OAF2TD2 Correctio .pdf


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Master1 MCO
S. M. Bahri
S2 - 2017
Outils d’Analyse Fonctionnelle 2
TD2 : Rappels sur le Complément Orthogonal
Correction écrite par l’étudiante Amina F araoun
Exercise 1 on a
1

jjfn

Zn2
p
2 1
2
0jj = ( n)2 dt = :
3 n
0

donc
lim jjfn

0jj = lim

n!1

n!1

r

2 1
: =0
3 n

ceci montre que fn ! 0 dans L2 ([0; 1])
cependant ,8n 2 N
p
fn (0) = n
et

lim fn (0) = 1

n!1

ceci montre que fn ne converge pas vers f = 0 point par point.
Exercise 2 Soit V = span f(1; 2; 1)g ;alors
V?
V?

= f(x1 ; x2 ; x3 ) :< (x1 ; x2 ; x3 ); (1; 2; 1) >= 0g
= f(x1 ; x2 ; x3 ) : x1 2x2 + x3 = 0g

Ainsi V ? correspond au plan de vecteur normal (1; 2; 1):
Exercise 3 Soit f (t) = 1, t 2 [0; 1], alors le complement orthogonal de f
s’ecrit:
Z 1
2
2
h 2 L [0; 1] : < f; h >= 0 = h 2 L [0; 1] :
h(t)dt = 0
0

il s’agit donc de l’ensemble des fonctions de L2 [0; 1] de moyenne nulle.
Exercise 4 (i) On sait que les fonctions f1; cos x; sin xg sont orthogonales.
Il reste a les normaliser pour avoir une B.O.N. Or, comme
Z

2

sin x dx =

Z

2

cos x dx =

1

et

Z

dx = 2 ;

alors les fonctions
e1 (x) =

1
1
1
;e2 (x) = cos x; e3 (x) = sin x
2

forment une B.O.N de V0
(ii) En e¤ et , on montre facilement que

Z

cos 2x cos x dx =

Z

sin 2x dx =

Z

Z

cos 2x sin xdx =

cos 2x dx = 0

Z

sin 2x cos xdx =

Z

sin 2x sin x dx = 0

ceci implique que V0 ? V1 :
(iii) A voir la projection orthogonal de f (x) = cos 3x dans V0 :
D’aprés les proprietés des fonctions trigonométriques cos 3x est orthogonale a
V0 ; donc la projection de cos 3x sur V0 est 0.
(iv) A voir la projection orthogonale de f (x) = x sur V0 : Soit

f00 (x)

1
1
= < f; 1 > + < f; cos(:) > cos x + < f; sin(:) > sin x
0
1
Z
1@
=
x sin x dxA sin x:

On a
1

Z

x sin kx dx =

2

Z

x sin kx dx =

2
k

( 1)k+1 =

2
( 1)k+1 :
k

0

Comme k = 1:
f00 (x) = 2 sin x
Pour la projection orthogonale de f (x) = x sur V1 ; de la même manière, on
trouve

2

f00 (x) =< f; cos(2:) > cos 2x+ < f; sin(2:) > sin 2x =

sin 2x

Exercise 5 1. Primo il est claire que les fonctions ' et sont orthogonales (voir cours).
A voir la projection orthogonale de f (x) = e x sur V0 = spanf'
, g;i.e.,
f0 (x) =< f; ' > '(x)+ < f;

> (x):

On a :

< f; ' >=

Z1

e

x

dx = 1

e

1

0

et
1

< f;

>=

Z2

e

x

dx

0

Z1

e

x

dx = 1

2e

1
2

+e

1

;

1
2

donc
f0 (x) = (1

e

1

)'(x) + (1

2e

1
2

+e

1

) (x):

2. Primo, notons que les fonctions (x); (x); (2x); (2x 1) sont orthogonales dans L2 mais elles ne sont pas toutes de module egale a 1.
En e¤ et, (x) et (x) sont de taille 1, mais (2x)et (2x 1)sont
toutes deux de taille p12 :Par conséquent l’ensemble suivant
p
p
B = f (x) ; (x); 2 (2x); 2 (2x

1)g

forme une B.O.N.
La projection de f (x) = x sur le sous- esp-vect de L2 engendré par
B est :
p
p
p
p
< x; > + < x; > + < x; 2 (2x) > 2 (2x)+ < x; 2 (2x 1) > 2 (2x 1)
qui est egale (aprs calcul) a
(x)

1
(x)
4

il s’agit donc du vecteur (1;

3

1
(2x)
8
1
1
1
4 ; 8 ; 8 ):

1
(2x
8

1)


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