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Institut préparatoire aux études

2017

d’ingénieurs de Tunis

MP3
Serie de revision:

Espaces vectoriels et applications linéaires

Exercise 1 .
Soit E un R-espace vectoriel.
On munit le produit cartésien E

E de l’addition usuelle

(x; y) + (x0 + y 0 ) = (x + x0 ; y + y 0 )
et de la multiplication externe par les complexes dé…nie par:
(a + i:b):(x; y) = (a:x
Montrer que E

b:y; a:y + b:x)

E est alors un C-espace vectoriel.

Celui-ci est appelé complexi…é de E.
1. Montrer que les parties de F ([ 1; 1]; R) suivantes sont des sous-espaces vectoriels :
Z 1
0
F = f 2 C ([ 1; 1]; R)=
f (x)dx = 0
1

0

G = ff 2 C ([ 1; 1]; R)jf constanteg

2. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C 0 ([ 1; 1]; R)
Exercise 2 .
1. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de RN
(a)

(un ) 2 RN =(un ) bornée

(b)

(un ) 2 RN =(un ) monotone

(c)

(un ) 2 RN =(un ) convergente

2. Soient E = F (R; R), C l’ensemble des fonctions de E croissantes
et

= ff

Montrer que

gjf; g 2 Cg
est un sous-espace vectoriel de E.

1

Exercise 3 .
1. Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que
F \G=F +G,F =G
2. Soient A et B deux parties d’un |-espace vectoriel E.
Montrer que
V ect(A [ B) = V ect(A) + V ect(B)
Exercise 4 .
1. On pose f1 ; f2 ; f3 ; f4 : [0; 2 ] ! R les fonctions dé…nies par :
f1 (x) = cosx, f2 (x) = x cos(x); f3 (x) = sin(x) et f4 (x) = x sin(x).
Montrer que la famille (f1 ; f2 ; f3 ; f4 ) est libre.
2. Pour tout entier 0

k

n, on pose fk : R ! R la fonction dé…nie par fk (x) = exp(kx)

Montrer que la famille (fk )0

k n

est une famille libre de F (R; R).

3. Soit (pn )n2N la suite strictement croissante des nombres premiers.
Montrer que la famille (ln(pn ))n2N est une famille libre du Q-espace vectoriel R.
Exercise 5 .
Soit n 2 N:
1. Pour k 2 f0; :::; ng, on pose Pk = (X + 1)k+1

X k+1 .

Montrer que la famille (P0 ; :::; Pn ) est libre .
2. Pour k 2 f0; :::; ng, on pose Qk = X k (1

X)n

k

Montrer que la famille (Q0 ; :::; Qn ) est libre.
Exercise 6 .
Soient E un |-espace vectoriel de dimension …nie et E1 ; :::En ; F1 ; :::; Fn des sous-espaces
vectoriels de E.

2

1. On suppose que E = F1 + +Fn :
Montrer qu’il existe G1 ; :::; Gn sous-espaces vectoriels tels que :
8i 2 f1; ::ng; Gi
2. On suppose que 8i 2 f1; ::ng; Ei

Fi et E = G1

Fi et

n
M
i=1

Montrer que 8i 2 f1; ::ng; Ei = Fi

Ei =

n
M

Gn
Fi :

i=1

Exercise 7 .
Soit E = Rn [X]. Soit ' l0 application dé…nie par: 8P 2 E; '(P ) = P (X + 1)

P (X).

1. Véri…er que ' est un endomorphisme de E.
2. Déterminer ker ' et Im '.
Exercise 8 .
Soient E un |-espace vectoriel et f 2 L(E) tel que: f 2

3f + 2Id = 0

1. Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f.
2. Etablir que ker(f Id) et ker(f 2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires
de E.
Exercise 9 .
Soient p et q deux projecteurs de E:
1. Montrer que p + q est un projecteur de E si et seulement si p q = q p = 0.
2. Montrer que p et q ont même noyau si et seulement si p = p q et q = q p:
Exercise 10 .
Soient f et g deux endomorphismes d’un | espace vectoriel E tel que f
1. Montrer que ker(g f ) = ker f et Im(g f ) = Im g:
2. Montrer E = ker f

Im g

3

g = Id:

3. Calculer (g f ) (g f )et caractériser g f
Exercise 11 .
Soient f et g deux endomorphismes de E:
1. Montrer que si f et g commutent, alors ker f et Im f sont stables par g:
2. Prouver que si f est un projecteur alors la réciproque est vraie.
Exercise 12 .
Montrer que deux formes linéaires non nulles ont même noyau,elles sont proportionnelles.
Exercise 13 .
Soit E un espace vectoriel de dimension n

1.

Soit f un endomorphisme de E tel que f n = 0 et f n

1

6= 0.

Montrer qu’il existe x un vecteur de E tel que la famille (x; f (x); :::; f n
une base de E:

1

(x)) constitue

Exercise 14 .
Soit f une application linéaire de E dans F .
1. Montrer que si u est injective alors pour tous sous-espaces vectoriels F et G en somme
directe, f (F ) et f (G) sont en somme directe.
2. Est-ce que la réciproque est vraie?
Exercise 15 .
Soient f et g deux endomorphismes de E (de dimension …nie).
On suppose que E = Im f + Im g = ker f + ker g:
1. Montrer que ces deux sommes sont directes.
2. Montrer que ce résultat n’est plus valable si on ne suppose pas dim E …ni.
Exercise 16 .
4

Soit E un |-espace de dimension …nie et u 2 L(E)
1. Montrer qu’il y’a équivalence entre :
(a) ker u = ker u2
(b) Im u = Im u2
(c) E = ker u

Im u

2. Donner des exemples d’endomorphismes véri…ant ces conditions
3. Le résultat subsiste-il en dimension in…nie?
Exercise 17 :
1. Soient E deux |-espace vectoriel de dimension …nie et f; g 2 L(E).
Montrer que rg(f + g)
puis que: jrg(f )

rg(g)j

rg(f ) + rg(g)
rg(f

g)

2. Soient E, F deux |-espaces vectoriels de dimensions …nies et f; g 2 L(E; F ).
(
Im f \ Im g = f0g
Montrer rg(f + g) = rg(f ) + rg(g) ()
,
ker f + ker g = E
Exercise 18 .
1. Soit f un endomorphisme de E; et deux scalaires distincts
Ker(f 2

( + )f +

Id) = Ker(f

Id)

et : Montrer que:
Ker(f

Id):

2. Le lemme de décomposition des noyaux: Soient u 2 L(E) un endomorphisme
et P1 ; :::; Pk des polynômes de |[X], deux-à-deux premiers entre-eux. On note P le
k
Q
polynôme produit
Pi :Alors
i=1

KerP (u) =

k
M

KerPi (u)

i=1

Indication:On note Qi le polynome P=Pi =

k
Q

j=1;j6=i

premiers entre eux dans leur ensemble.

5

Pj ;les polynomes (Qi )1

i k

sont


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