Thèse Sghir Aissa 2014.pdf


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Table des mati`
eres
1 Introduction

7

2 Pr´
eliminaires et notations
2.1 Processus stable sym´etrique (α-PSS) . . . . . . . . . . . .
2.2 Mouvement Brownien fractionnaire (mBf) . . . . . . . . .
2.3 Mouvement Brownien bifractionnaire (mBbf) . . . . . . . .
2.4 Mouvement Brownien sous-fractionnaire (mBsf) . . . . . .
2.5 D´eriv´ee fractionnaire g´en´eralis´ee et transform´ee de Hilbert
2.6 Espaces de Besov-Orlicz et espaces de Besov standards . .
2.7 Espaces de Besov anisotropiques . . . . . . . . . . . . . . .

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16
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18
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20
23
26

3 Certaines r´
egularit´
es dans les espaces de type Besov
29
3.1 R´egularit´es dans les espaces de Besov-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 R´egularit´es dans les espaces de Besov standards . . . . . . . . . . . . 33
3.3 R´egularit´es dans les espaces de Besov anisotropiques . . . . . . . . . 37
4 Certains th´
eor`
emes limites dans les espaces de type Besov
4.1 Th´eor`emes limites dans les espaces de Besov-Orlicz . . . . . . . . . .
4.1.1 Tension dans les espaces de Besov-Orlicz . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Probl`emes du temps d’occupation associ´es aux α-PSS et mBf
4.1.3 Principe d’invariance de Donsker . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Convergence faible vers le mBf dans les espaces de Besov standards .
4.3 Convergence faible vers le drap Brownien fractionnaire dans les espaces de Besov anisotropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
41
41
44
50
53
54

5 Approximation forte de certaines fonctionnelles additives associ´
ees
aux α-PSS et mBf
56
p
5.1 Approximation forte dans L (Cas α-PSS et mBf) . . . . . . . . . . 56
5.2 Approximation presque sˆ
ure (Cas α-PSS) . . . . . . . . . . . . . . . 60
6

Continuit´
e en loi
aux mBbf et mBsf
6.1 Cas du mBbf .
6.2 Cas du mBsf .

de certaines fonctionnelles additives associ´
ees
suivant leurs param`
etres
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75