applications (Oujda).
4. A. Sghir, (en collaboration avec M. Ait Ouahra et A. Kissami). Strong
approximation of some additive functionals of symmetric stable processes.
(10-13 Septembre 2012). 3 `eme conf´erence internationale de la SM2A (Marrakech).
5. A. Sghir, (en collaboration avec M. Ait Ouahra et H. Ouahhabi). Continuity
in law of some additive functionals of the bifractional Brownian motion. (4-6
Juin 2012). JIASTA-2012 (Oujda).

6

Chapitre 1
Introduction
Dans la litt´erature de la th´eorie des processus stochastiques, l’espace des fonctions
continues C([0, 1]) ou C(R) est le cadre fonctionnel usuel des th´eor`emes limites.
L’´etude de la convergence faible dans ces espaces se fait en deux ´etapes:
• La convergence des lois fini-dimensionnelles,
• La relative compacit´e des lois des processus.
La premi`ere condition permet d’identifier la limite, tandis que la deuxi`eme condition
assure la convergence des lois des processus. Dans le cas o`
u l’espace est s´eparable
complet, une condition n´ecessaire et suffisante pour ´etablir la relative compacit´e est
la tension des lois des processus. Ce r´esultat est dˆ
u a Prohorov, (voir Billingsley [17]).
Rappelons qu’une famille F des mesures de probabilit´es dans un espace m´etrique
(S, B(S)) est dite tendue si pour tout ε > 0, il existe un compact K ⊆ S tel que
P (K) ≥ 1 − ε, pour toute probabilit´e P ∈ F.
Nous ´etudierons par la suite le cas o`
u S appartient `a une classe des espaces
de type Besov. Ces espaces sont d´efinis a` partir du module de continuit´e, qui est
une notion plus faible que la d´erivabilit´e, donc permet a` ces espaces d’ˆetre peu
contraignants quant a` la r´egularit´e des fonctions. De plus, la caract´erisation des
espaces de type Besov par le comportement des coefficients de la d´ecomposition sur
une base d’ondelettes, a facilit´e l’introduction de ces espaces dans la th´eorie des
probabilit´es et de la statistique, (voir par exemple Ciesielski et al. [33]).
L’objectif de la premi`ere partie de cette th`ese est d’´etablir un crit`ere de tension
dans les espaces de Besov-Orlicz afin d’´etendre des r´esultats de convergence faible
dans ces espaces. Pour les espaces de Besov standards et Besov anisotropiques, nous
avons utilis´e respectivement les crit`eres de tension donn´es par Ait Ouahra et al. [2]
et Boufoussi et Lakhel [25].
Nous citons comme exemples des th´eor`emes limites ´etudi´es dans l’espace des
fonctions continues, ceux de Papanicolaou et al. [69] pour le mouvement Brownien,
(not´e mB). Ils ont d´emontr´e deux types de r´esultats. Le premier r´esultat est le
th´eor`eme limite du premier ordre: Soit
Bt un mB et f une fonction mesurable born´ee
R +∞
¯
sur R et a` support compact. Si f = −∞ f (x)dx 6= 0, alors la suite des processus,
1

λ

Z

λt

f (Bs )ds,
0

7

Chapitre 1. Introduction
converge en loi, quand λ → +∞, dans l’espace des fonctions continues, vers le
processus f¯l(t, 0), o`
u l(t, 0) est le temps local Brownien au point x = 0.
En se basant sur une in´egalit´e de Barlow et Yor [14], Csaki et al. [35] ont donn´e une
version presque sˆ
ure de l’approximation forte de ce th´eor`eme limite:
Z t
1
(∗)
f (Bs )ds = f¯l(t, 0) + o(t 2 −ε ),
0

R

avec |x|k f (x)dx < ∞ pour un certain k > 0. Comme application, en utilisant la
loi du logarithme it´er´e, (not´e LIL), obtenue par Kesten [54] pour l(t, 0), on obtient
presque sˆ
urement,
Rt

f (Bs )ds
l(t, 0)
¯
¯ 2.
lim sup 1 0
1 = f lim sup
1
1 = f
t→+∞ t 2 (log log t) 2
t→+∞ t 2 (log log t) 2
Le th´eor`eme limite du premier ordre a ´et´e prouv´e pour le mouvement Brownien
fractionnaire B H de param`etre de Hurst 0 < H < 1, (not´e mBf, H = 12 pour mB),
par Kasahara et Kosugi [52]: la suite des processus,
Z λt
1
f (BsH )ds,
λ1−H 0
converge en loi, quand λ → +∞, dans l’espace des fonctions continues, vers le
processus f¯L(t, 0), o`
u L(t, 0) est le temps local du mBf au point x = 0 et f ∈ L1 . Il
serait int´eressant de montrer une estimation de type (∗) pour le mBf. Par cons´equent,
le r´esultat de Chen et al. [31] concernant la LIL de L(t, 0), donnera l’estimation
suivante:
Rt
f (BsH )ds
L(t, 0)
0
¯ lim sup
=
f
= f¯θ(H)−H
p.s.
lim sup 1−H
H
1−H
H
(log log t)
(log log t)
t→+∞ t
t→+∞ t
avec

1
2H
2
1
πCH
θ0 (H) ≤ θ(H) ≤ (2π) 2H θ0 (H),
(∗∗)
H
1

− 1


1 2
(1 − H)1−H H
H
, CH = 2π2 β 1 − H, H +
θ0 (H) = H
,
Γ(1 − H)
2
R1
et β(p, q) = 0 xp−1 (1 − x)q−1 dx pour p, q > 0.
Le seul cas o`
u on a ´egalit´e dans (∗∗) est celui du mB, (H = 12 ).



Le deuxi`eme r´esultat
de Papanicolaou et al. [69] est le th´eor`eme limite du
R +∞
¯
deuxi`eme ordre: Si f = −∞ f (x)dx = 0, alors la suite des processus,
Z λt
1
f (Bs )ds,
1
λ4 0
converge en
√ loi, quand λ → +∞, dans l’espace des fonctions continues, vers le
˜l(t,0) , o`
˜t est un autre mB ind´ependant du mB Bt et
processus < f, f >B
uB
2
Z +∞ Z x
< f, f >= 2
f (u)du dx.
−∞

−∞

8

Chapitre 1. Introduction
Ce dernier r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e par Rosen [70] au cas du processus stable sym´etrique X α d’indice 1 < α ≤ 2, (not´e α-PSS, α = 2 pour mB): la suite des processus,
Z λt
1
f (Xsα )ds,
α−1
λ 2α 0
p
˜L(t,0) , o`
˜t est
uB
converge en loi, quand λ → +∞, vers le processus 2c < f, f >α−1 B
α
un mB ind´ependant de Xt , L(t, 0) est le temps local du processus α-PSS au point
x = 0,
Z
Z
+∞

+∞

f (x)|x − y|α−1 f (y)dxdy,
−∞
−∞

Z +∞
ds
1
c=
p1 (0) − p1
1
1 ,


0
et pt la densit´e de probabilit´e de transition du α-PSS.
R´ecemment Nualart et al. [67] ont ´etendu le r´esultat pr´ec´edent au cas du mBf: Si
< f, f >α−1 = −

1
2

1

≤ H < 1 et f ∈ H0H

−1

, alors la suite des processus,
Z λt
1
f (BsH )ds,
1−H
λ 2 0
q
˜L(t,0) , o`
˜t est un
converge en loi, quand λ → +∞, vers le processus cH kf k 1 −1 B
uB
H

mB ind´ependant du mBf BtH , L(t, 0) est le temps local du mBf au point x = 0 et


Z +∞
1
1
−1
−1
1
H
¯
H0
:= f ∈ L (R) :
|f (x)||x| H dx < ∞ et f = 0 ,
−∞



1
3H − 1
21− 2H
√ Γ
kf k 1 −1 =< f, f > 1 −1 , cH =
.
H
H
2H
(1 − H) π
Dans la litt´erature, ils existent d’autres th´eor`emes limites qui ne rentrent pas
dans le cadre pr´ec´edent. Supposons maintenant que f est une d´eriv´ee fractionnaire,
(voir chapitre 2), d’une certaine fonction g, i.e., f = Dγ g, γ ∈ (0, 1), alors,
Z
Z
¯
f=
f (x)dx =
Dγ g(x)dx = 0.
R

Si de plus

R
R

R

g(x)dx 6= 0, alors,
< f, f >=< Dγ g, Dγ g >= +∞.

Cette d´eriv´ee fractionnaire est apparue dans Yamada [85] pour ´etudier, dans l’espace des fonctions continues, les th´eor`emes limites pour les mesures d’occupations
associ´ees au mB. i.e., les processus de la forme:
Z λt
1
f (Bs )ds,
u(λ) 0
γ
o`
u u est une certaine fonction de λ, f = D±
g et g ∈ C δ , l’espace de H¨older d’ordre
0 < δ < 1, est une fonction `a support compact. D’une part, le r´esultat de Yamada [85]
a ´et´e g´en´eralis´e, dans l’espace des fonctions continues, par Fitzsimmons et Getoor
[42] pour le α-PSS et Shieh [75] pour le mBf. Par exemple, Fitzsimmons et Getoor
[42] ont d´emontr´e les r´esultats suivants:

9

Chapitre 1. Introduction
γ
et f = D+
g, o`
u g ∈ C δ est une fonction `a support
• Soit 0 < γ < δ < α−1
2
compact. Alors, la suite des processus,
Z λt
1
f (Xsα )ds,
γ
α−1

λ α α 0
γ
converge en loi, quand λ → +∞, vers le processus g¯D−
L(t, .)(0), o`
u L(t, x)
est le temps local du α-PSS.
0
• Soit δ > 0 et f = D+
g , o`
u g ∈ C δ est une fonction a` support compact. Alors,
la suite des processus,
Z λt
1
f (Xsα )ds,
α−1
λ α log(λ) 0

converge en loi, quand λ → +∞, vers le processus −α−1 g¯L(t, 0), et la suite
des processus,
Z λt
1
(f (Xsα ) + α−1 log(λ)g(Xsα ))ds,
α−1
λ α 0
0
converge en loi, quand λ → +∞, vers le processus g¯D−
L(t, .)(0).

D’autre part, une version presque sˆ
ure du r´esultat de Yamada [85] est pr´esent´ee par
Csaki et al. [36]:
Z t
γ

Dγ−1 l(t, .)(0) + o(t1− 2 −ε ),
Dγ−1 g(Bs )ds =
Γ(1 − γ)
0
avec 0 < γ < 23 et γ 6= 1.
Cette estimation et la LIL prouv´ee par Csaki et al. [37] pour Dγ−1 l(t, .)(0), impliquent l’existence d’une constante c(γ) > 0 telle que,
R t γ−1
D f (Bs )ds
p.s.
lim sup 01− γ
γ = c(γ)
2 (log log t) 2
t→∞ t
Le but de la premi`ere partie de cette th`ese, (voir chapitre 4), est de raffiner certains
r´esultats aux espaces plus petits que l’espace des fonctions continues. Ciesielski et
al. [33] ont d´emontr´e, en utilisant les techniques de l’approximation constructives
des fonctions, que les espaces de type Besov sont isomorphes `a des espaces de suites
r´eelles. Ceci pr´esente d’une part, une g´en´eralisation du th´eor`eme de Ciesielski [32]
qui ´etablit un isomorphisme entre l’espace de H¨older et un espace de suites r´eelles,
d’autre part, cette caract´erisation a permis d’´etendre des crit`eres de r´egularit´es,
de tension et des th´eor`emes limites de quelques processus stochastiques dans ces
espaces. Nous citons par exemples, les r´esultats de Ait Ouahra et Eddahbi [3] et
Ait Ouahra et al. [2] qui ont g´en´eralis´e le r´esultat de Fitzsimmons et Getoor [42],
respectivement aux topologies des espaces de H¨older et de Besov standards, et le
r´esultat de Ait Ouahra et al. [9] qui ont g´en´eralis´e le r´esultat de Shieh [75] dans les
espaces de Besov standards. Nous citons aussi, les r´esultats de Ait Ouahra et al. [2]
qui ont g´en´eralis´e le r´esultat de Rosen [70] concernant le th´eor`eme limite du deuxi`eme
10

Chapitre 1. Introduction
ordre dans les espaces de Besov standards et Boufoussi et Ouknine [27] qui ont ´etabli
un th´eor`eme de r´egularit´e dans les espaces de Besov standards, de la trajectoire
spatiale du temps local du α-PSS en utilisant un th´eor`eme d’isomorphisme de Dynkin
qui permet de d´eduire les propri´et´es trajectorielles des temps locaux des processus de
Markov fortement sym´etriques a` partir de celles des processus Gaussiens associ´es.
Ce d´ernier r´esultat a ´et´e ´etendu par Boufoussi et N’zi [26], dans les espaces de
Besov standards, pour une classe de processus de Levy sym´etrique avec un exposant
qui est une fonction `a croissance r´eguli`ere a` l’infini. Nous citons pour la topologie
des espaces de Besov-Orlicz, les r´esultats de Eddahbi et al. [39] qui ont prouv´e le
principe de grandes d´eviations de Freidlin-Wentzell pour des diffusions et Boufoussi
[21] qui a montr´e un th´eor`eme de r´egularit´e Besov-Orlicz du temps local Brownien.
Ce dernier r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e par Hu et Mellouk [47] dans une classe plus fine
des espaces de Besov-Orlicz. Ils ont d´emontr´e un r´esultat optimal dans le sens o`
u la
trajectoire spatiale du temps local Brownien admet la mˆeme r´egularit´e Besov-Orlicz
que le Brownien lui mˆeme. Finalement, pour les espaces de Besov anisotropique,
nous citons les r´esultats de Boufoussi et Kamont [24] qui ont obtenu un th´eor`eme de
r´egularit´e mixte du temps local Brownien dans les espaces de Besov anisotropiques et
Boufoussi et Lakhel [25] qui ont ´etabli un r´esultat d’approximation pour la solution
d’une ´equation diff´erentielle stochastique hyperbolique dans les espaces de Besov
anisotropiques.
Dans la deuxi`eme partie de cette th`ese, (voir chapitre 6), nous avons ´etudi´e dans
les topologies des espaces de Besov standards et Besov anisotropiques, la continuit´e
en loi, suivant leurs param`etres, des temps locaux et de leurs d´eriv´ees fractionnaires
g´en´eralis´ees associ´ees aux deux processus Gaussiens: le mouvement Brownien sousfractionnaire de param`etre H ∈ (0, 2), (not´e mBsf), et le mouvement Brownien
bifractionnaire de param`etres H ∈ (0, 1) et K ∈ (0, 1], (not´e mBbf). Nos r´esultats
sont nouveaux dans l’espace des fonctions continues.
Nous allons d´ecrire les diff´erents r´esultats obtenus dans cette th`ese:
Dans le chapitre 2, nous avons pr´esent´e les d´efinitions et quelques propri´et´es des
processus auto-similaires ´etudi´es dans cette th`ese, ainsi que les deux op´erateurs cl´es:
la d´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee et la transform´ee de Hilbert. Nous avons pr´esent´e
aussi quelques notions de base sur la th´eorie des espaces de type Besov bas´es sur
ωµ,ν
des modules de continuit´e, `a savoir les espaces de Besov standards Bp,∞
model´es
p
p
sur l’espace de Lebesgue L ([0, 1]) associ´e a` la fonction de Young M (x) = |x|p ,
ω
les espaces de Besov-Orlicz BMµ,ν
model´es sur l’espace d’Orlicz LMβ ([0, 1]) associ´e
β ,∞
β

a` la fonction de Young Mβ (x) = e|x| − 1 et les espaces de Besov anisotropiques
Lipp ((α1 , α2 ), ν) bas´es sur un module de continuit´e en norme Lp d´efini en terme
des diff´erences mixtes d’ordre 1 par rapport a` deux variables. Nous pr´esentons des
caract´erisations de l’appartenance d’une fonction dans ces espaces `a l’aide de ses
coefficients dans sa d´ecomposition dans la base de Schauder pour les espaces de Besov
standards et les espaces de Besov-Orlicz, (voir Ciesielski et al. [33]), et dans la base
compos´ee des produits tensoriels des fonctions de Schauder pour les espaces de Besov
anisotropiques ,(voir Kamont [51]). Pour les espaces de Besov-Orlicz, nous pr´esentons
une nouvelle caract´erisation de ces espaces, en se basant sur un lemme de Marcus et
Pisier [62], qui nous a permis de voir les coefficients {fj,k , j ≥ 0, k = 1, .., 2j } d’une
11

Chapitre 1. Introduction
fonction f dans sa d´ecomposition dans la base de Schauder, comme les valeurs
des variables al´eatoires {fj,. , j ≥ 0} muni de la loi uniforme discr`ete θ d´efinies
sur T = {1, ..., 2j } et a` valeurs dans {fj,1 , ..., fj,2j }. Plus pr´ecisement, nous avons
d´emontr´e le r´esultat suivant.
)
(
−j( 21 −µ)
2
ω
kfj,. kMβ (dθ) ,
kf kMµ,ν
∼ max |C0 (f )|, |C1 (f )|, sup
β ,∞
ν
j≥0 (1 + j)
1

f∈

ω ,0
BMµ,ν
β ,∞

2−j( 2 −µ)
⇐⇒ lim
kfj,. kMβ (dθ) = 0,
j→+∞ (1 + j)ν

o`
u
kfj,. kMβ (dθ) = sup
p≥1

2

−j
p



1
β



p

 p1

j

2
X

|fj,k |p  .

k=1

Ce r´esultat a fait l’objet d’un article ´ecrit en collaboration avec M. Ait Ouahra
et A. Kissami et est paru dans Ann. Math. Blaise. Pascal. Vol. 18, no. 2, p. 301-321,
(2011).
Dans le chapitre 3, nous avons d´emontr´e dans les espaces de type Besov, quelques
r´egularit´es temporelles, spatiales et mixtes du temps local L(t, x) du α-PSS ainsi que
de sa d´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee K±l,γ L(t, .)(x). Le cas de la d´eriv´ee fractionγ
naire D±
L(t, .)(x) correspond a` l ≡ 1 o`
u l est une fonction a` croissance lente `a
l’infini. Nos r´esultats g´en´eralisent ceux de Ait Ouahra [1], Ait Ouahra et Eddahbi
[3] et Ait Ouahra et al. [4]. Pour les espaces de Besov standards et Besov anisotropiques, nous avons utilis´e les caract´erisations de Ciesielski et al. [33] et Kamont [51].
Ces r´esultats font partie d’un papier ´ecrit conjointement avec H. Ouahhabi et est
paru dans Portugal. Math. (N.S.) Vol. 69, Fasc. 4, p. 321–339, (2012).
Pour les espaces de Besov-Orlicz, nous avons utilis´e la nouvelle caract´erisation de
ces espaces et nous renvoyons au papier ´ecrit en collaboration avec M. Ait Ouahra et
A. Kissami qui est paru dans Ann. Math. Blaise. Pascal. Vol. 18, no. 2, p. 301-321,
(2011).
Le chapitre 4 est consacr´e a` l’´etude, dans les espaces de type Besov, des th´eor`emes limites de quelques processus stochastiques. Pour cela, nous avons d´emontr´e
un nouveau crit`ere de tension dans les espaces de Besov-Orlicz qui ´etend celui de Ait
Ouahra et al. [2] pour la topologie des espaces de Besov standards. Notre r´esultat
est bas´e sur un th´eor`eme de Krasnosel’skii et Rutickii [55] qui est une extension du
th´eor`eme de compacit´e de Kolmogorov-Riesz dans les espaces d’Orlicz. Par cons´equent, avec la nouvelle caract´erisation des espaces de Besov-Orlicz, on a introduit
une nouvelle condition de tension de la forme:
kXtn − Xsn kMβ (dP ) ≤ C|t − s|µ ,
au lieu de la condition classique:
E|Xtn − Xsn |p ≤ C|t − s|pµ ,
apparue dans Billingsley [17] pour l’espace des fonctions continues, Lamperti [57]
pour l’espace de H¨older et Ait Ouahra et al. [2] pour une classe d’espaces de Besov
12

Chapitre 1. Introduction
standards. Comme applications, nous avons ´etendu, dans la classe des espaces de
ω
Besov-Orlicz BMµ,ν,0
, les th´eor`emes limites pour les mesures d’occupations associ´ees
1 ,∞
aux processus α-PSS et mBf. D’une fa¸con pr´ecise, nous nous sommes int´eress´es dans
un premier temps aux th´eor`emes limites des processus de la forme:
Z λt
1
f (Xsα )ds,
u(λ) 0
γ
o`
u u est une certaine fonction de λ, f = D±
g et g ∈ C δ , (l’espace de H¨older d’ordre
0 < δ < 1), est une fonction `a support compact.
Ce travail a fait l’objet d’un papier ´ecrit conjointement avec M. Ait Ouahra et
A. Kissami et est paru dans Ann. Math. Blaise. Pascal. Vol. 18 no. 2, p. 301-321,
(2011).

Dans un second temps, nous nous sommes int´eress´es aux th´eor`emes limites des
processus de la forme:
Z λt
1
f (Ysτ )ds,
u(λ) 0
o`
u Y τ := {Ytτ ; t ≥ 0} est un α-PSS si τ = α1 et un mBf si τ = H et f = K±l,γ g et
g ∈ C δ est une fonction `a support compact.
Ce r´esultat a fait l’objet d’un papier ´ecrit en collaboration avec M. Ait Ouahra et
A. Kissami et est paru dans Journal of Mathematics and Statistics. 8 (4), p. 506-516,
(2012).
ω 1 ,ν,0

Nous avons ´etudi´e aussi, dans la classe des espaces de Besov-Orlicz BM22 ,∞ , le
principe classique d’invariance de Donsker [38] associ´e au mB qui est la version fonctionnelle du th´eor`eme de la limite centrale. Plus pr´ecisement, nous avons d´emontr´e
que les deux suites des processus:


1
ξn (t) = √ S[nt] , 0 ≤ t ≤ 1 ,
σ n



1
γn (t) = √ S[nt] + (nt − [nt])X[nt]+1 , 0 ≤ t ≤ 1 ,
σ n
ω 1 ,ν,0

convergent en loi, quand n → +∞, vers un mB dans l’espace de Besov-Orlicz BM22 ,∞
o`
u (XP
eatoires i.i.d. centr´ees, de variance σ 2 finie,
n )n≥1 est une suite de variables al´
n
Sn = k=1 Xk et S0 = 0. Ce genre de th´eor`emes limites a ´et´e ´etudi´e par Hamadouche
[45], Lamperti [57] et Kerkyacharian et Roynette [53] dans l’espace de H¨older et
Morel [65] dans une classe des espaces de Besov standards.
Ce travail a fait l’objet d’un papier ´ecrit en collaboration avec M. Ait Ouahra et
A. Kissami publi´e dans Ann. Math. Blaise. Pascal. Vol. 19 no. 1, p. 263-269, (2012).
Nous avons g´en´eralis´e aussi, dans les topologies des espaces de Besov standards
et les espaces de Besov anisotropiques, les r´esultats obtenus dans l’espace des fonctions continues par Yor [86] pour le mB et Rosen [70] pour le α-PSS o`
u le drap
Brownien fractionnaire est obtenu comme limite en loi des temps locaux lin´eaires.
Plus pr´ecisement, nous avons d´emontr´e que la suite des processus,


1
2
,
α−1 (L(t, εx) − L(t, 0)) ; (t, x) ∈ [0, 1]
ε 2
13

Chapitre 1. Introduction
, α−1
, ν),
converge en loi, quand ε → 0, dans l’espace de Besov anisotropique Lip∗p ( α−1

2
vers le processus,
n √
o
α−1
2
2 cα BL(t,0) (x) ; (t, x) ∈ [0, 1] ,
o`
u L(t, x) est le temps local du α-PSS et Btα−1 (x) est le drap Brownien fractionnaire
d’indice α − 1 ∈ (0, 1]. Nous avons montr´e aussi que, quand ε → 0, la suite des
processus,


1
α−1 (L(ζ, εx) − L(ζ, 0)) ; x ∈ R ,
ε 2
converge en loi vers le processus,
o
n p
2 cα u1 (0)Bζα−1 (x) ; x ∈ R ,
ω α−1 ,ν ,0

dans l’espace de Besov standard Bp,∞2
o`
u B α−1 est ind´ependant de ζ qui est une
variable al´eatoire de loi exponentielle de moyenne 1. Ce dernier r´esultat g´en´eralise
celui de Rosen [70] au cas du α-PSS.
Ces r´esultats font partie d’un papier ´ecrit en collaboration avec H. Ouahhabi et
est paru dans Portugal. Math. (N.S.) Vol. 69, Fasc. 4, p. 321–339, (2012).
Le chapitre 5 est r´eserv´e a` l’´etude de l’approximation forte des th´eor`emes limites
pour les mesures d’occupations. Plus pr´ecisement, dans un premier temps, nous
avons d´emontr´e une version dans Lp qui g´en´eralise le r´esultat de Ait Ouahra et
Ouali [9] pour le α-PSS et le mBf associ´e `a la d´eriv´ee fractionnaire au cas de la
d´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee:
Z t

kDγ L(t, .)(0)k2p + o(t1−τ (1+γ)−ε ).
K l,γ f (Ysτ )dsk2p =
k
Γ(1

γ)
0
Ce r´esultat fait partie d’un papier ´ecrit en collaboration avec M. Ait Ouahra et A.
Kissami et est paru dans Journal of Mathematics and Statistics. 8 (4), p. 506-516,
(2012).
Dans un second temps, nous avons donn´e une version presque sˆ
ure qui ´etend le
r´esultat de Csaki et al. [36] pour le mB au cas du α-PSS:
Z t
γ
α−1

Dγ f (Xsα )ds =
Dγ L(t, .)(0) + o(t α − α −ε ).
Γ(−γ)
0
Pour montrer ce dernier r´esultat, nous avons d´emontr´e l’estimation suivante:
sup
x6=y

α−1
ν
|L(s, x) − L(s, y)|
= o(t α − α +ε ),
ν
|x − y|

p.s.

Ce r´esultat fait partie d’un papier ´ecrit conjointement avec M. Ait Ouahra et A.
Kissami et est soumis pour publication.
Finalement, au chapitre 6, nous avons ´etudi´e, dans les topologies des espaces
de Besov standards et Besov anisotropiques, la continuit´e en loi, suivant leur param`etres, des temps locaux et de ses d´eriv´ees fractionnaires g´en´eralis´ees associ´ees aux
14

Chapitre 1. Introduction
mBsf et mBbf. Nos r´esultats sont inspir´es du travail de Jolis et Viles [48] qui ont d´emontr´e que la famille {LH ; H ∈ (0, 1)} des temps locaux de mBf B H converge en loi
dans l’espace des fonctions continues, quand H tend vers H0 , vers le temps local LH0 .
Pour prouver la tension, Jolis et Viles [48] ont utilis´e le concept du non-d´eterminisme
local pour les processus Gaussiens introduit par Berman [16], conjointement avec
l’´etude des correlations des incr´ements du mBf B H quand H est proche de H0 . Le
r´esultat de Jolis et Viles [48] a ´et´e g´en´eralis´e par Wu et Xiao [81] pour les champs
al´eatoires Gaussiens en introduisant le nouveau concept du non-d´eterminisme local
sectoriel, (voir condition A, p. 1825).
Pour ´etablir la tension dans nos r´esultats, nous avons utilis´e les d´ecompositions
en loi du mBsf, (voir Bardina et Bascompte [12] et Ruiz de Chavez et Tudor [71]), et
de celle du mBbf, (voir Lei et Nualart [58]), conjointement avec et le concept du nond´eterminisme local de Berman [16] pour les processus Gaussiens. Ces d´ecompositions
en loi ont permis de transf´erer le r´esultat de Jolis et Viles [48] pour le mBf aux mBsf
et mBbf sans v´erifier la continuit´e des constantes apparues dans la condition A dans
Wu et Xiao [81]. Notons que pour le mBbf, nous avons remarqu´e qu’il ne v´erifie pas
la condition A.2 dans Wu et Xiao [81].
Ce chapitre a fait l’objet de deux papiers ´ecrits en collaboration avec M. Ait
Ouahra et sont soumis pour publication.

15

Chapitre 2
Pr´
eliminaires et notations
Dans ce chapitre, nous commen¸cons par donner les d´efinitions et quelques propri´et´es des processus ´etudi´es dans cette th`ese. Ensuite, nous passons aux d´efinitions
de la d´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee et la transform´ee de Hilbert. Enfin, nous pr´esentons quelques notions de base sur la th´eorie des espaces de type Besov. Une
nouvelle caract´erisation des espaces de Besov-Orlicz a ´et´e donn´ee dans [5].

2.1

Processus stable sym´
etrique (α-PSS)

Soit X α := (Ω, Ft , θt , Xtα , t ≥ 0, P x ) la r´ealisation canonique du processus stable
sym´etrique unidimensionnel d’indice 1 < α ≤ 2, (not´e α-PSS). C’est un processus
issu de 0, c`adl`ag, a` accroissements ind´ependants et stationnaires, de fonction caract´eristique d´efinie par:
E0 [exp(iλXtα )] = exp(−t|λ|α ),

∀t ≥ 0, λ ∈ R.

E0 est l’esp´erance suivant la loi P 0 du processus issu de 0 et (θt ) : Ω → Ω est
l’op´erateur de translation d´efini par (θt (ω))(s) = ω(t + s).
Notons que α-PSS est auto-similaire d’exposant α1 , i.e., ∀ c > 0,
1

{Xctα ; t ≥ 0} d {c α Xtα ; t ≥ 0},
o`
u d d´esigne ici l’´egalit´e des lois fini-dimensionnelles des deux processus.
Pour tout t > 0, on d´efinit la mesure d’occupation µt (.) de X α par:
Z t
µt (A) =
1A (Xsα )ds,
0

o`
u A ∈ R est un bor´elien de R et 1A est la fonction indicatrice de A. Il est bien
connu d’apr`es Barlow [13] et Boylan [29], que la mesure µt (.) admet, par rapport a` la
mesure de Lebesgue, une densit´e not´ee L(t, x). Le processus {L(t, x), t ≥ 0, x ∈ R}
est appel´e le temps local du α-PSS. Il poss`ede une version p.s. bicontinue en t et x
qui v´erifie la propri´et´e de scaling: pour tout λ > 0,
α−1
1
1
(L(t, x), t ≥ 0, x ∈ R, P y ) d λ− α L(λt, xλ α ), t ≥ 0, x ∈ R, P yλ α .
(2.1)
16

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
De plus, L(t, x) est une fonctionnelle additive continue, i.e.,
L(t, x)(ω) = L(s, x)(ω) + L(t − s, x)(θs (ω)),

(2.2)

et elle v´erifie la formule de densit´e d’occupation:
Z
Z t
α
f (x)L(t, x)(ω)dx,
f (Xs (ω))ds =
0

(2.3)

R

pour toute fonction f bor´elienne positive ou born´ee.
D’apr`es Marcus et Rosen [63] et Ait Ouahra et Eddahbi [3], on a les r´esultats suivants.
Lemme 2.1.1 ([63]). Soit T > 0. Il existe une constante C > 0 telle que pour tout
entier p ≥ 1, tous 0 ≤ t, s ≤ T et tout (x, y) ∈ R2 ,
1

kL(t, x) − L(s, x)k2p ≤ C((2p)!) 2p |t − s|

α−1
α

,

(2.4)

α−1
2

,

(2.5)

1

kL(t, x) − L(t, y)k2p ≤ C((2p)!) 2p |x − y|
1
2p

avec k.k2p = (E0 |.|2p ) .
Lemme 2.1.2 ([3]). Il existe une constante C > 0 telle que pour tout entier p ≥ 1,
tous 0 ≤ t, s ≤ T et tout (x, y) ∈ R2 ,
1

kL(t, x) − L(s, x) − L(t, y) + L(s, y)k2p ≤ C((2p)!) 2p |t − s|

α−1


|x − y|

α−1
2

.

(2.6)

Remarque 2.1.3.
1) Notons que pour α = 2, α-PSS est un mB. Trotter [79] a d´emontr´e l’existence
d’une version p.s. bicontinue du temps local Brownien not´e l(t, x). De plus, d’apr`es
Boufoussi et Roynette [28], la fonction al´eatoire x → l(t, x) v´erifie la condition de
H¨older (2.5) avec un exposant 21 , et d’apr`es Boufoussi [20], la fonction al´eatoire
(t, x) → l(t, x) v´erifie la condition de H¨older mixte (2.6) avec un exposant 14 en t et
un exposant 21 en x.
2) En utilisant les relations (2.4), (2.6) et le crit`ere de continuit´e de Kolmogorov, on
obtient p.s.
α−1
,
α

∀0<β<

∃ 0 < C(ω) < +∞, ∀ 0 ≤ t, s ≤ T , ∀ x ∈ R,
|L(t, x) − L(s, x)| ≤ C(ω)|t − s|β .

∀ 0 < β1 <

α−1
,


∀ 0 < β2 <

α−1
,
2

(2.7)

∃ 0 < C(ω) < +∞, ∀ 0 ≤ t, s ≤ T , ∀ |x|, |y| ≤ M ,

|L(t, x) − L(t, y) − L(s, x) + L(s, y)| ≤ C(ω)|t − s|β1 |x − y|β2 ,
o`
u M est une constante positive.

17

(2.8)

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations

2.2

Mouvement Brownien fractionnaire (mBf )

Soit B H := {BtH ; t ≥ 0} le mouvement Brownien fractionnaire de param`etre
de Hurst H ∈ (0, 1), (not´e mBf). C’est l’unique processus Gaussien centr´e, issu de
0, auto-similaire d’exposant H, a` accroissements stationnaires et non ind´ependants
sauf dans le cas du mB, H = 21 , de fonction de covariance:
1
E(BtH BsH ) = (t2H + s2H − |t − s|2H ).
2
Geman et Horowitz [43] ont d´emontr´e que le temps local du mBf existe et admet p.s.
une version bicontinue en t et x, h¨olderienne d’ordre γ0 − ε en x et d’ordre 1 − H − ε
en t, pour tout ε > 0 et γ0 = 1 ∧ 1−H
. Plus pr´ecisement, d’apr`es Xiao [82], on a le
2H
r´esultat suivant.
Lemme 2.2.1. Il existe une constante C > 0 telle que pour tout entier p ≥ 1, tous
0 ≤ t, s ≤ 1 et tout (x, y) ∈ R2 ,
H

kL(t, x) − L(s, x)k2p ≤ C((2p)!) 2p |t − s|1−H ,
kL(t, x) − L(t, y)k2p ≤ C((2p)!)

2δ+H(1+δ)
2p

kL(t, x) − L(s, x) − L(t, y) + L(s, y)k2p ≤ C((2p)!)

|x − y|δ ,

2δ+H(1+δ)
2p

|t − s|1−H(1+δ) |x − y|δ ,

pour tout 0 < δ < γ0 .
1−H
Remarque 2.2.2. Notons que 0 < 2+H
< 1−H
< γ0 et pour tout 0 < δ <
2
a
2δ + H(1 + δ) < 1.

1−H
,
2+H

on

Par cons´equent, les in´egalit´es dans le Lemme 2.2.1 deviennent
1

kL(t, x) − L(s, x)k2p ≤ C((2p)!) 2p |t − s|1−H ,
1

kL(t, x) − L(t, y)k2p ≤ C((2p)!) 2p |x − y|δ ,
1

kL(t, x) − L(s, x) − L(t, y) + L(s, y)k2p ≤ C((2p)!) 2p |t − s|1−H(1+δ) |x − y|δ ,
pour tout 0 < δ <

1−H
2+H

< γ0 .

Pour plus de d´etails sur le mBf, nous renvoyons le lecteur `a Mandelbrot et Van
Ness [61] et Samorodnitsky et Taqqu [73].

2.3

Mouvement Brownien bifractionnaire (mBbf )

Soit B H,K := {BtH,K ; t ≥ 0} un mouvement Brownien bifractionnaire de param`etres H ∈ (0, 1) et K ∈ (0, 1], (not´e mBbf). Il a ´et´e introduit par Houdr´e et Villa
[46]. C’est un processus Gaussien centr´e, issu de 0, auto-similaire d’exposant HK,
de fonction de covariance
i
1 h
K
E(BtH,K BsH,K ) = K (t2H + s2H ) − |t − s|2HK .
2
18

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
Pour K = 1, mBbf est un mBf de param`etre H ∈ (0, 1).
Le mBbf n’est pas en g´en´eral `a accroissements stationnaires mais il est quasi-h´elice
dans le sens de Kahane [50], i.e., pour tout (t, s) ∈ [0, 1]2 ,
2−K |t − s|2HK ≤ E[BtH,K − BsH,K ]2 ≤ 21−K |t − s|2HK.

(2.9)

Pour tout K ∈ (0, 1), soit X K := {XtK ; t ≥ 0} le processus Gaussien d´efini par:
Z +∞
K+1
K
(1 − e−θt )θ− 2 dWθ ,
Xt =
0

o`
u W := {Wt ; t ≥ 0} est un mB.
Ce processus a ´et´e introduit par Lei et Nualart [58] pour obtenir une d´ecomposition
en loi du mBbf de param`etres H ∈ (0, 1) et K ∈ (0, 1). Plus p´ecisement, ils ont
obtenu la d´ecomposition suivante:
C2 (K)BtHK d BtH,K + C1 (K)XtK2H ,
o`
u C1 (K) =

q

2−K K
,
Γ(1−K)

C2 (K) = 2

1−K
2

(2.10)

, mB W et mBbf B H,K sont ind´ependants.

B HK est un mBf de param`etre HK ∈ (0, 1).
De plus, Bardina et Bascompte [12] ont montr´e que le processus X H peut ˆetre d´efini
pour H ∈ (1, 2). Il est Gaussien centr´e, de fonction de covariance
(
Γ(1−H) H
[t + sH − (t + s)H ], ∀H ∈ (0, 1),
H H
H
E(Xt Xs ) =
Γ(2−H)
[(t + s)H − tH − sH ], ∀H ∈ (1, 2).
H(H−1)
Finalement, Tudor et Xiao [80] ont prouv´e en utilisant le processus Gaussien stationnaire associ´e au mBbf via la transformation de Lamperti [56], l’existence d’une
version p.s. bicontinue du temps local du mBbf. De plus, on a le r´esultat suivant.
Lemme 2.3.1. Pour tout entier p ≥ 1, il existe une constante 0 < Cp,H,K < ∞ telle
que pour tout 0 ≤ t ≤ T, tout h ∈ (0, δ), tout 0 < ξ < γ0 et tous (x, y) ∈ R,
E[L(t + h, x) − L(t, x)]2p ≤ Cp,H,K h2p(1−HK) ,
E[L(t + h, x) − L(t, x) − L(t + h, y) + L(t, y)]2p ≤ Cp,H,K |x − y|2pξ h2p(1−HK(1+ξ)) ,
o`
u γ0 = 1 ∧

2.4

1−HK
.
2HK

Mouvement Brownien sous-fractionnaire (mBsf )

L’auto-similarit´e et la stationnarit´e des incr´ements du mBf sont deux avantages
pour le choix du mBf dans la mod´elisation des ph´enom`enes en finance et en t´el´ecommunications. Une extension du mB qui conserve de nombreuses propri´et´es du mBf
sauf la stationnarit´e des incr´ements est le mouvement Brownien sous-fractionnaire
S H := {StH ; t ≥ 0} de param`etre H ∈ (0, 2), (not´e mBsf). Il a ´et´e introduit par
Bojdecki et al. [19]. C’est un processus Gaussien centr´e, issu de 0, auto-similaire
d’exposant H2 , de fonction de covariance
E(StH SsH ) = tH + sH −
19


1
(t + s)H + |t − s|H .
2

(2.11)

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
Notons que pour H = 1, mBsf est un mB.
Les accroissements du mBsf ne sont pas en g´en´eral stationnaires. Ils satisfont pour
tout (s, t) ∈ [0, 1]2 ,
|t − s|H ≤ E[StH − SsH ]2 ≤ (2 − 2H−1 )|t − s|H ,

∀ H ∈ (0, 1],

(2.12)

(2 − 2H−1 )|t − s|H ≤ E[StH − SsH ]2 ≤ |t − s|H ,

∀ H ∈ [1, 2).

(2.13)

Bardina et Bascompte [12] et Ruiz de Chavez et Tudor [71] ont d´emontr´e pour
H ∈ (0, 1), la d´ecomposition en loi suivante du mBsf:
StH d BtH + C1 (H)XtH ,
o`
u C1 (H) =

q

H
2Γ(1−H)

(2.14)

et X H est le mˆeme processus apparu dans (2.10). Le mB W

et mBf B H sont ind´ependants. Ici, B H est un mBf de param`etre H ∈ (0, 2) et de
fonction de covariance
1
E(BtH BsH ) = (tH + sH − |t − s|H ).
2
On travaille avec cette derni`ere covariance du mBf seulement dans le cas du mBsf.
Mendy [64] a prouv´e en utilisant la d´ecomposition (2.14) et le concept de nond´eterminisme local pour les processus Gaussiens introduit par Berman [16], l’existence d’une version p.s. bicontinue du temps local du mBsf ainsi que les r´egularit´es
suivantes.
Lemme 2.4.1. Pour tout entier p ≥ 1, il existe une constante 0 < Cp,H < ∞ telle
que pour tout 0 ≤ t ≤ T, tout h ∈ (0, δ), tout 0 < ξ < γ0 et tous (x, y) ∈ R,
E[L(t + h, x) − L(t, x)]2p ≤ Cp,H h2p(1−H) ,
E[L(t + h, x) − L(t, x) − L(t + h, y) + L(t, y)]2p ≤ Cp,H |x − y|2pξ h2p(1−H(1+ξ)) ,
o`
u γ0 = 1 ∧

1−H
.
2H

Nous pr´esentons ci-dessous les d´efinitions de la d´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee
et la transform´ee de Hilbert.

2.5


eriv´
ee fractionnaire g´
en´
eralis´
ee et transform´
ee de Hilbert

Pour d´efinir ces deux op´erateurs, on va pr´esenter quelques notions de base sur les
fonctions `a croissance lente. Pour plus de d´etails sur ces fonctions, nous renvoyons
le lecteur a` Bingham et al. [18] et Seneta [74].

efinition 2.5.1. Une fonction mesurable U : R+ → R+ est dite a` croissance
r´eguli`ere a` l’infini d’exposant r, dans le sens de Karamata, si pour tout t positif,
U (tx)
= tr .
x→+∞ U (x)
lim

20

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
Si r = 0, U est dite fonction a` croissance lente not´ee l. De plus si U est une
fonction a` croissance r´eguli`ere `a l’infini d’exposant r, alors U (x) = xr l(x).
Nous nous int´eressons au comportement de la fonction l en +∞. Donc, on peut
supposer que l est born´ee sur chaque intervalle de la forme [0, a], o`
u a > 0.
Le th´eor`eme suivant appel´e Th´eor`eme de Potter va jouer un rˆole tr`es important dans
la preuve de certains de nos r´esultats, (voir Bingham et al. [18]).
Th´
eor`
eme 2.5.2. 1) Si l est une fonction `a croissance lente, alors pour toutes
constantes choisies A > 1 et ξ > 0, il existe X = X(A, ξ) tel que,

y ξ y −ξ
l(y)
≤ A max
, (x ≥ X, y ≥ X).
,
l(x)
x
x
2) Si de plus, l est born´ee en s’´eloignant de 0 et ∞ dans chaque compact de [0, +∞[,
alors pour tout ξ > 0, il existe A0 = A0 (ξ) > 1 tel que,

l(y)
y ξ y −ξ
0
≤ A max
,
, (x > 0, y > 0).
l(x)
x
x
3) Si U est `a croissance r´eguli`ere `a l’infini d’exposant r, alors pour toutes constantes
choisies A > 1 et ξ > 0, il existe X = X(A, ξ) tel que,


y r+ξ y r−ξ
U (y)
≤ A max
,
, (x ≥ X, y ≥ X).
U (x)
x
x
Pour tout γ ∈]0, β[ et g ∈ C β ∩ L1 (R), (C β est l’espace de H¨older d’ordre 0 <
β < 1), on d´efinit,
Z +∞
g(x ± y) − g(x)
1
l,γ
l(y)
dy.
K± g(x) :=
Γ(−γ) 0
y 1+γ
Notons que si l est une fonction a` croissance lente, alors pour tout β > 0, l(x) = o(xβ )
quand x → +∞ , (voir Bingham et al. [18], Proposition 1.3.6). Donc, pour tout
R +∞
equent, si g ∈ C β ∩ L1 (R), alors pour un
γ > 0, on a 1 yl(y)
1+γ dy < +∞. Par cons´
certain γ ∈]0, β[, K±l,γ g(x) est une fonction bien d´efinie, born´ee et continue.
Pour γ = 0 et puisque y1 n’est pas int´egrable `a l’infini, alors K±l,0 est d´efini par:
K±l,0 g(x)

Z
:= −

+∞

l(y)
0

g(x ± y) − 1]0,1[ (y)g(x)
dy,
y

pour tout g ∈ C β ∩ L1 (R) et β > 0.
On pose pour tout γ ≥ 0,
K l,γ := K+l,γ − K−l,γ .
Pour γ > 0, on appelle K l,γ la d´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee.
Remarque 2.5.3.
1) K+l,γ et K−l,γ v´erifient l’identit´e de dualit´e suivante:
Z
Z
l,γ
g(x)K+l,γ f (x)dx,
f (x)K− g(x)dx =
R

R

21

(2.15)

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
pour tout f, g ∈ C β ∩ L1 (R) et γ ∈ [0, β[.
2) Si on prend l ≡ 1, on trouve les d´efinitions de la d´eriv´ee fractionnaire Dγ , γ > 0,
et la transform´ee de Hilbert H := πD0 .
3) Si h : R → R et a > 0, alors
γ
γ

(ha ) = aγ (D±
h)a , ∀γ > 0,
0
0
h)a + ha log(a),
(ha ) = (D±


o`
u ha est la fonction d´efinie par ha (x) = h(ax).
γ
4) D’apr`es Samko et al. [72], si f ∈ C β ∩L1 (R), alors Df ∈ C β−γ , avec D ∈ {D±
, Dγ }
pour tout 0 ≤ γ < β.
5) Pour plus de d´etails sur la d´eriv´ee fractionnaire et la transform´ee de Hilbert, nous
renvoyons le lecteur a` Yamada [84] et Samko et al. [72].
Le lemme suivant dˆ
u a` Ait Ouahra et Eddahbi [3] concerne la r´egularit´e temporelle de la d´eriv´ee fractionnaire et la transform´ee de Hilbert du temps local du
processus α-PSS.
Lemme 2.5.4. Soit 0 ≤ γ <

α−1
.
2

Alors, pour tous 0 ≤ t, s ≤ 1 et p ≥ 1, on a
1

kDγ L(t, .)(x) − Dγ L(s, .)(x)k2p ≤ C(α, γ)((2p)!) 2p |t − s|

γ
α−1
−α
α

,

(2.16)

o`
u C(α, γ) est une constante positive qui d´epend de α et γ.
Remarque 2.5.5.
1) Pour plus de d´etails sur les r´egularit´es temporelles et spaciales de la d´eriv´ee fractionnaire du α-PSS, nous renvoyons le lecteur a` Ait Ouahra [1], Boufoussi et N’zi
[26] et Boufoussi et Ouknine [27]. Pour le mB, nous renvoyons le lecteur `a Yamada
[84] et Boufoussi et al. [23].
2) On note parfois Htx la d´eriv´ee fractionnaire d’ordre γ > 0 du α-PSS. Cette notation sera utilis´ee dans le chapitre 5 pour l’approximation presque sˆ
ure de quelques
fonctionnelles additives du α-PSS. D’apr`es Fitzsimmons et Getoor [42], Htx est une
fonctionnelle additive qui satisfait la propri´et´e de scaling: pour tout λ > 0,
α−1 γ
1
1
xλ α
, t ≥ 0, x ∈ R, P yλ α .
(2.17)
(Htx , t ≥ 0, x ∈ R, P y ) d λ− α − α Hλt
De plus, d’apr`es (2.16) et le lemme de continuit´e de Kolmogorov on a p.s.
∀ 0 < β < α−1
− αγ , ∃ 0 < C(ω) < +∞, ∀ 0 ≤ t, s ≤ 1, |x| ≤ M ,
α
|Htx − Hsx | ≤ C(ω)|t − s|β .

(2.18)

Nous allons pr´esenter, ci-dessous, la th´eorie de base des espaces de type Besov. Pour plus de d´etails, nous renvoyons le lecteur `a Boufoussi [20], Ciesielski [32],
Ciesielski et al. [33] et Kamont [51].

22

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations

2.6

Espaces de Besov-Orlicz et espaces de Besov
standards


efinition 2.6.1. On dit que M : R+ → R+ est une fonction de Young si elle est
continue, convexe, strictement monotone pour tous x > 0, M (0) = 0 et
lim

x→0

x
M (x)
= lim
= 0.
x→+∞
x
M (x)

Le premier exemple des fonctions de Young ´etudi´ees dans cette th`ese est d´efini
par:
|x|β
e −1
si β > 1,
Mβ (x) =
Eβ (x) − Eβ (0) si 0 < β ≤ 1,
β

o`
u Eβ (x) = Eβ (−x) est le prolongement de la partie convexe de ex sur [xβ , +∞[
β
par sa tangente au point xβ > 0. ex change de concavit´e en xβ . Pour tout x ∈ R et
0 < β ≤ 1, il existe une constante Cβ > 0 telle que,
β

β

e|x| ≤ Eβ (x) ≤ Cβ e|x| .

efinition 2.6.2. Soit (Ω, Σ, µ) un espace de mesure finie. L’espace d’Orlicz LMβ (dµ) (Ω)
associ´e `a la fonction de Young Mβ , pour β > 0, est l’espace de Banach des fonctions
f : Ω → R mesurables muni de la norme:


Z

f (.)



dµ(.) < 1 .
kf kMβ (dµ) = inf
λ>0
λ

Cette norme est ´equivalente a` la norme de Luxemburg [60] d´efinie par:


Z
1
kf kMβ = inf
1 + Mβ (| λf (.) |) dµ(.) .
λ>0 λ

Remarque 2.6.3. Le
deuxi`eme exemple des fonctions de Young ´etudi´ees dans cette
p
th`ese est M (x) = |x|p , p ≥ 1. L’espace d’Orlicz associ´e `a cette fonction est l’espace
R
de Lebesgue ordinaire Lp (Ω), muni de la norme k.kpp = Ω |.|p dµ.
Le th´eor`eme suivant nous donnera une caract´erisation de la norme d’Orlicz k.kMβ
en terme de la norme k.kp , p ≥ 1, (voir par exemple, Ciesielski et al. [33]).
Th´
eor`
eme 2.6.4. Pour tout β > 0, il existe une constante Cβ > 0 telle que pour
toute fonction f ∈ LMβ (dµ) , on a
1
kf kp
kf kp
sup 1 ≤ kf kMβ (dµ) ≤ Cβ sup 1 .
Cβ p≥1 p β
p≥1 p β

(2.19)

Le lemme suivant dont la d´emonstration se trouve dans Benchekroun et Benkirane [15] sera tr`es utile dans la preuve des th´eor`emes limites.

23

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
Lemme 2.6.5. Soit M une fonction de Young d´efinie sur un espace de mesure finie
(Ω, Σ, µ) et soit A un ouvert de Ω. Alors, pour toute fonction f ∈ LM (dµ) (A) et
g ∈ L∞ (A), on a
kf.gkM (dµ) ≤ kf kM (dµ) kgk∞ ,
(2.20)
avec kgk∞ = supx∈A |g(x)|.
Le module de continuit´e d’une fonction f d´efinie sur [0, 1] en norme d’Orlicz est
d´efini pour tout h ∈ R par:
ωMβ (f, t) = sup k∆h f kMβ (dx) ,
|h|≤t

o`
u ∆h f (x) = 1[0,1−h] (x)[f (x + h) − f (x)] et dx est la mesure de Lebesgue sur [0, 1].

efinition 2.6.6. Pour tout 0 < µ < 1 et ν > 0, l’espace de Besov-Orlicz not´e
ωµ,ν
BMβ ,∞ , est l’espace de Banach des fonctions continues f ∈ LMβ (dx) ([0, 1]) muni de
la norme:
ωMβ (f, t)
ω
= kf kMβ (dx) + sup
,
kf kMµ,ν
β ,∞
0<t≤1 ωµ,ν (t)
o`
u

1
ωµ,ν (t) = tµ (1 + log( ))ν .
t
ω

Muni de cette norme, l’espace BMµ,ν
n’est pas s´eparable. Par contre, il contient
β ,∞
ω

,0

un sous espace ferm´e et s´eparable not´e BMµ,ν
qui correspond aux fonctions f telles
β ,∞
que ωMβ (f, t) = o(ωµ,ν (t)), quand t → 0.
Remarque 2.6.7.
p
1) L’espace d’Orlicz associ´e `a la fonction de Young M (x) = |x|p , p ≥ 1, est l’espace
de Lebesgue ordinaire Lp [0, 1] muni de la norme k.kp , et nous retrouvons l’espace de
ωµ,ν
Besov standard Bp,∞
muni de la norme:
ωp (f, t)
.
0<t≤1 ωµ,ν (t)

µ,ν
kf kωp,∞
= kf kp + sup

2) Si p = +∞ et f ∈ C([0, 1]) o`
u C([0, 1]) est l’espace des fonctions continues, alors,
ωµ,ν
B∞,∞ est l’espace des fonctions de H¨older C µ , muni de la norme:
|f (t) − f (s)|
.
0≤t6=s≤1 ωµ,ν (|t − s|)

kf kωµ,ν = sup |f (t)| + sup
0≤t≤1

3) Notons les injections continues suivantes:
1

ω 1 ,ν

ω 1 ,ν

ω 1 ,ν

2
C 2 ,→ BM22 ,∞ ,→ BM21 ,∞ ,→ Bp,∞
,→ C µ ,

24

1
si µ < .
2

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
Le syst`eme de fonctions de Schauder {ϕj,k , j ≥ 0, k = 1, ..., 2j } sur [0, 1] est d´efini
par:

 ϕ0 (t) = 1[0,1] (t), ϕ1 (t) = t1[0,1] (t),
n = 2j + k, j ≥ 0, k = 1, ..., 2j ,
j

ϕj,k (t) = ϕn (t) = 2.2− 2 Φ(2j t − k),
avec Φ(u) = u1[0, 1 ] (u) + (1 − u)1] 1 ,1] (u).
2
2
Nous savons que toute fonction f continue sur [0, 1], se d´ecompose dans la base de
Schauder comme suit

X
f (t) =
Cn (f )ϕn (t),
n=0

o`
u la convergence est uniforme et les coefficients dans cette base sont donn´es par:

 C0 (f ) = f (0), C1 (f ) = f (1) − f (0),
n = 2j + k, j ≥ 0 , k = 1, ..., 2j ,

j

2k
) − f ( 2k−2
) − f ( 2j+1
) .
Cn (f ) = fj,k = 2 2 2f ( 2k−1
2j+1
2j+1
On note f ∼ g si il existe deux constantes C1 > 0 et C2 > 0 telle que
C1 g ≤ f ≤ C2 g.
Les deux th´eor`emes suivants dˆ
us `a Ciesielski et al. [33] caract´erisent la norme de
Besov standard et Besov-Orlicz d’une fonction `a l’aide de ses coefficients dans sa
d´ecomposition dans la base de Schauder.
Th´
eor`
eme 2.6.8. Soit

µ,ν
kf kωp,∞

1
p

< µ < 1 et ν > 0.


 p1 

j


1
1
2


2−j( 2 −µ+ p ) X
p
|f
|
,
∼ max |C0 (f )|, |C1 (f )|, sup
j,k
ν


j≥0 (1 + j)


k=1

ωµ,ν ,0
f ∈ Bp,∞
⇐⇒ lim

−j( 12 −µ+ p1 )



(1 + j)ν



2

j→+∞

Th´
eor`
eme 2.6.9. Soit

ω

kf kMµ,ν
β ,∞

1
p

 p1

j

2
X

|fj,k |p  = 0.

k=1

< µ < 1, ν > 0 et β > 0.


 p1 
j

2

X
2
p

∼ max |C0 (f )|, |C1 (f )|, sup sup 1
|fj,k |
,


j≥0 p≥1 p β (1 + j)ν


k=1




ω

−j( 21 −µ+ p1 )

,0

f ∈ BMµ,ν
⇐⇒ lim
β ,∞

j→+∞

−j( 12 −µ+ p1 )

2

1

p β (1 + j)ν

25


 p1
2j
X

|fj,k |p  = 0.
k=1

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
ω

Nous allons construire une norme ´equivalente a` la norme k.kMµ,ν
. Elle sera la
β ,∞
cl´e de la d´emonstration des crit`eres de tension, des r´egularit´es et des th´eor`emes
limites dans les espaces de Besov-Orlicz. Pour cela, pour chaque j ≥ 0, on d´efinit
sur T = {1, ..., 2j } la variable al´eatoire r´eelle fj,. par:
fj,. (k) = fj,k

∀ k ∈ T,

telle que fj,. prend chacune des valeurs {fj,1 , fj,2 , .., fj,2j } avec la probabilit´e
fj,. suit la loi uniforme discr`ete θ d´efinie sur T par:
θ(k) := θ(fj,. = fj,k ) =

1
2j

1
.
2j

Donc,

∀ k ∈ T.

Le r´esultat principal de cette partie est le th´eor`eme suivant, (voir [5]).
Th´
eor`
eme 2.6.10. Soit 0 < µ < 1, ν > 0 et β > 0.
)
(
1
2−j( 2 −µ)
ωµ,ν
kfj,. kMβ (dθ) ,
kf kMβ ,∞ ∼ max |C0 (f )|, |C1 (f )|, sup
ν
j≥0 (1 + j)
1

f∈

ω ,0
BMµ,ν
β ,∞

2−j( 2 −µ)
kfj,. kMβ (dθ) = 0.
⇐⇒ lim
j→+∞ (1 + j)ν

Preuve. Notons Eθ l’esp´erance sous la mesure de probabilit´e θ. Alors,

1

kfj,. kp := (Eθ |fj,. |p ) p = 

2j
X

 p1



|fj,k |p θ(k) = 2

−j
p

k=1

2j
X



 p1
|fj,k |p  .

k=1

De (2.19), nous d´eduisons que

kfj,. kMβ (dθ) ∼ sup
p≥1

kfj,. kp
p

1
β

= sup
p≥1

2

−j
p



1
β



p

2j
X

 p1
|fj,k |p  .

k=1

Donc,

 p1
j
1
2
X
2
2−j( 2 −µ)

sup sup 1
|fj,k |p  ∼ sup
kfj,. kMβ (dθ) .
ν
j≥0 p≥1 p β (1 + j)ν
j≥0 (1 + j)
k=1
−j( 21 −µ+ p1 )

La preuve du Th´eor`eme 2.6.10 est ainsi achev´ee.

2.7

Espaces de Besov anisotropiques

Pour toute fonction f : [0, 1]2 → R et tout h ∈ R, la diff´erence progressive de
pas h par rapport a` la direction x1 (resp. x2 ), est d´efinie par:
∆h,1 f (x1 , x2 ) = f (x1 + h, x2 ) − f (x1 , x2 ),
26

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
∆h,2 f (x1 , x2 ) = f (x1 , x2 + h) − f (x1 , x2 ).
Pour tout (h1 , h2 ) ∈ R2 , on pose:
∆h1 ,h2 f = ∆h1 ,1 ◦ ∆h2 ,2 f,
∆2h,i f = ∆h,i ◦ ∆h,i f,

i = 1, 2.

2

Soit f : [0, 1] → R une fonction bor´elienne, telle que f ∈ Lp ([0, 1]2 ), p ≥ 1. On pose
pour tout t ∈ [0, 1] et tout (t1 , t2 ) ∈ [0, 1]2 :
ω(1,0).p (f, t1 ) = sup k∆h1 ,1 f kp ,
|h1 |≤t1

ω(0,1).p (f, t2 ) = sup k∆h2 ,2 f kp ,
|h2 |≤t2

ω(1,1).p (f, t1 , t2 ) =

sup

k∆h1 ,h2 f kp .

|h1 |≤t1 ,|h2 |≤t2


efinition 2.7.1. Soient 0 < α1 , α2 < 1 et ν ∈ R. L’espace de Besov anisotropique
not´e Lipp ((α1 , α2 ), ν), p ≥ 1, est l’espace de Banach non-s´eparable des fonctions f
continues sur [0, 1]2 , muni de la norme:
ω(1,0).p (f, t1 )
ω(1,0).p (f, t2 )
+ sup
0<t1 ≤1 ω(α1 ,α2 ),ν (t1 , 1)
0<t2 ≤1 ω(α1 ,α2 ),ν (1, t2 )

ω

kf kp (α1 ,α2 ),ν := kf kp + sup
+

ω(1,1).p (f, t1 , t2 )
,
0<t1 ,t2 ≤1 ω(α1 ,α2 ),ν (t1 , t2 )
sup

o`
u
ω(α1 ,α2 ),ν (t1 , t2 ) = tα1 1 tα2 2 (1 + log(

1 ν
)) .
t1 t2

On consid`ere le sous espace s´eparable de Lipp ((α1 , α2 ), ν), p ≥ 1, not´e par
Lip∗p ((α1 , α2 ), ν), qui correspond aux fonctions f telles que:
ω(1,0).p (f, t1 ) = o(ω(α1 ,α2 ),ν (t1 , 1)), t1 → 0,
ω(0,1).p (f, t2 ) = o(ω(α1 ,α2 ),ν (1, t2 )), t2 → 0,
ω(1,1).p (f, t1 , t2 ) = o(ω(α1 ,α2 ),ν (t1 , t2 )), t1 ∧ t2 → 0,
o`
u t1 ∧ t2 := min(t1 , t2 ).
Toute fonction f sur [0, 1]2 , se d´ecompose de la mani`ere suivante:
f (t1 , t2 ) =


X

X

Cn,n0 (f )ϕn ⊗ ϕn0 (t1 , t2 ),

m=0 max(n,n0 )=m

o`
u Cn,n0 (f ) = Cn1 ◦ Cn2 (f ), avec
1
Cn (f )(t) = Cn (f (., t)),
Cn2 (f )(t) = Cn (f (t, .)).
Nous terminons ce chapitre par donner le th´eor`eme suivant dˆ
u a` Kamont [51]. Il
caract´erise la norme des espaces de Besov anisotropiques d’une fonction `a l’aide de
ses coefficients dans sa d´ecomposition dans la base compos´ee du produit tensoriel
des fonctions de Schauder.
27

Chapitre 2. Pr´eliminaires et notations
Th´
eor`
eme 2.7.2. Soit p1 < αi < 1, i = 1, 2 et ν ∈ R. Le sous-espace Lip∗p ((α1 , α2 ), ν),
p ≥ 1, correspond aux suites (Cn,n0 (f )) telles que,
−j( 12 −α1 + p1 )

lim

(1 + j)ν
−j( 21 −α2 + p1 )

j→+∞

|Cn,l0 (f )|p  = 0,





j+1
2
X



j,j →+∞

2

2
(1 + j + j 0 )ν

 p1
|Cl,n (f )|p  = 0,

l = 0, 1,

n=2j +1

−j( 21 −α1 + p1 ) −j 0 ( 21 −α2 + p1 )

lim
0

l0 = 0, 1,

n=2j +1

2

(1 + j)ν

 p1

j+1
2
X

2

j→+∞

lim





j+1
2
X

0

j +1
2X


n=2j +1 n0 =2j 0 +1

28

 p1
|Cn,n0 (f )|p  = 0.

Chapitre 3
Certaines r´
egularit´
es dans les
espaces de type Besov
Dans cette partie, nous ´etudions dans les espaces de type Besov, certaines r´egularit´es de quelques processus stochastiques. Dans le cas des espaces de Besov standards
et Besov anisotropiques, nos r´esultats sont bas´es respectivement sur les caract´erisations de Ciesielski et al. [33] et Kamont [51], (voir aussi [68]). Pour les r´egularit´es
dans les espaces de Besov-Orlicz, nous utilisons la nouvelle caract´erisation de ces
espaces pr´esent´ee dans [5]. Ces r´egularit´es seront tr´es utiles dans le chapitre suivant pour ´etudier dans les espaces de type Besov des th´eor`emes limites de quelques
processus stochastiques, (voir [5],[6], [8] et [68]).

3.1


egularit´
es dans les espaces de Besov-Orlicz

On a besoin du lemme suivant dˆ
u a` Marcus et Pisier [62], (voir Lemme 2.6, p.
336).
Lemme 3.1.1. Soient T = {1, 2, ..., N } et {Z(t) ; t ∈ T } un processus stochastique
d´efini sur (Ω, Σ, P ) qui satisfait
kZ(t)kMβ (dP ) ≤ d,

∀t ∈ T.

Alors, pour tous β et β 0 tels que 1 ≤ β ≤ β 0 ≤ ∞, on a
1

EkZ(t)kMβ0 (dτ ) ≤ d Cβ (log(N )) β

− β10

,

o`
u dτ est une mesure de probabilit´e sur T et Cβ est une constante positive qui d´epend
seulement de β.
Le r´esultat principal de cette section est le lemme suivant qui caract´erise la
r´egularit´e des processus dans les espaces de Besov-Orlicz, (voir [5]).
Lemme 3.1.2. Soit {Xt ; t ∈ [0, 1]} un processus stochastique d´efini sur (Ω, Σ, P ).
Supposons qu’il existe une constante C > 0 et 0 < µ < 1 telle que pour tout
(s, t) ∈ [0, 1]2 et β ≥ 1,
kXt − Xs kMβ (dP ) ≤ C|t − s|µ .
29

(3.1)

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
ω

,0

Alors, la trajectoire t → Xt appartient p.s. `a l’espace de Besov-Orlicz BMµ,ν
, pour
β ,∞
tout ν > 1.
Preuve. D’apr`es la caract´erisation du Th´eor`eme 2.6.10 du chapitre pr´ec´edent, il
suffit de prouver que p.s.
1

2−j( 2 −µ)
kXj,. kMβ (dθ) = 0,
lim
j→+∞ (1 + j)ν
avec

j

− X 2k−2
−X
Xj,. (k) = Xj,k = 2 2 {2X 2k−1
j+1
j+1
2

2

2k
2j+1

}.

Pour tout λ > 0, on pose
(

)
1
2−j( 2 −µ)
sup
kXj,. kMβ (dθ) > λ .
ν
j≥0 (1 + j)

I=P

Par application de l’in´egalit´e de Tchebeshev, on a
1

1 X 2−j( 2 −µ)
EkXj,. kMβ (dθ) .
I≤
λ j≥0 (1 + j)ν
La condition (3.1) du Lemme 3.1.2 implique que pour tout h ∈ R et t ∈ [0, 1] tel
que t + h et t − h restent dans [0, 1], l’existence d’une constante C > 0 telle que,
k2Xt − Xt+h − Xt−h kMβ (dP) ≤ Chµ .
En particulier, pour t =

2k−1
2j+1

et h =

1
,
2j+1

on obtient
1

kXj,k kMβ (dP ) ≤ C2j( 2 −µ) .
Le Lemme 3.1.1 appliqu´e au processus {Z(k) = Xj,k ; k ∈ T } pour T = {1, ..., 2j },
1
β = β 0 et d = C2j( 2 −µ) , entraˆıne l’existence d’une constante Cβ > 0 telle que,
1

EkXj,. kMβ (dθ) ≤ Cβ 2j( 2 −µ) .
Donc,
I≤

Cβ X
1
C
≤ , ∀ν > 1.
ν
λ j≥0 (1 + j)
λ

Le r´esultat est une application simple du Lemme de Borel-Cantelli.
Par la suite, nous pr´esentons quelques applications du Lemme 3.1.2.
Lemme 3.1.3. Soit {Xt ; t ∈ [0, 1]} un processus Gaussien centr´e. Supposons qu’il
existe une constante C > 0 et 0 < µ < 1 telle que pour tout (s, t) ∈ [0, 1]2 ,
E[Xt − Xs ]2 ≤ C|t − s|2µ .
ω

,0

Alors, la trajectoire t → Xt appartient p.s. `a l’espace de Besov-Orlicz BMµ,ν
, pour
2 ,∞
tout ν > 1.
30

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
Preuve. D’apr`es le Lemme 3.1.2, il suffit de montrer qu’il existe une constante
C > 0 telle que,
kXt − Xs kM2 (dP ) ≤ C|t − s|µ .
D’apr`es la Remarque 3.2 dans Marcus et Pisier [62], si {Xt ; t ∈ [0, 1]} est un
processus Gaussien centr´e, alors il existe une constante C > 0 telle que,
kXt − Xs kM2 (dP ) ≤ C E[Xt − Xs ]2

21

.

Donc,
kXt − Xs kM2 (dP ) ≤ C|t − s|µ .
Ce qui termine la preuve du Lemme 3.1.3.
Exemples 3.1.4.
1) Dans le cas du mBf de param`etre de Hurst H ∈ (0, 1), on a
E[BtH − BsH ]2 = C|t − s|2H ,

t, s ∈ [0, 1].
ω

,0

Donc, la trajectoire t → BtH appartient p.s. a` l’espace de Besov-Orlicz BMH,ν
, pour
2 ,∞
1
1
1
tout ν > 1. En particulier, pour H = 2 , B 2 est un mB. Alors, la trajectoire t → B 2
ω 1 ,ν ,0

appartient p.s. `a l’espace de Besov-Orlicz BM22 ,∞ , pour tout ν > 1.
2) Dans le cas du mBbf de param`etres H ∈ (0, 1) et K ∈ (0, 1], d’apr`es (2.9), la
ω
,0
trajectoire t → BtH,K appartient p.s. `a l’espace de Besov-Orlicz BMHK,ν
, pour tout
2 ,∞
ν > 1.
3) Pour le mBsf de param`etre H ∈ (0, 2), les relations (2.12) et (2.13) impliquent
ω H ,ν ,0

que la trajectoire t → StH appartient p.s. `a l’espace de Besov-Orlicz BM22 ,∞ , pour
tout ν > 1.
On sait que le α-PSS est un processus c`adl`ag et pourtant les trajectoires de son
temps local sont continues et mˆemes h¨olderiennes. Dans la suite on montre quelques
r´esultats de r´egularit´es dans une classe d’espaces de Besov-orlicz.
Lemme 3.1.5. La trajectoire t → L(t, x) du temps local du α-PSS appartient p.s.
ω α−1 ,ν ,0

`a l’espace de Besov-Orlicz BM1α,∞

, pour tout x ∈ R et tout ν > 1.

Preuve. D’apr`es le Lemme 3.1.2, il suffit de montrer que pour tout x ∈ R, 0 ≤
t, s ≤ 1, il existe une constante C > 0 telle que,
kL(t, x) − L(s, x)kM1 (dP ) ≤ C|t − s|

α−1
α

.

En effet, d’apr`es (2.19) et (2.4), pour tout β > 0, il existe Cβ > 0 telle que,
kL(t, x) − L(s, x)kMβ (dP ) ≤ Cβ sup

kL(t, x) − L(s, x)kp
1



p≥1

1

≤ C(α, β) sup
p≥1

31

((p)!) p
p

1
β

|t − s|

α−1
α

.

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
1

1

Or, p! ≤ pp . Donc, ((p)!) p ≤ p, ce qui implique que

((p)!) p
1


1

≤ p1− β . Par cons´equent,

pour tout 0 < β ≤ 1, on a
kL(t, x) − L(s, x)kMβ (dP ) ≤ C(α, β)|t − s|

α−1
α

,

et puisque le Lemme 3.1.2 s’applique pour tout β ≥ 1, et comme on a 0 < β ≤ 1,
alors, on peut prendre β = 1. Dans ce cas, on obtient
kL(t, x) − L(s, x)kM1 (dP ) ≤ C(α)|t − s|

α−1
α

.

Ce qui ach`eve la preuve.
Remarque 3.1.6.
1)- Cette r´egularit´e est plus fine que celle de Ait Ouahra et al. [4] qui ont montr´e
ω α−1 ,ν ,0

que la trajectoire t → L(t, x) appartient p.s. a` l’espace de Besov standard Bp,∞α
pour tout x ∈ R et tout ν > p1 .
2)- Trotter [79] a montr´e l’existence d’une version p.s. bicontinue du temps local
Brownien. De plus, Boufoussi [21] a montr´e une r´egularit´e Besov-Orlicz de la trajectoire spaciale du temps local Brownien. Ce dernier r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e par
Hu et M. Mellouk [47], dans une classe plus fine. Ils ont d´emontr´e que la trajectoire spatiale du temps local Brownien admet la mˆeme r´egularit´e Besov-Orlicz que
le Brownien lui mˆeme.
Dans le mˆeme esprit, on a une r´egularit´e similaire pour la d´eriv´ee fractionnaire
du temps local.
Lemme 3.1.7. Soit 0 ≤ γ <

α−1
2

γ
et D ∈ {Dγ , D±
}. Alors, la trajectoire t →
ω α−1 − γ ,ν ,0

DL(t, .)(x) appartient p.s. `a l’espace de Besov-Orlicz BM1α,∞
|x| ≤ M , o`
u M est une constante positive.

pour tout ν > 1 et

α

Preuve. On va traiter seulement le cas de D = Dγ . Les autres cas se traitent de la
mˆeme fa¸con. D’apr`es le Lemme 3.1.2, il suffit de montrer que pour tout 0 ≤ s, t ≤ 1
et x ∈ R, il existe une constante C 0 (α, γ) > 0 telle que,
kDγ L(t, .)(x) − Dγ L(s, .)(x)kM1 (dP ) ≤ C 0 (α, γ)|t − s|

γ
α−1
−α
α

.

On va suivre la technique utilis´ee dans la preuve du Lemme 3.1.5. En effet, d’apr`es
(2.16) et puisque la norme k.kp est croissante en p, alors (2.19) implique que pour
tout 0 < β ≤ 1, il existe une constante Cβ > 0 telle que,
γ

γ

kD L(t, .)(x) − D L(s, .)(x)kMβ (dP ) ≤ Cβ sup

kDγ L(t, .)(x) − Dγ L(s, .)(x)kp
1



p≥1

1

≤ C(α, γ) sup

((2p)!) 2p

p≥1

≤ C 0 (α, γ)|t − s|

p

1
β

γ
α−1
−α
α

|t − s|

γ
α−1
−α
α

.

Comme dans la preuve du lemme pr´ec´edent, on peut prendre β = 1. Donc,
kDγ L(t, .)(x) − Dγ L(s, .)(x)kM1 (dP ) ≤ C 0 (α, γ)|t − s|
Ce qui termine la preuve du lemme.
32

γ
α−1
−α
α

.

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
γ
et D ∈ {Dγ , D±
}. Ait Ouahra et al. [4]
Remarque 3.1.8. Soit 0 ≤ γ < α−1
2
ont d´emontr´e que la trajectoire t → DL(t, .)(x) appartient p.s. `a l’espace de Besov
ω α−1 − γ ,ν ,0

standard Bp,∞α α
u M est une constante positive.
pour tout ν > p1 et |x| ≤ M , o`
Cependant, notre r´esultat dans le Lemme 3.1.7 est plus fin.
La question naturelle qui, se pose maintenant est la suivante, est ce qu’on peut
avoir les mˆemes r´egularit´es pour l’operateur K. La r´eponse est dans la section suivante.

3.2


egularit´
es dans les espaces de Besov standards

On a besoin du lemme suivant dont la d´emonstration est analogue `a celle du
Lemme 1 de Ait Ouahra et Eddahbi [3] dans le cas de la d´eriv´ee fractionnaire et la
transform´ee de Hilbert du temps local du α-PSS.
et K ∈ {K±l,γ , K l,γ }. Alors, pour tout entier
Lemme 3.2.1. 1) Soient 0 < γ < α−1
2
p ≥ 1, il existe une constante Cp > 0 telle que pour tous 0 ≤ s, t ≤ 1 et tout x ∈ R,
kKL(t, .)(x) − KL(s, .)(x)k2p ≤ Cp |t − s|
2) Dans le cas γ = 0 et sous la condition

R +∞
1

l(y)
dy
y

γ
α−1
−α
α

.

< ∞, on a

kKL(t, .)(x) − KL(s, .)(x)k2p ≤ Cp |t − s|ξ ,
o`
u0<ξ<

α−1
.
α

Preuve. On traite seulement le cas K = K+l,γ , les autres cas se traitent d’une mani`ere similaire. Ici, on distingue deux cas.
1
1) Cas γ > 0. Soit b = |t − s| α . Par d´efinition de K+l,γ , on a
kK+l,γ L(t, .)(x) − K+l,γ L(s, .)(x)k2p
1

|Γ(−γ)|

Z

1
+
|Γ(−γ)|

Z

b

l(u)
0

kL(t, x + u) − L(s, x + u) − L(t, x) + L(s, x)k2p
du
u1+γ

+∞

l(u)
b

kL(t, x + u) − L(s, x + u) − L(t, x) + L(s, x)k2p
du
u1+γ

:= I1 + I2 .
Nous estimons I1 et I2 s´epar´ement.
Estimation de I1 . Puisque l est born´ee sur chaque compact de [0, +∞[, on d´eduit de
(2.6) que,
α−1 α−1
I1 ≤ Cp |t − s| 2α b 2 −γ
≤ Cp |t − s|

33

γ
α−1
−α
α

.

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
Revenons maintenant `a l’estimation de I2 . Le Th´eor`eme de Potter cit´e dans l’introduction, (voir Bingham et al. [18]), avec 0 < ξ < γ implique l’existence de A(ξ) > 1
telle que,
u ξ
l(u) ≤ A(ξ)l(b)
.
b
En combinant cette estimation avec (2.4), on obtient
I2 ≤ Cp |t − s|

γ
α−1
−α
α

.

La preuve de ce cas est termin´ee.
2) Cas γ = 0. Par d´efinition de K+l,0 , on a
kK+l,0 L(t, .)(x) − K+l,0 L(s, .)(x)k2p ≤ J1 + J2 ,
o`
u

1

Z
J1 =

l(y)
0

et

kL(t, x + y) − L(t, x) − L(s, x + y) + L(s, x)k2p
dy,
y

+∞

Z
J2 =

l(y)
1

kL(t, x + y) − L(s, x + y)k2p
dy.
y


Soit maintenant b = |t − s| α−1 . En utilisant (2.4), (2.5) et le fait que l est born´ee
sur chaque compact de [0, +∞[, on obtient
b

Z
J1 ≤ Cp
0

kL(t, x + y) − L(t, x)k2p + kL(s, x + y) − L(s, x)k2p
dy
y

1

kL(t, x + y) − L(s, x + y)k2p + kL(t, x) − L(s, x)k2p
dy
y
b
#
"Z
b
α−1
α−1
1
.
≤ Cp
y 2 −1 dy + |t − s| α log

0
|t − s| α−1
Z

+ Cp

Donc,

J1 ≤ Cp |t − s| 1 +
ξ



α−1
α−1


−ξ
−ξ
α
α
log |t − s|
|t − s|

(α − 1)( α−1
− ξ)
α

≤ Cp,α,ξ |t − s|ξ .
Dans la d´erni`ere estimation, on a utilis´e l’in´egalit´e ´el´ementaire: |x log(x)| ≤ e−1 ,
pour tout x ∈]0, 1].
R +∞
Nous allons maintenant estimer J2 . En utilisant (2.4) et la condition 1 l(y)
dy < ∞,
y
nous obtenons
α−1
J2 ≤ Cp |t − s| α .
Ce qui donne l’estimation souhait´ee pour γ = 0.
De la mˆeme mani`ere, nous obtenons les r´egularit´es spatiales suivantes.

34

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
et K ∈ {K±l,γ , K l,γ }. Alors, pour tout entier
Lemme 3.2.2. 1) Soient 0 < γ < α−1
2
p ≥ 1, il existe une constante Cp > 0 telle pour tous 0 ≤ t ≤ 1 et tout (x, y) ∈
[−M, M ]2 ,
α−1
α−1
kKL(t, .)(x) − KL(t, .)(y)k2p ≤ Cp t 2α |x − y| 2 −γ .
R +∞
dy < ∞, on a
2) Dans le cas γ = 0 et sous la condition 1 l(y)
y
kKL(t, .)(x) − KL(t, .)(y)k2p ≤ Cp t

α−1


|x − y|

α−1
2

.

M est une constante positive.
Preuve. On traite seulement le cas K = K l,γ , les autres cas sont similaires. Ici, on
distingue deux cas.
1) Cas γ > 0. Soit b = |x − y|. Par d´efinition de K l,γ , on a
l,γ

l,γ

kK L(t, .)(x) − K L(t, .)(y)k2p
1
+
|Γ(−γ)|

Z

b

l(u)
0

1
+
|Γ(−γ)|

Z

b

Z

l(u)
0

kL(t, x + u) − L(t, x − u)k2p
du
u1+γ

kL(t, y + u) − L(t, y − u)k2p
du
u1+γ

+∞

l(u)
b

1
+
|Γ(−γ)|

1

|Γ(−γ)|

Z

kL(t, x + u) − L(t, x − u)k2p
du
u1+γ

+∞

l(u)
b

kL(t, y + u) − L(t, y − u)k2p
du
u1+γ

:= K1 + K2 .
Nous estimons K1 et K2 s´epar´ement.
Estimation de K1 . Puisque l est born´ee sur chaque compact de [0, +∞[, on d´eduit
de (2.6) que,
Z b α−1
α−1
u 2
du
K1 ≤ Cp t 2α
1+γ
0 u
≤ Cp t

α−1


|x − y|

α−1
−γ
2

.

Pour l’estimation de K2 , une simple application du Th´eor`eme de Potter donne
l(u) ≤ A(ξ)l(b)

u ξ
b

,

o`
u A(ξ) > 1.
En combinant cette estimation avec (2.6), on obtient
K2 ≤ Cp t

α−1


|x − y|

α−1
−γ
2

.

La preuve de ce cas est achev´ee.
2) Cas γ = 0. Donnons la preuve de K+l,0 . Les autres cas peuvent ˆetre d´eriv´es de la
mˆeme mani`ere. Par d´efinition de K+l,0 , on a
kK+l,0 L(t, .)(x) − K+l,0 L(t, .)(y)k2p ≤ L1 + L2 ,
35

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
o`
u

1

Z

l(u)

L1 =
0

et

Z
L2 =

kL(t, x + u) − L(t, x) − L(t, y + u) + L(t, y)k2p
du,
u

+∞

l(u)
1

kL(t, x + u) − L(t, y + u)k2p
du.
u

Nous allons estimer L1 . On a
Z b
kL(t, x + u) − L(t, x)k2p + kL(t, y + u) − L(t, y)k2p
du
L1 ≤
u
0
Z 1
kL(t, x + u) − L(t, xk2p + kL(t, y + u) − L(t, y)k2p
+
du.
u
b
Nous consid´erons les deux cas, |x − y| > 1e et |x − y| < 1e .
i) Cas |x − y| > 1e .
En utilisant (2.6) et en choisissant 1e < b < |x − y|, on obtient,
L1 ≤ Cp t

α−1


|x − y|

α−1
2

.

ii) Cas |x − y| ≤ 1e .
En choisissant 0 < b < |x − y| et d’apr`es (2.6), nous obtenons
L1 ≤ Cp t

α−1


|x − y|

α−1
2

.

α−1


|x − y|

α−1
2

.

Par cons´equent, on en d´eduit que
L1 ≤ Cp t

Revenons maintenant a` l’estimation de L2 . D’apr`es (2.6) et le fait que
∞, nous d´eduisons que
α−1
α−1
L2 ≤ Cp t 2α |x − y| 2 .

R +∞
1

l(y)
dy
y

<

Ce qui donne l’estimation souhait´ee pour γ = 0.
Lemme 3.2.3. 1) Soient 0 < γ <

α−1
et K ∈ {K±γ , K γ }.
2
ω α−1 − γ ,ν ,0
Bp,∞α α , p ≥ 1, pour

KL(t, .)(x) appartient p.s. `a l’espace
|x| ≤ M .
R +∞
2) Dans le cas γ = 0 et sous la condition 1

l(y)
dy
y

La trajectoire t →
tout ν >

1
p

et tout

< ∞, la trajectoire t →

ωξ,ν ,0
Bp,∞
,

KL(t, .)(x) appartient p.s. `a l’espace
p ≥ 1, pour tout ν > p1 et tout |x| ≤ M ,
o`
u 0 < ξ < α−1
.
α
3) Soient 0 < γ < α−1
et K ∈ {K±γ , K γ }. La fonction al´eatoire x → KL(t, .)(x)
2
ω α−1 −γ,ν ,0

, p ≥ 1, pour tout ν > p1 et tout t ∈ [0, 1],
R +∞
4) Dans le cas γ = 0 et sous la condition 1 l(y)
dy < ∞, la fonction al´eatoire
y

appartient p.s. `a l’espace Bp,∞2

ω α−1 ,ν ,0

x → KL(t, .)(x) appartient p.s. `a l’espace Bp,∞2
t ∈ [0, 1], o`
u M est une constante positive.
36

, p ≥ 1, pour tout ν >

1
p

et tout

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
Preuve. Nous allons prouver 1) car les autres cas se traitent de la mˆeme fa¸con.
D’apr`es le Th´eor`eme 2.6.8, il suffit de montrer que p.s. on a
γ
−j( 21 −( α−1
−α
)+ p1 )
α

lim



2

(1 + j)ν

j→+∞

 p1

j+1
2
X

|Cn (KL(t, .)(x)|p  = 0,


n=2j +1

o`
u
Cn (KL(t, .)(x) = 2

j
2




2k − 1
2k − 2
2k
2KL( j+1 , .)(x) − KL( j+1 , .)(x) − KL( j+1 , .)(x) .
2
2
2

Pour tout λ > 0, on pose


γ
−j( 21 −( α−1
−α
)+ p1 )
α

2

I = P sup
j≥0

(1 + j)ν



 p1

j+1
2
X




|Cn (KL(t, .)(x)|p  > λ.


n=2j +1

Par application de l’in´egalit´e de Tchebyshev, on obtient
j+1

γ

α−1
1
1
2
1 X 2−jp( 2 −( α − α )+ p ) X
I≤ p
E|Cn (KL(t, .)(x)|p .
λ j≥0
(1 + j)pν
j

n=2 +1

Par d´efinition de Cn (KL(t, .)(x) et d’apr`es le Lemme 3.2.1, on d´eduit que
I≤

C X
1
< ∞,
p
λ j≥0 (1 + j)pν

1
∀ν > .
p

Le r´esultat est une simple application du Lemme de Borel-Cantelli.

3.3


egularit´
es dans les espaces de Besov anisotropiques

On a besoin du lemme suivant dont la preuve est similaire a` celle utilis´ee par
Ait Ouahra et Eddahbi [3] pour le temps local du α-PSS, et Ait Ouahra [1] pour la
d´eriv´ee fractionnaire du temps local L(t, x) du α-PSS. Les arguments principaux de
la preuve sont la propri´et´e de Markov du α-PSS et le Lemme 3.2.2.
Lemme 3.3.1. 1) Soient 0 < γ < α−1
et K ∈ {K±l,γ , K l,γ }. Pour tout entier p ≥ 1,
2
il existe une constante Cp > 0, telle que pour tous 0 ≤ t, s ≤ 1 et (x, y) ∈ [−M, M ]2 ,
kKL(t, .)(x) − KL(t, .)(y) − KL(s, .)(x) + KL(s, .)(y)k2p ≤ Cp |t − s|
R +∞
2) Dans le cas γ = 0 et sous la condition 1 l(y)
dy < ∞, on a
y

α−1


kKL(t, .)(x) − KL(t, .)(y) − KL(s, .)(x) + KL(s, .)(y)k2p ≤ Cp |t − s|
M est une constante positive.
37

|x − y|

α−1


α−1
−γ
2

|x − y|

α−1
α

.

.

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov
Preuve. Nous allons prouver seulement 1) car les deux cas se traitent de la mˆeme
fa¸con. En appliquant la propri´et´e de Markov pour α-PSS en s, on a pour tout p ≥ 1
E|KL(t, .)(x) − KL(t, .)(y) − KL(s, .)(x) + KL(s, .)(y)|2p
= E|KL(t − s, .)(x) − KL(t − s, .)(y)|2p ◦ θs
h
i
= E E|KL(t − s, .)(x) − KL(t − s, .)(y)|2p ◦ θs /Xs
Z
= P (Xs ∈ dz)E|KL(t − s, .)(x − z) − KL(t − s, .)(y − z)|2p dz.
Le Lemme 3.2.2 implique que
Z
P (Xs ∈ dz)E|KL(t − s, .)(x − z) − KL(t − s, .)(y − z)|2p dz
≤ Cp |t − s|2p(

α−1
)


|x − y|2p(

α−1
−γ)
2

.

Finalement, on obtient
kKL(t, .)(x) − KL(t, .)(y) − KL(s, .)(x) + KL(s, .)(y)k2p ≤ Cp |t − s|

α−1


|x − y|

α−1
−γ
2

,

et la preuve du lemme est ainsi achev´ee.
Nous terminons ce chapitre par le r´esultat suivant qui donne des r´egularit´es dans
les espaces de Besov anisotropiques du temps local et de la d´eriv´ee fractionnaire
g´en´eralis´ee du temps local L(t, x) du α-PSS.
Th´
eor`
eme 3.3.2. 1) La trajectoire (t, x) → L(t, x) appartient p.s. `a l’espace de
, α−1
), ν), p ≥ 1, pour tout ν > p1 .
Besov anisotropique Lip∗p (( α−1

2
2) Soient 0 < γ < α−1
et K ∈ {K±γ , K γ }. La trajectoire (t, x) → KL(t, .)(x)
2
∗ α−1 α−1
appartient p.s. `a Lipp (( 2α , 2 − γ), ν), p ≥ 1, pour tout ν > p1 .
R +∞
3) Dans le cas γ = 0 et sous la condition 1 l(y)
dy < ∞, la trajectoire (t, x) →
y
∗ α−1 α−1
KL(t, .)(x) appartient p.s. `a Lipp (( 2α , 2 ), ν), p ≥ 1, pour tout ν > p1 .
Preuve. Nous allons prouver 1) car les autres cas se traitent de la mˆeme fa¸con.
Notons que p.s. pour tout x ∈ R, L(0, x) = 0. Donc, C0,n (L) = 0. Par cons´equent,
d’apr`es le Th´eor`eme 2.7.2, il suffit de prouver que p.s.
−j( 12 − α−1
+ p1 )
2

lim

2

(1 + j)β

j→+∞

−j( 12 − α−1
+ p1 )


lim

(1 + j)ν
−j( 12 − α−1
+ p1 )


j→+∞

(1 +

 p1
|C1,n (L)|p  = 0,

n=2j +1



j+1
2
X



 p1
|Cn,0 (L)|p  = 0,

n=2j +1



2

j)ν

j+1
2
X



2

j→+∞

lim



j+1
2
X


n=2j +1

38

 p1
|Cn,1 (L)|p  = 0,

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov

−j( 12 − α−1
+ p1 ) −j 0 ( 21 − α−1
+ p1 )

2

lim

2

2
(1 + j + j 0 )ν

j,j 0 →+∞

o`
u,



j+1
2
X

 p1

0

j +1
2X

|Cn,n0 (L)|p  = 0.


n=2j +1 n0 =2j 0 +1


2k 0 − 1
2k 0 − 2
2k 0
C1,n (L) = 2 2L(1,
) − L(1,
) − L(1, j 0 ) ,
2j 0
2j 0
2


j
2k − 1
2k − 2
2k
Cn,0 (L) = 2 2 2L(
, 0) − L(
, 0) − L( j , 0) ,
2j
2j
2


j
2k − 1
2k − 2
2k
Cn,1 (L) = 2 2 2L(
, 1) − L(
, 1) − L( j , 1) .
2j
2j
2
j
2



Les trois premi`eres in´egalit´es se montrent par les mˆemes arguments utilis´es dans la
preuve du Lemme 3.2.3. Nous allons maintenant prouver la derni`ere in´egalit´e. On
´ecrit
j+j 0
2k − 2 2k 0 − 2
2− 2 Cn,n0 (L) = ∆2 1 ,1 ◦ ∆2 1 ,2 L( j+1 , j 0 +1 )
2
2
2j+1
2j+1
0
0
2k − 1 2k − 1
2k − 1 2k − 2
2k 2k 0 − 1
= 4L( j+1 , j 0 +1 ) − 2L( j+1 , j 0 +1 ) − 2L( j+1 , j 0 +1 )
2
2
2
2
2
2
0
0
0
2k − 1 2k
2k − 2 2k − 1
2k 2k − 2
− 2L( j+1 , j 0 +1 ) − 2L( j+1 , j 0 +1 ) + L( j+1 , j 0 +1 )
2
2
2
2
2
2
0
0
0
2k − 2 2k
2k − 2 2k − 2
2k 2k
+ L( j+1 , j 0 +1 ) + L( j+1 , j 0 +1 ) + f ( j+1 , j 0 +1 )
2
2
2
2
2
2
:= 2En,n0 (L) + 2Fn,n0 (L) + Gn,n0 (L),
o`
u,
En,n0 (L) = L(

2k − 1 2k 0 − 1
2k − 1 2k 0 − 2
,
)

L(
, j 0 +1 )
2j+1
2j 0 +1
2j+1
2

2k 2k 0 − 1
2k 2k 0 − 2
,
)
+
L(
,
),
2j+1 2j 0 +1
2j+1 2j 0 +1
2k − 1 2k 0 − 1
2k − 1 2k 0
Fn,n0 (L) = L( j+1 , j 0 +1 ) − L( j+1 , j 0 +1 )
2
2
2
2
0
2k − 2 2k − 1
2k − 2 2k 0
−L( j+1 , j 0 +1 ) + L( j+1 , j 0 +1 ),
2
2
2
2
0
0
2k 2k − 2
2k 2k
Gn,n0 (L) = L( j+1 , j 0 +1 ) − L( j+1 , j 0 +1 )
2
2
2
2
2k − 2 2k 0
2k − 2 2k 0 − 2
−L( j+1 , j 0 +1 ) + L( j+1 , j 0 +1 ).
2
2
2
2
Il suffit alors de montrer qu’on a p.s.
−L(

−j(− α−1
+ p1 ) −j 0 (− α−1
+ p1 )

2

lim

j,j 0 →+∞

2

2
(1 + j + j 0 )ν



j+1
2
X

0

j +1
2X


n=2j +1 n0 =2j 0 +1

39

 p1
|En,n0 (L)|p  = 0,

Chapitre 3. Certaines r´egularit´es dans les espaces de type Besov

−j(− α−1
+ p1 ) −j 0 (− α−1
+ p1 )

2

lim

2

j,j 0 →+∞

2
(1 + j + j 0 )ν

lim

2

2
(1 + j + j 0 )ν

 p1

0

j+1
2
X

j +1
2X

|Fn,n0 (L)|p  = 0,


n=2j +1 n0 =2j 0 +1

−j(− α−1
+ p1 ) −j 0 (− α−1
+ p1 )

2

j,j 0 →+∞





 p1

0

j+1
2
X

j +1
2X

|Gn,n0 (L)|p  = 0.


n=2j +1 n0 =2j 0 +1

Nous d´emontrons par exemple la premi`ere ´egalit´e.
Pour tout λ > 0, On pose


j+1
2
−j(− α−1
+ p1 ) −j 0 (− α−1
+ p1 )
X

2
2
2


I = P sup sup
(1 + j + j 0 )ν
j≥0 j 0 ≥0
j

 p1

0

j +1
2X

n=2 +1 n0 =2j 0 +1




|En,n0 (L)|p  > λ.

Par application de l’in´egalit´e de Tchebyshev, on a
j+1

α−1
α−1
1
1
0
2
1 X X 2−j(− 2α + p ) 2−j (− 2 + p ) X
I≤ p
λ j≥0 j 0 ≥0
(1 + j + j 0 )ν
j

0

j +1
2X

E|En,n0 (L)|p .

n=2 +1 n0 =2j 0 +1

Par d´efinition de En,n0 (L) et a` l’aide de (2.6), on d´eduit que
I≤

C XX
1
< ∞,
p
λ j≥0 j 0 ≥0 (1 + j + j 0 )pν

1
∀ν > .
p

Le r´esultat est une application simple du Lemme de Borel-Cantelli. Ceci termine la
d´emonstration du Th´eor`eme 3.3.2.

40

Chapitre 4
Certains th´
eor`
emes limites dans
les espaces de type Besov
Dans ce chapitre qui a fait l’objet de certains travaux de [5], [6], [8] et [68], nous
´etudions dans les espaces de type Besov, quelques th´eor`emes limites de certains
processus stochastiques associ´es aux α-PSS et mBf. Pour cela, nous d´emontrons
dans les espaces de Besov-Orlicz un nouveau crit`ere de tension, (voir [5]), et dans les
espaces de Besov standards et Besov anisotropiques, nous utilisons respectivement
les crit`eres de tension donn´es par Ait Ouahra et al. [2] et Boufoussi et Lakhel [25].

4.1

Th´
eor`
emes limites dans les espaces de BesovOrlicz
ω

,0

Nous allons ´etablir un crit`ere de tension dans les espaces de Besov-Orlicz BMµ,ν
β ,∞
pour β ≥ 1. On va suivre la technique utilis´ee par Ait Ouahra et al. [2] dans le cas
des espaces de Besov standards. Le th´eor`eme de Prohorov montre que la convergence
ω ,0
faible d’une suite de processus stochastiques dans BMµ,ν
pour β ≥ 1, est ´equivalente
β ,∞
a` la tension plus la convergence des lois fini-dimensionnelles de cette suite dans
ω ,0
ω
BMµ,ν
qui est s´eparable. La convergence faible dans BMµ,ν
qui n’est pas toujours
β ,∞
β ,∞
ω

,0

ω

s´eparable est d´eduite du fait que l’injection de BMµ,ν
vers BMµ,ν
est continue.
β ,∞
β ,∞

4.1.1

Tension dans les espaces de Besov-Orlicz

Lemme 4.1.1. Soient β > 0, ε > 0, 0 < µ < 1 et ν > 0. Notons
ωMβ (f, t)
.
0<t≤ε ωµ,ν (t)

Hε (f, µ, ν, Mβ ) = sup

Soit A l’espace des fonctions mesurables f : [0, 1] → R telles que
ω

sup kf kMµ,ν
< ∞,
β ,∞

(4.1)

f ∈A

et

lim sup sup Hε (f, µ, ν, Mβ ) = 0.
ε→0

f ∈A
ω

,0

Alors, A est relativement compact dans BMµ,ν
.
β ,∞
41

(4.2)

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
Pour prouver le Lemme 4.1.1, on a besoin du th´eor`eme suivant dont la preuve se
trouve dans Krasnosel’skii et Rutickii [55] (Th´eor`eme 11.4 - pp. 100). Ce th´eor`eme
est une extension du th´eor`eme de compacit´e de Kolmogorov-Riesz dans les espaces
d’Orlicz. Il a ´et´e g´en´eralis´e par Goes et Welland [44] dans le cas des espaces de
Kh¨ote.
Th´
eor`
eme 4.1.2. Notons EMβ ([0, 1]) la fermeture dans LMβ ([0, 1]) de l’espace des
fonctions born´ees. Soit A une partie born´ee dans EMβ ([0, 1]) satisfaisant:
Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour toute fonction f ∈ A, |h| < δ on ait
kf (x + h) − f (x)kMβ < ε. Alors, A est compacte dans EMβ ([0, 1]).
Preuve du Lemme 4.1.1. D’apr`es le Th´eor`eme 4.1.2, les conditions (4.1) et
(4.2) impliquent que A est relativement compacte dans EMβ ([0, 1]). Donc, de toute
suite (fn )n d’´el´ements de A, on peut extraire une sous suite, not´ee aussi (fn )n , qui
converge vers f ∈ EMβ ([0, 1]). Maintenant, pour achever la preuve, on montre les
deux r´esultats suivants:
ω ,0
f ∈ BMµ,ν
,
(4.3)
β ,∞
ω

,0

(fn )n est une suite de Cauchy dans BMµ,ν
.
β ,∞

(4.4)

D´emontrons (4.3). Puisque (fn )n converge dans EMβ ([0, 1]) vers f , alors (fn )n converge
vers f en norme de Luxemburg (voir Luxemburg [60]) et donc (fn )n converge en mesure vers f . Par cons´equent, on peut choisir une sous suite, not´ee aussi (fn )n , qui
converge vers f presque partout. Par application simple du lemme de Fatou, on
obtient
kf (. + h) − f (.)kMβ ≤ lim inf kfn (. + h) − fn (.)kMβ
n→∞

≤ sup kfn (. + h) − fn (.)kMβ .
n≥1

Donc, pour tout t ∈]0, 1], nous avons
ωMβ (f, t) ≤ sup ωMβ (fn , t),
n≥1

et de (4.1), on a
ωMβ (fn , t)
ωMβ (f, t)
≤ sup sup
< ∞.
ωµ,ν (t)
n≥1 0<t≤1
0<t≤1 ωµ,ν (t)
sup

De plus, (4.2) implique que pour tout ε > 0, il existe ε0 > 0 tel que pour tout n ≥ 1,
sup
0<t<ε0

ωMβ (fn , t)
< ε.
ωµ,ν (t)

Donc, ωMβ (f, t) = o(ωµ,ν (t)), quand t → 0. Ce qui compl`ete la preuve de (4.3).
Montrons maintenant (4.4). Soit n, m ≥ 0, on a
ωMβ (fn − fm , t)
.
ωµ,ν (t)
0<t≤1

ω

kfn − fm kMµ,ν
= kfn − fm kMβ + sup
β ,∞

42

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
Comme kfn − fm kMβ → 0, quand n, m → +∞, alors pour tout ε0 > 0 assez petit,
ωMβ ((fn − fm ), t)
ωµ,ν (t)
0<t≤1
sup

≤ sup
0<t≤ε0

ωMβ ((fn − fm ), t)
ωMβ ((fn − fm ), t)
+ sup
ωµ,ν (t)
ωµ,ν (t)
ε0 ≤t≤1

≤ Hε0 (fn − fm , µ, ν, Mβ ) +

2kfn − fm kMβ
minε0 ≤t≤1 ωµ,ν (t)

≤ Hε0 (fn , µ, ν, Mβ ) + Hε0 (fm , µ, ν, Mβ ) + C(µ, ν, ε0 )kfn − fm kMβ
≤ 3ε.
Ce qui compl`ete la preuve du lemme.
Lemme 4.1.3. Soit β > 0, 0 < µ < 1 et 0 < ν < ν 0 . Alors, toute partie born´ee de
ωµ,ν 0 ,0
ω
BMµ,ν
est
relativement
compacte
dans
B
.
,∞
M
β
β ,∞
Preuve. Ce lemme est une cons´equence imm´ediate des conditions (4.1) et (4.2) du
ω
.
lemme 4.1.1. Soit A une partie born´ee de BMµ,ν
β ,∞
ωµ,ν 0
ω
0
Il est clair que si 0 < ν < ν , alors kf kMβ ,∞ ≤ kf kMµ,ν
ce qui implique (4.1).
β ,∞
Pour (4.2), on a
ωMβ (f, t)
ωMβ (f, t)
≤ sup
ω0,ν−ν 0 (t)
0<t≤ε ωµ,ν 0 (t)
0<t≤ε ωµ,ν (t)

Hε (f, µ, ν 0 , Mβ ) = sup

ω

0 (t),
≤ Hε (f, µ, ν, Mβ )ω0,ν−ν 0 (t) ≤ kf kMµ,ν
ω
β ,∞ 0,ν−ν

ce qui entraˆıne que Hε (f, µ, ν 0 , Mβ ) → 0, quand ε → 0, car ν 0 − ν > 0 et le lemme
ω 0 ,0
.
pr´ec´edent implique que A est relativement compacte dans BMµ,ν
β ,∞
Lemme 4.1.4. Soit {Xtn ; t ∈ [0, 1]}n≥1 une suite de processus stochastiques d´efinie
sur (Ω, Σ, P ) satisfaisant les hypoth`eses suivantes:
1) X0n = 0, pour tout n ≥ 1.
2) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout (t, s) ∈ [0, 1]2 on ait
kXtn − Xsn kMβ (dP ) ≤ C|t − s|µ .

(4.5)
ω

,0

Alors, la famille de lois de {Xtn ; t ∈ [0, 1]}n≥1 est tendue dans BMµ,ν
, pour tout
β ,∞
β ≥ 1, 0 < µ < 1 et ν > 1.
Preuve. Nous allons prouver que pour tout ν > 1, il existe une constante C > 0,
telle que pour tout n ≥ 1, λ > 0 et 1 < ν 0 < ν,
n
o C
ω 0
P kX.n kMµ,ν
>
λ
≤ .
β ,∞
λ
La derni`ere in´egalit´e entraˆıne que pour tout ε > 0, il existe λ0 assez grand tel que,
n
o
ω 0
P kX.n kMµ,ν
>
λ
∀n ≥ 1.
0 ≤ ε,
β ,∞
43

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
D’apr`es la caract´erisation du Th´eor`eme 2.6.10, il suffit de prouver que
)
(
1
2−j( 2 −µ)
C
n
≤ ,
∀n ≥ 1,
I = P sup
0 kXj,. kMβ (dθ) > λ
ν
λ
j≥0 (1 + j)
avec

j

n
n
Xj,.
(k) = Xj,k
= 2 2 {2X n2k−1 − X n2k−2 − X n2k }.
2j+1

2j+1

2j+1

Par application de l’in´egalit´e de Tchebeshev, on a
1

1 X 2−j( 2 −µ)
n
I≤
EkXj,.
kMβ (dθ) .
λ j≥0 (1 + j)ν 0
La condition (4.5) du Lemme 4.1.4 implique que pour tout h ∈ R et t ∈ [0, 1] tel
que t + h et t − h restent dans [0, 1], l’existence d’une constante C > 0 telle que,
n
n
k2Xtn − Xt+h
− Xt−h
kMβ (dP) ≤ Chµ .

En particulier, pour t =

2k−1
2j+1

et h =

1
,
2j+1

on obtient
1

n
kXj,k
kMβ (dP ) ≤ C2j( 2 −µ) .
n
; k ∈ T } pour T = {1, ..., 2j },
Le Lemme 3.1.1 appliqu´e au processus {Z(k) = Xj,k
1
β = β 0 et d = C2j( 2 −µ) , entaˆıne l’existence d’une constante Cβ > 0 telle que,
1

n
EkXj,.
kMβ (dθ) ≤ Cβ 2j( 2 −µ) .

Donc,
I≤

Cβ X
1
C

, ∀ν 0 > 1.
0
λ j≥0 (1 + j)ν
λ

Ce qui termine la preuve du lemme 4.1.4.
Par la suite, nous pr´esentons quelques applications de notre crit`ere de tension.

4.1.2

Probl`
emes du temps d’occupation associ´
es aux α-PSS
et mBf

A) Cas de la d´
eriv´
ee fractionnaire et la transform´
ee de Hilbert
Nous nous int´eressons aux comportements asymptotiques des processus de la forme:
Z λt
1
f (Xsα )ds,
u(λ) 0
o`
u u est une certaine fonction, f est la d´eriv´ee fractionnaire d’ordre γ d’une certaine
fonction g h¨old´erienne d’ordre δ < γ et a` support compact, et X α est un α-PSS.
Ce genre de comportements asymptotiques a ´et´e ´etudi´e, dans l’espace des fonctions
continues, par Yamada [85] dans le cas α = 2, (i.e. X α est un mB), et Fitzsimmons
et Getoor [42] pour le α-PSS. Ce dernier r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e par Ait Ouahra
et Eddahbi [3] dans l’espace de H¨older et Ait Ouahra et al. [2] dans une classe des
espaces de Besov standards.
44

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
γ
et f = D+
g, o`
u g ∈ C δ est une fonction `a
Th´
eor`
eme 4.1.5. Soit 0 < γ < δ < α−1
2
support compact. Alors, la suite des processus,


Z nt
1
α
f (Xs )ds
,
γ
α−1
n α −α 0
t≥0

converge en loi, quand n → +∞, vers le processus
Z

γ
( g(x)dx)D− L(t, .)(0)

.

t≥0

R

ω α−1 − γ ,ν ,0

La convergence a lieu dans l’espace de Besov-Orlicz BM1α,∞

α

, pour tout ν > 1.

0
g , o`
u g ∈ C δ est une fonction `a support
Th´
eor`
eme 4.1.6. Soit δ > 0 et f = D+
compact. Alors, on a
1) la suite des processus,
(
)
Z nt
1
α
,
f (Xs )ds
α−1
n α log(n) 0
t≥0

converge en loi, quand n → +∞, vers le processus


Z
−1
−α ( g(x)dx)L(t, 0)
2) la suite des processus,

Z
1
n

α−1
α

.
t≥0

R

nt

(f (Xsα )



−1

log(n)g(Xsα ))ds

0


,
t≥0

converge en loi, quand n → +∞, vers le processus
Z

0
( g(x)dx)D− L(t, .)(0)

.

t≥0

R

ω α−1 ,ν ,0

Ces convergences ont lieu dans l’espace de Besov-Orlicz BM1α,∞

pour tout ν > 1.

Preuve du Th´
eor`
eme 4.1.5. Notons
Ant

=

Z

1
n

γ
α−1
−α
α

nt

f (Xsα )ds.

0

n
D’apr`es Fitzsimmons
et Getoor [42],
R
la famille {At , t ≥ 0}n≥1 converge en loi vers le
γ
processus ( R g(x)dx)D− L(t, .)(.) t≥0 dans l’espace des fonctions continues. Donc,
on a la convergence des lois fini-dimensionnelles de {Ant , t ≥ 0}n≥1 . Il reste `a montrer
ω α−1 − γ ,ν ,0

que cette famille est tendue dans BM1α,∞ α
pour tout ν > 1. Pour cela, il suffit
d’apr`es le Lemme 4.1.4, de prouver qu’il existe C > 0 telle que pour tous 0 ≤ t, s ≤ 1
on ait,
γ
α−1
kAnt − Ans kM1 (dP ) ≤ C|t − s| α − α .
45

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
La formule d’occupation et la formule de scaling entraˆınent que


Z nt
Z ns

1
α
α
n
n

f (Xu )du
f (Xu )du −
kAt − As kM1 (dP ) = α−1 − γ

n α α 0
0
M1 (dP )

Z
Z

γ
x
x

= nα
)dx

f
(x)L(s,
)dx
f
(x)L(t,
1
1




R
R
M1 (dP )

Z



γ
x
x
γ

= nα
)

L(s,
)
dx
.
D
g(x)
L(t,
1
1
+


α
α
n
n
R
M1 (dP )
La relation (2.15) donne
kAnt



Ans kM1 (dP )

Z




x
x
γ
γ

)

D
L(s,
.)(
)
dx
,
=
g(x)
D
L(t,
.)(
1
1






K
M1 (dP )

o`
u K est le support de g.
Or d’apr`es (2.20), on a
Z




x
x
γ
γ
g(x) D− L(t, .)( 1 ) − D− L(s, .)( 1 ) dx




K
M1 (dP )


Z

x
x
γ
γ

g(x) D−
dx

L(t,
.)(
)

D
L(s,
.)(
1
1 )


α
α
n
n
K
M1 (dP )


Z
γ

x
x
γ

kgk∞

dx.
D− L(t, .)( α1 ) − D− L(s, .)( α1 )
n
n
K
M1 (dP )
Donc, d’apr`es (2.16), on obtient
kAnt − Ans kM1 (dP ) ≤ C(α, γ)|t − s|

γ
α−1
−α
α

.

Ce qui termine la d´emonstration du Th´eor`eme 4.1.5.
Preuve du Th´
eor`
eme 4.1.6. Les convergences 1) et 2) du Th´eor`eme 4.1.12, ont
´et´e ´etablies par Fitzsimmons et Getoor [42] dans l’espace des fonctions continues.
Donc, on a la convergence des lois fini-dimensionnelles. Pour achever la preuve du
th´eor`eme, on doit montrer la tension.
Montrons 1). Posons
Z nt
1
n
f (Xsα )ds,
At = α−1
n α log(n) 0
ω α−1 ,ν ,0

et prouvons que Ant est tendue dans les espaces de Besov-Orlicz BM1α,∞ pour tout
ν > 1. Par les mˆemes arguments de la d´emonstration du Th´eor`eme 4.1.5 on a


Z
Z
1
x
x
0
−1
n
g(x)D− L(t, .)( 1 ) dx − α
g(x)L(t, 1 )dx
At d
log(n) R


R
=: Btn − Ctn .
Les mˆemes techniques de la d´emonstration du Th´eor`eme 4.1.5 donnent
kBtn − Bsn kM1 (dP ) ≤
46

α−1
C(α, γ)
|t − s| α .
log(n)

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
ω α−1 ,ν ,0

Donc, Btn converge en probabilit´e vers 0 dans l’espace BM1α,∞ pour tout ν > 1.


R
Montrons maintenant que Ctn converge en loi vers −α−1 ( R g(x)dx)L(t, 0) t≥0 dans
ω α−1 ,ν ,0

l’espace BM1α,∞

pour tout ν > 1. D’apr`es (2.20), on a



= α k g(x) L(t, 1 ) − L(s, 1 ) dxkM1 (dP )



R
Z
x
x
−1
≤α
kgk∞ kL(t, 1 ) − L(s, 1 )kM1 (dP ) dx,


K
o`
u K est le support compact de g.
La relation (2.4) implique que
kCtn

−1

Csn kM1 (dP )

Z

x

x

kCtn − Csn kM1 (dP ) ≤ C(α)|t − s|

α−1
α

.

ω α−1 ,ν ,0

Donc, Ctn est tendue dans BM1α,∞ pour tout ν > 1.
D´emontrons maintenant 2). De la mˆeme fa¸con on a


Z nt
Z
1
x
α
0
−1
α
(f (Xs ) + α log(n)g(Xs ))ds d
g(x)D−
L(t, .)( 1 )dx.
α−1

n α 0
R
Posons
Etn

Z

0
g(x)D−
L(t, .)(

x

t ∈ [0, 1],
1 )dx,

D’apr`es Fitzsimmons et Getoor [42], la suite
{Etn , t ∈ [0, 1]} converge
R des processus
0
en loi, quand n → +∞, vers le processus ( R g(x)dx)D− L(t, .)(0) t≥0 , et la convergence a lieu dans l’espace des fonctions continues. Pour conclure, on montre la tension
=

R

ω α−1 ,ν,0

de la suite (Etn ) dans BM1α,∞
kEtn



Esn kM1 (dP )

. D’apr`es la relation (2.20), on a


Z
=k

g(x)

0
D−
L(t, .)(

R

Z


0
kgk∞ kD−
L(t, .)(

K

≤ C(α)|t − s|

α−1
α

x
1


x
n

1
α

)−

0
D−
L(s, .)(

0
) − D−
L(s, .)(

x
1


x
1




) dxkM1 (dP )
)kM1 (dP ) dx

.

Ce qui termine la d´emonstration du Th´eor`eme 4.1.6.
Remarque 4.1.7. De la mˆeme fa¸con, on peut obtenir les g´en´eralisations des Th´eor`emes 10 (resp 11), dans Ait Ouahra et al. [4], dans les espaces de Besov-Orlicz
ω α−1 ,ν,0

ω α−1 ,ν,0

BM12α
, (resp BM1α,∞ ) pour tout ν > 1. Ces r´esultats ont ´et´e d´emontr´es dans le
,∞
cas o`
u la fonction f n’est pas une d´eriv´ee fractionnaire d’une fonction g.
B) Cas de la d´
eriv´
ee fractionnaire g´
en´
eralis´
ee

47

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
Nous allons ´etudier, dans les espaces de Besov-Orlicz, les th´eor`emes limites des
processus de la forme:
Z λt
1
f (Ysτ )ds,
λ1−τ (1+γ) 0
o`
u Y τ := {Ytτ ; t ≥ 0} est un α-PSS, (τ = α1 ), ou un mBf de param`etre de Hurst
H ∈ (0, 1), (τ = H), et f est de la forme f = K±l,γ g, γ > 0. On note que le cas γ = 0
n’est pas ´etudi´e ici.
On note {L(t, x); t ≥ 0, x ∈ R} le temps local du processus Y τ . D’apr`es les Lemmes
2.1.1, 2.1.2 et la Remarque 2.2.2, il existe une constante C > 0 telle que pour tout
entier p ≥ 1, tous 0 ≤ t, s ≤ 1 et tout (x, y) ∈ R2 ,
1

kL(t, x) − L(s, x)k2p ≤ C((2p)!) 2p |t − s|1−τ ,

(4.6)

1

kL(t, x) − L(t, y)k2p ≤ C((2p)!) 2p |x − y|δ ,

(4.7)

1
2p

kL(t, x) − L(s, x) − L(t, y) + L(s, y)k2p ≤ C((2p)!) |t − s|1−τ (1+δ) |x − y|δ , (4.8)
o`
u δ = δ0 =

1−τ


pour α-PSS et 0 < δ < δ0 =

1−τ
2+τ

< γ0 = 1 ∧

1−τ


pour mBf.

On a besoin du lemme suivant.
Lemme 4.1.8. Soit 0 < γ < δ et K ∈ {K±l,γ , K l,γ }. Il existe une constante C > 0
telle que pour tout 0 ≤ t, s ≤ 1, tout x ∈ R et n assez grand,

1
.
.
x
x


[l(nτ )]−1 K l( n−τ ),γ L(t, .)( τ ) − K l( n−τ ),γ L(s, .)( τ ) ≤ C((2p)!) 2p |t−s|1−τ (1+γ) .
n
n 2p
.

l(

Preuve. Nous traitons le cas K+ n−τ

),γ

. Les autres cas se d´emontrent d’une mani`ere
l(

.

similaire. Soit b = |t − s|τ . Par d´efinition de K+ n−τ
.

l(

[l(nτ )]−1 kK+ n−τ
1

|Γ(−γ)|

Z

1
+
|Γ(−γ)|

Z

0

b

b

),γ

L(t, .)(

),γ

, on obtient,

.
),γ
l( −τ
x
x
n
L(s, .)( τ )k2p
)

K
+
τ
n
n

l(nτ u) kL(t, nxτ + u) − L(s, nxτ + u) − L(t, nxτ ) + L(s, nxτ )k2p
du
l(nτ )
u1+γ

+∞

l(nτ u) kL(t, nxτ + u) − L(s, nxτ + u) − L(t, nxτ ) + L(s, nxτ )k2p
du
l(nτ )
u1+γ

=: J1 + J2 .
Nous estimons J1 et J2 s´epar´ement.
Estimation de J1 . D’apr`es (4.8), on a
1

J1 ≤ C((2p)!) 2p sup
u∈R+
1

≤ C((2p)!) 2p sup
u∈R+

l(nτ u)
|t − s|1−τ (1+δ) bδ−γ
l(nτ )
l(nτ u)
|t − s|1−τ (1+γ) .
τ
l(n )

48

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
Revenons a` l’estimation J2 . Le Th´eor`eme de Potter appliqu´e `a 0 < ξ < γ implique
l’existence de A(ξ) > 1 telle que,
u
l(nτ u) ≤ A(ξ)l(nτ b)( )ξ .
b
En combinant cette estimation avec (4.6), on obtient
1

J2 ≤ C((2p)!) 2p

l(nτ b)
|t − s|1−τ (1+γ) .
l(nτ )

Enfin, en utilisant le fait que
l(nτ u)
= 1,
n→+∞ l(nτ )
lim

nous obtenons le r´esultat.
Remarque 4.1.9. D’apr`es (2.19), pour tout 0 < γ < δ, il existe une constante
C > 0 telle que pour tout 0 ≤ t, s ≤ 1, tout x ∈ R et n assez grand,

.
.
l( −τ
),γ
x
x

τ −1 l( n−τ ),γ
n
≤ C|t − s|1−τ (1+γ) .
[l(n )] K±
L(t, .)( τ ) − K±
L(s, .)( τ )
n
n M1 (dP )
Th´
eor`
eme 4.1.10. Soit 0 < γ < δ. Supposons que f = K±l,γ g o`
u g ∈ C β ∩ L1 (R)
est `a support compact pour γ < β. Alors, quand n → +∞, la suite des processus,


Z nt
1−τ (1+γ)
τ −1
τ
[n
l(n )]
f (Ys )ds
,
0

t≥0

converge en loi vers le processus,
Z

γ
[ g(x)dx)]D∓ L(t, .)(0)

,
t≥0

R
ω

(1+γ),ν
dans l’espace de Besov-Orlicz BM1−τ
1 ,∞

,0

pour tout ν > 1.

Remarque 4.1.11. Notons que mˆeme si f n’est pas une d´eriv´ee fractionnaire d’une
fonction g, le processus limite est une d´eriv´ee fractionnaire du temps local.
Pour montrer le Th´eor`eme 4.1.10, on a besoin de la proposition suivante qui
est une simple application du calcul int´egral. Elle g´en´eralise le cas de la d´eriv´ee
fractionnaire cit´e dans la Remarque 2.5.3.
Proposition 4.1.12. Pour tout a > 0, la d´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee K l,γ
satisfait:
l( . ),γ
(4.9)
K±l,γ (ha ) = aγ (K± a )a .
Preuve du Th´
eor`
eme 4.1.10. 1) Cas de α-PSS. D’apr`es Fitzsimmons et Getoor
[42], (Remarque 3.18), les lois fini-dimensionnelles du processus,
Z nt
n
1−τ (1+γ)
τ −1
At = [n
l(n )]
f (Ysτ )ds,
0

49

Chapitre 4. Certains th´eor`emes limites dans les espaces de type Besov
convergent, quand n → +∞, vers les lois fini-dimensionnelles du processus,
Z
γ
[ g(x)dx]D∓
L(t, .)(0).
R

Donc, pour d´emontrer ce th´eor`eme, il suffit de montrer la tension de la famille
ω
(1+γ),ν ,0
{Ant , t ∈ [0, 1]} dans l’espace de Besov-Orlicz BM1−τ
pour tout ν > 1.
1 ,∞
Par application de la formule de densit´e d’occupation, la propri´et´e de scaling du
temps local et (2.15), on obtient


Z nt
Z ns


1
τ
n
n
τ

f (Yu )du
kAt −As kM1 (dP ) = τ 1−τ (1+γ)
f (Yu )du −

l(n )n
0
0
M1 (dP )
Z

Z


x
x

= nτ γ [l(nτ )]−1
f
(x)L(t,
)dx

f
(x)L(s,
)dx




R
R
M1 (dP )
Z

h
i


x
x
l,γ

= nγτ [l(nτ )]−1
K+ g(x) L(t, nτ ) − L(s, nτ ) dx
R
M1 (dP )
Z
i
h


.
.
l,γ
l,γ
γτ
τ −1
.
= n [l(n )] g(x) K− L(t, τ )(x) − K− L(s, τ )(x) dx

n
n
R
M1 (dP )
Par cons´equent, d’apr`es (4.9) et (2.20), nous obtenons
Z
l( . ),γ
.
l( −τ
),γ
x
x


n
n
τ −1
n−τ
n
)

K
)
dx
g(x)
K
L(t,
.)(
L(s,
.)(
kAt −As kM1 (dP ) ≤ C[l(n )]



τ
τ
n
n
M1 (dP )
S
Z
l( . ),γ
l( . ),γ
x
x


≤ C kgk∞ [l(nτ )]−1 K− n−τ L(t, .)( τ ) − K− n−τ L(s, .)( τ )
dx,
n
n
M1 (dP )
S
o`
u S = supp(g).
La Remarque 4.1.9 implique que pour n assez grand, on a
kAnt − Ans kM1 (dP ) ≤ C|t − s|1−τ (1+γ) .
2) Cas du mBf. En utilisant des arguments analogues a` ceux utilis´es dans Fitzsimmons et Getoor [42], (Remarque 3.18), dans le cas α-PSS, on obtient la convergence
des lois fini-dimensionnelles de la famille {Ant , t ∈ [0, 1]}. La tension se d´emontre da
la mˆeme fa¸con que le cas du α-PSS.
Enfin, le Lemme 4.1.4 termine la d´emonstration de notre r´esultat.
Remarque 4.1.13. Notons que pour le cas du mBf, le Th´eor`eme 4.1.10 est nouveau
mˆeme dans l’espace des fonctions continues.

4.1.3

Principe d’invariance de Donsker

Le r´esultat classique connu sous le nom du th´eor`eme de la limite centrale assure que pour toute suite de variables al´
eatoires r´eelles i.i.d. (Xn )n≥1 centr´ees, de
P
n
variance σ 2 finie, la suite σ√1 n k=1 Xk
converge en loi vers une variable al´ean≥1

toire suivant la loi normale standard. La version fonctionnelle du th´eor`eme de la
50


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