Critère d'Eisenstein .pdf


Nom original: Critère d'Eisenstein.pdfAuteur: Mickaël

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CONTENU D’UN POLYNÔME ET
CRITÈRE D’EISENSTEIN
On appelle contenu d’un polynôme non-nul 𝑹 ∈ ℤ[𝑿] et on note 𝒄(𝑹) le PGCD de ses coefficients.
Soient 𝑨 et 𝑩 deux polynômes non-nuls et 𝑷 un polynôme non-constant de ℤ[𝑿].
1. Prouver que si 𝒄(𝑨) = 𝒄(𝑩) = 𝟏 alors 𝒄(𝑨𝑩) = 𝟏.
2. Prouver que 𝒄(𝑨𝑩) = 𝒄(𝑨)𝒄(𝑩).
3. En déduire que 𝑷 est irréductible dans ℤ[𝑿] si et seulement s’il l’est dans ℚ[𝑿].
On pose 𝑨 = 𝒂𝒏 𝑿𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝑿𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝑿 + 𝒂𝟎 ∈ ℤ[𝑿] où 𝒏 ∈ ℕ∗ . On suppose qu’il existe un
nombre premier 𝒑 tel que :
i.
ii.
iii.

𝒑 ne divise pas 𝒂𝒏
𝒑 divise 𝒂𝒌 pour 𝟎 ≤ 𝒌 ≤ 𝒏 − 𝟏
𝒑² ne divise pas 𝒂𝟎

4. Prouver que 𝑨 est irréductible dans ℚ[𝑿].

1. Prouver que si 𝒄(𝑨) = 𝒄(𝑩) = 𝟏 alors 𝒄(𝑨𝑩) = 𝟏.
Procédons par l’absurde et supposons que 𝑐(𝐴) = 𝑐(𝐵) = 1 mais que 𝑐(𝐴𝐵) ≠ 1.
Alors il existe un nombre premier 𝑝 tel que 𝑝 divise tous les coefficients de 𝐴𝐵, de sorte que dans
̅.
ℤ/𝑝ℤ on a : ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 0
̅ ou 𝐵̅ = 0
̅ . Supposons
Comme 𝑝 est premier, ℤ/𝑝ℤ est intègre donc ℤ/𝑝ℤ[𝑋] l’est aussi, d’où : 𝐴̅ = 0
̅
̅
par exemple que 𝐴 = 0, c’est à dire que :
𝑛
𝑛
𝑛
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
∑ 𝑎𝑘 𝑋𝑘 = ∑ ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑘 𝑋𝑘 = ∑ ̅̅̅𝑋
𝑎𝑘 𝑘 = 0
𝑘=0

𝑘=0

𝑘=0

̅ . Autrement dit, 𝑝 diviser tous les coefficients de 𝐴, ce qui
Ainsi, pour tout 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛⟧, ̅̅̅
𝑎𝑘 = 0
̅.
contredit 𝑐 (𝐴) = 1. On procède de même si 𝐵̅ = 0
Cette contradiction assure que 𝑐(𝐴𝐵) = 1.
2. Prouver que 𝒄(𝑨𝑩) = 𝒄(𝑨)𝒄(𝑩).
On pose 𝐴 = 𝑐 (𝐴)𝐴1 et 𝐵 = 𝑐 (𝐵)𝐵1 de sorte que 𝐴1 et 𝐵1 soient de contenu 1. Alors :
𝑐 (𝐴𝐵) = 𝑐(𝑐 (𝐴)𝐴1 𝑐 (𝐵)𝐵1 ) = 𝑐 (𝐴)𝑐 (𝐵)𝑐 (𝐴1 𝐵1 ) = 𝑐(𝐴)𝑐(𝐵) car 𝑐(𝐴1 𝐵1 ) = 1 d’après la question 1.

3. En déduire que 𝑷 est irréductible dans ℤ[𝑿] si et seulement s’il l’est dans ℚ[𝑿].
Si 𝑃 est irréductible dans ℚ[𝑋] il l’est évidemment dans ℤ[𝑋].
Il reste à montrer que si 𝑃 est irréductible dans ℤ[𝑋] alors il l’est aussi dans ℚ[𝑋]. Supposons que ce
n’est pas le cas et que 𝑃 = 𝐴𝐵 où 𝐴 et 𝐵 sont dans ℚ[𝑋].
Notons 𝑚 le produit des dénominateurs des coefficients de 𝐴 et de 𝐵. Alors 𝐴1 = 𝑚𝐴 et 𝐵1 = 𝑚𝐵
sont dans ℤ[𝑋] d’où :
𝑚²𝑃 = 𝐴1 𝐵1
𝑚²𝑃 = 𝑐 (𝐴1 )𝐴2 𝑐 (𝐵1 )𝐵2
où 𝐴2 et 𝐵2 sont dans ℤ[𝑋] tels que 𝑐(𝐴2 ) = 𝑐 (𝐵2 ) = 1
𝑚² 𝑐(𝑃 ) = 𝑐 (𝐴1 )𝑐(𝐵1 )𝑐(𝐴2 𝐵2 ) = 𝑐 (𝐴1 )𝑐 (𝐵1 )
Des deux dernières lignes, on tire :

𝑚²𝑃 = 𝑚 2 𝑐(𝑃 )𝐴2 𝐵2 c’est à dire 𝑃 = 𝑐 (𝑃 )𝐴2 𝐵2

ce qui contredit le caractère irréductible de 𝑃 dans ℤ[𝑋]. On peut conclure que 𝑃 est irréductible
dans ℤ[𝑋] si et seulement s’il l’est dans ℚ[𝑋].

On pose 𝑨 = 𝒂𝒏 𝑿𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝑿𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝑿 + 𝒂𝟎 ∈ ℤ[𝑿] où 𝒏 ∈ ℕ∗ . On suppose qu’il existe un
nombre premier 𝒑 tel que :
i.
ii.
iii.

𝒑 ne divise pas 𝒂𝒏
𝒑 divise 𝒂𝒌 pour 𝟎 ≤ 𝒌 ≤ 𝒏 − 𝟏
𝒑² ne divise pas 𝒂𝟎

4. Prouver que 𝑨 est irréductible dans ℚ[𝑿].
On suppose par l’absurde que 𝐴 = 𝐵𝐶 où 𝐵 = ∑𝑟𝑘=0 𝑏𝑘 𝑋𝑘 , 𝐶 = ∑𝑠𝑘=0 𝑐𝑘 𝑋 𝑘 , 𝑏𝑟 𝑐𝑠 = 𝑏𝑘 , 𝑏0 𝑐0 = 𝑎0.
Nous avons vu qu’il suffit de prouver la propriété dans ℤ[𝑋].


Raisonnons sur les coefficients dominants dans ℤ/𝑝ℤ :
̅̅̅
̅ donc ̅̅̅
𝑏𝑟 𝑐̅𝑠 = ̅̅̅
𝑏𝑘 ≠ 0
𝑏𝑟 et 𝑐̅𝑠 ne peuvent pas être nuls.



Raisonnons sur les coefficients constants dans ℤ/𝑝ℤ :
̅ et comme ℤ/𝑝ℤ est intègre, ̅̅̅
̅ ou 𝑐̅0 = 0
̅ mais pas les
𝑝 divise 𝑎0 donc ̅̅̅
𝑏0 𝑐̅0 = ̅̅̅
𝑎0 = 0
𝑏0 = 0
deux sinon 𝑝² diviserait 𝑏0 𝑐0 = 𝑎0 ce qui est contraire aux hypothèses sur 𝑝.

̅ et 𝑐̅0 ≠ 0
̅ alors 𝐵̅ est de la forme ̅̅̅
Supposons par exemple que ̅̅̅
𝑏0 = 0
𝑏𝑟 𝑋 𝑟 + ⋯ + 𝑏̅𝑡 𝑋 𝑡 où 𝑡 ≥ 1.
̅ donc le 𝑡 𝑖è𝑚𝑒 coefficient de 𝐴̅ est non-nul. Or, seul
Alors 𝐴̅ = ̅̅̅
𝑏𝑟 𝑐̅𝑠 𝑋 𝑟+𝑠 + ⋯ + 𝑏̅𝑡 𝑐̅0 𝑋 𝑡 avec 𝑏̅𝑡 𝑐̅0 ≠ 0
le coefficient dominant est non-nul dans ℤ/𝑝ℤ mais 𝑡 ≤ 𝑟 < 𝑛. C’est absurde.
Le critère d’Eisenstein permet donc d’affirmer que 𝑃 est irréductible dans ℤ[𝑋], donc dans ℚ[𝑋].


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