conductance thermique .pdf


Nom original: conductance_thermique.pdfTitre: Chute de température le long d'une canalisation parcourue par un liquide chaud.

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Chute de température le long d'une analisation par ourue par un liquide
haud.

Résumé

Il s'agit d'étudier la hute de température d'un uide haud ir ulant à vitesse onstante dans une analisation ylindrique alorifugée et enterrée de sorte que l'on puissan e onsidérer la température extérieure xe. L'expression de la
ondu tan e thermique de la analisation est démontrée.

Résistan e thermique de la analisation.
La analisation est assimilée à un tuyau ylindrique de longueur L, en a ier, de rayon intérieur R1 , de rayon extérieur
(R1 +e1 ) entourée d'une gaine isolante d'épaisseur e2 et d'une gaine prote tri e en a ier d'épaisseur e3 . On note λa et λi les
ondu tivités thermiques respe tives de l'a ier et de l'isolant. Un uide haud y ir ule à la vitesse onstante V.

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e3
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R1
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R1+e1 1111111111
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e2
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fluide
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isolant
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Pour la démonstration, on s'intéresse à la variation de la température en fon tion de r, distan e à l'axe de symétrie de
la analisation.On suppose pour l'instant la température identique le long de la analisation, pour une valeur donnée de r.
On se pla e en régime permanent : la température ne dépend que de r. La température du uide est uniforme de valeur Tf ,
la température extérieure est uniforme de valeur Te . La puissan e thermique transmise par ondu tion du uide au milieu
extérieur à pour expression générale :
Pth = Gth . (Tf − Te )

ou Tf − Te = Rth .Pth

1

Rth est la résistan e thermique de la analisation ; Gth = R1th est sa ondu tan e thermique.
La puissan e thermique traversant un ylindre quel onque de rayon r à l'intérieur de la analisation est né essairement
Pth . Si ette puissan e thermique dépendait de r, la température de la analisation dépendrait né essairement du temps, e


qui est ex lu en régime permanent. Cette puissan e est le ux d'un ve teur densité de ux thermique jth dont l'expression
est fournie par la loi de Fourier :
−−→


jth = −grad (T )

Ce ve teur est radial, sa norme vaut :
jth

dT
= −λ
dr




dT
attention ! I i :
<0
dr

;

Son ux à travers un ylindre de longueur L et de rayon r s'é rit :
Pth = jth .2π.r.L = −2π.λ.L.r.

dT
dr

À une augmentation élémentaire dr de r, orrespond une variation élémentaire dT de température telle que :
dT = −

Pth
dr
·
2π.λ.L r

Si on intègre ette relation de Tf à Te et don de r = R1 à r=R1 +e1 +e2 +e3 , on obtient :

Pth  1
Te − Tf = −
2π.L λa


1 +e1

dr
1
+
r
λi

R1 +e
ˆ 1 +e2

dr
1
+
r
λa

R1 +e1

R1

R1 +eˆ
1 +e2 +e3
R1 +e1 +e2

Puisque le résistan e thermique de la analisation est dé nie par :
Rth =


dr 
r

Tf − Te
Pth

On obtient :
ln
Rth =



R1 +e1
R1



2π · λa · L

ln
+



R1 +e1 +e2
R1 +e1

2π · λi · L



ln
+



R1 +e1 +e2 +e3
R1 +e1 +e2

2π · λa · L



D'où la ondu tan e thermique par unité de longueur de la analisation :
gth



−1



R1 +e1 +e2
R1 +e1 +e2 +e3
1
ln
ln
ln R1R+e
R
+e
R
+e
+e
1
1
1
1
1
1
2

=
= 2π · 
+
+
L.Rth
λa
λi
λa

Conservation de l'énergie thermique
L'eau pénètre dans la analisation en x = 0 à une température T(0) nettement plus élevée que la température extérieure Te
onsidérée omme uniforme et xe le long de la analisation. J'imagine une tran he de analisation située entre les se tions
droites d'abs isses x et (x+dx). Je note Dm le débit massique du liquide dans la analisation et sa apa ité thermique
massique (si le uide est un gaz il faut pré iser : apa ité thermique massique isobare).
L'énergie thermique (on pourrait aussi dire l'enthalpie i i) entrant en x entre les instants de dates t et t+dt est égale au
produit de la masse entrante (Dm.dt) par l'enthalpie massique du uide entrant :
Dm .c.T(x) .dt

Cette énergie entrante peut s'é rire omme la somme de deux termes :
1° : L'énergie thermique sortant en (x+dx) entre les instants de dates t et (t+dt) ; elle a pour expression (raisonnement
analogue) :
Dm .c.T(x+dx) .dt

2° : l'énergie thermique perdue par ondu tion vers le milieu extérieur ; 'est à dire l'énergie traversant par ondu tion
thermique le tronçon de analisation de longueur dx. Si je note Te la température extérieure supposée xe tout le long
de la analisation, ette énergie perdue est le produit de la puissan e thermique à travers la analisation par la durée ; la
ondu tan e du tronçon de analisation de longueur dx étant gth .dx, ette énergie thermique perdue a pour expression :

gth .dx. T(x) − Te .dt

2

Remarque : si le régime n'était pas permanent, il faudrait tenir ompte de l'énergie absorbée ou édée par la tran he de
uide pour faire varier sa température en fon tion du temps...
La onservation de l'énergie thermique se traduit ainsi par l'égalité :

Dm .c.T(x) .dt = Dm .c.T(x+dx).dt + gth .dx. T(x) − Te .dt

La variation élémentaire de température est assimilable mathématiquement à une di érentielle :
dT(x)
· dx
dx

Tx+dx) − T(x) =

Les simpli ations onduisent à :
Dm · c ·

dT(x)
+ gth · T(x) = gth · Te
dx

Équation di érentielle du premier ordre très lassique... Évidemment, je suis resté dans l'hypothèse d'un é oulement
stationnaire : la température de l'eau dépend de x mais pas du temps. J'ai aussi supposé que la température du uide est
la même en tous points d'une même se tion droite. C'est une approximation qui me semble assez bonne dans le as d'un
é oulement.
L'expression du débit massique s'exprimer en fon tion de la vitesse d'é oulement V du uide, de l'aire S de la se tion
droite interne de la analisation et de la masse volumique du uide par :
Dm = ρ.S.V = ρ.π.R12 .V

En notant : δ =

Dm .c
gth

, l'équation di érentielle pré édente peut s'é rire :
T(x)
dT(x)
Te
+
=
dx
δ
δ

La solution générale est de la forme :
x

T(x) = A.e− δ + Te

En notant T(0) la température d'entrée dans la analisation, on obtient nalement :

x
T(x) = T(0) − Te · e− δ + Te

La température diminue ainsi exponentiellement en fon tion de la distan e par ourue par le uide dans la analisation.
La température de sortie de la analisation est ainsi :

L
T(L) = T(0) − Te · e− δ + Te

D'où l'expression du refroidissement du uide provoquée par la traversée de la analisation :


L
T(0) − T(L) = T(0) − Te · 1 − e− δ

Voi i un exemple d'appli ation numérique :

L = 500m ; T(0) = 90°C ; Te = 13°C ; λa = 26W · m−1 · K −1 ; λi = 35.10−3 W · m−1 · K −1
R1 = 10cm ; e1 = 0, 5cm ; e2 = 5, 0cm ; e3 = 3, 0cm ; V = 1, 0m/s ; c = 4, 18.103J.K −1 .kg −1
ρ = 103 kg.m−3

Le débit massique du liquide vaut :
Dm = ρ.π.R12 .V = 103 .π.10−2 .1 ≈ 31, 4kg/s

La ondu tan e linéique vaut :


gth = 2π · 

ln



R1 +e1
R1

λa



ln
+



R1 +e1 +e2
R1 +e1

λi



ln
+



R1 +e1 +e2 +e3
R1 +e1 +e2

λa

−1


=


ln( 10,5
10 )
26

+



ln( 15,5
10,5 )
0,035

La distan e ara téristique est ainsi :
δ=

31, 4 · 4, 18.103
Dm .c
=
≈ 2, 33.105m
gth
0, 564

3



+



18,5
ln( 15,5
)
26

≈ 0, 564W.K −1.m−1

La longueur de la analisation L est près de 500 fois inférieure à la distan e ara téristique. La hute de température du
uide provoquée par la traversée de la analisation est don très faible :




L
− 500
T(0) − T(L) = T(0) − Te · 1 − e− δ = 77 · 1 − e 2,33.105 ≈ 0, 165°C

Étude de quelques as parti uliers
Canalisation très mal isolée thermiquement.

On peut imaginer d'abord une analisation su samment mal isolée thermiquement et su samment longue de sorte que

L > 5δ . Par analogie ave l'étude de la dé harge exponentielle d'un ondensateur à travers une résistan e où on onsidère

le ondensateur dé hargé au bout d'une durée de l'ordre de 5 fois la onstante de temps, on peut onsidérer que le uide
atteind la température extérieure après un par ours d'environ 5δ . On obtient don :
T(L) ≈ Te

Canalisation très bien isolée thermiquement.

Il faut imaginer la analisation su samment bien isolée et pas trop longue pour que l'on ait : L ≪ δ . Il est alors possible
d'e e tuer un développement de l'exponentielle limité au deuxième ordre en Lδ :
L

e− δ ≈ 1 −

L 1
+
δ
2

2

2

2
L
L.gth
Gth
1 L.gth
1 Gth
=1−
= 1−
+
+
δ
Dm .c 2 Dm .c
Dm .c 2 Dm .c

où Gth désigne la ondu tivité de la analisation de longueur L. En se limitant au premier ordre du développement limité,
on ommet une erreur par défaut sur l'exponentielle don une erreur par ex ès sur le refroidissement. Le refroidissement est
don un peu inférieur à la valeur appro hée suivante :
Gth
T(0) − T(L) ≈ T(0) − Te ·
Dm .c

Remarque : Cette expression appro hée peut être obtenue dire tement, sans faire le raisonnement omplet, en appliquant
le prin ipe de onservation de l'énergie non pas à une tran he élémentaire de analisation mais à la analisation omplète.
L'énergie thermique entrante dans la analisation en x = 0 entre les instants de dates t et (t+dt) s'é rit : Dm .dt.c.T(0) .
Cette énergie est la somme de deux termes :
1° : l'énergie sortante entre t et (t+dt) en x = L. Un raisonnement analogue onduit à une expression : Dm .dt.c.T(L) .
2° : l'énergie perdue par ondu tion à travers la analisation. C'est à e niveau qu'intervient l'approximation : on suppose
le refroidissement su samment faible pour que le al ul de la puissan e Pth puisse se faire omme si le liquide restait à la
température d'entrée :
Pth ≈ Gth . T(0) − Te



e qui onduit à une expression appro hée de l'énergie perdue à travers la nanalisation : Pth .dt ≈ Gth . T(0) − Te .dt. La
onservation de l'énergie thermique onduit don à l'expression appro hée du refroidissement :
Soit :





Dm .c. T(0) − T(L) ≈ Gth . T(0) − Te
Gth
T(0) − T(L) ≈ T(0) − Te ·
Dm .c

La puissan e thermique perdue par unité de longueur diminue légèrement en fon tion de x puisque la température de l'eau
diminue légèrement en fon tion de x. L'expression appro hée de Pth obtenue est don légèrement majorée. Il en est de même
de l'expression appro hée du refroidissement. On arrive heureusement au même résultat qu'en e e tuant le développement
limité.
Si le but de l'étude se limite, dans le as d'un projet industriel plus omplexe, à s'assurer que la hute de température
est très faible, e raisonnement simpli é peut su re.
L'exemple numérique hoisi pré édemment relève de e as parti ulier puisque nous avions : L ≪ δ . La formule appro hée
de la diminution de température onduit à :
Gth
0, 564 · 500
≈ 0, 165°C
≈ 77 ·
T(0) − T(L) ≈ T(0) − Te ·
Dm .c
31, 4 · 4, 18.103

Au millième de degré près, la méthode simpli ée onduit à la même valeur du refroidissement. Un al ul plus pré is
montre que la méthode simpli ée onduit à un refroidissement seulement supérieur de 1, 77.10−4°C au résultat obtenue
par la méthode rigoureuse. Cet é art est évidemment totalement négligeable ompte tenu de la pré ision sur les données
numériques et ompte tenu des approximations faites : température indépendante de r à l'intérieur du uide en parti ulier...
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