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225e4547d33f05bed7e89145e79a152f .pdf


Nom original: 225e4547d33f05bed7e89145e79a152f.pdf
Titre: cours_Coniques
Auteur: TAREK AKIR

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Fiche de cours
Coniques

Maths au lycee *** Ali AKIR

4ème Maths

Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/

(

)

Dans le plan P rapporté à un repère orthonormé direct O ; i , j .

Définition ( conique)
Soit F un point , D une droite ne contenant pas F et e > 0.
On appelle conique d'excentricité e , de foyer F et de directrice D l'ensemble
MF


ζ = {M ∈℘/ MF = e.d(M , D )} =  M ∈℘/
= e  où H le projeté orthogonale de M sur la droite D.
MH



•Si e < 1 : on dit que ζ est une ellipse.
•Si e = 1 : on dit que ζ est une parabole.
•Si e > 1 : on dit que ζ est une hyperbole.
La droite ∆ passe par F et perpendiculaire à la directrice s'appelle l'axe focal de conique.

Parabole
Dans le cas où les vecteurs OF et i sont colinéaires,

Dans le cas où les vecteurs OF et j sont colinéaires

la courbe ℘ d'équation

la courbe℘ d'équation : x ² = 2 py

y² = 2 px

est appelée

( )

( )

parabole de sommet O=F*K, d'axe focal O ; i et de

est un parabole de sommet O=F*K, d'axe focal O ; j

paramètre p . Elle admet un foyer F de cordonnées

et de paramètre p . Elle admet un foyer F de

p
p 
 ,0  et une directrice D d'équation x = − .
2
2 
( K = D ∩ (xx' ) )

 p
cordonnées  0 ,  et une directrice D
 2
p
d'équation y = − .
2
( K = D ∩ ( yy' ) )

Soit M 0 (x 0 , y0 ) une point de ℘ . L'équation de

Soit M 0 (x 0 , y0 ) une point de ℘ . L'équation de

tangente T au point M 0 est : y0 y = p( x + x 0 )

tangente T au point M 0 est : x 0 x = p( y + y0 )

Hyperbole
Soit a>0 et b>0.
La courbe H d'équation

x ² y²

=1
a² b²

est appelée

( )

hyperbole de centre O, d'axe focale O ; i et


c
=
> 1 avec c² = a² + b²
a² a
Elle est constituée de deux composantes connexes H1 et
H2 et admet deux couples foyer-directrices
( F, D) et (F' , D'), avec F(c,0) , F'(-c,0) et D et D'
a a²
a

d'équation cartésiennes x = =
et x = − = −
e
c
e
c
Les points S et S' de cordonnées (a,0) et (-a,0) sont
appelés sommets de l'hyperbole H, qui admet
également deux asymptotes ∆ et ∆' d'équation
x y
x y
+ = 0 et − = 0
a b
a b
S et S' sont les barycentres respectifs des points (F,1) ,
(K,-e) et (F,1) et (K,-e) où K est le projeté orthogonale
de F sur D.
d'excentricité e = 1 +

La courbe H d'équation −

x² y²
x ² y²
+
=1
+
=1 −
a² b²
a² b²

( )

est une hyperbole de centre O d'axe focale O ; j et
b b²
foyer F(0,c), de directrice d'équation y = =
e
c
c
d'excentricité e =
avec c² = a² + b²
b
Elle est constituée de deux composantes connexes H1 et
H2 et admet deux couples foyer-directrices
( F, D) et (F' , D'), avec F(0,c) , F'(0,-c) et D et D'
b b²
b

d'équation cartésiennes y = =
et y = − = −
e
c
e
c
Les points S et S' de cordonnées (0,b) et (0,-b) sont
appelés sommets de l'hyperbole H, qui admet
également deux asymptotes ∆ et ∆' d'équation
x y
x y
+ = 0 et − = 0
a b
a b

Soit M 0 (x 0 , y0 ) une point de H. L'équation de tangente T au point M 0 est :

x 0 x y0 y

=1


1

Ellipse
Soit a ≥ b > 0 . Alors la courbe ξ d'équation

( )

Soit b > a > 0 . Alors la courbe ξ d'équation

( )

x ² y²
+
= 1 est appelée ellipse d'axe focal O ; i de
a² b²
demi grand axe a , de demi petit axe b et

x ² y²
+
= 1 est appelée ellipse d'axe focal O ; j de
b² a²
demi grand axe a , de demi petit axe b et


c
=
< 1 avec a² = c² + b²
a² a
C'est une conique admettant deux couples foyerdirectrices ( F, D) et (F' , D'), avec F(c,0) , F'(-c,0) , et
a a²
D et D' d'équation cartésiennes x = =
et
e
c
a

x=− =− .
e
c
Les points A(a,0) , B(0,b) C(-a,0) et D(0,-b) sont
appelés les sommets de l'ellipse ξ
A et C sont les sommets principaux ils sont les
barycentres respectifs des points (F,1) , (K,-e) et (F,1)
et (K,-e) où K est le projeté orthogonale de F sur D.

a² c
= < 1 avec c² = b² - a²
b² b
C'est une conique admettant deux couples foyer
directrices ( F, D) et (F' , D'), avec F(0,c) , F'(0,-c) , et
b b²
D et D' d'équation cartésiennes y = =
et
e
c
b

y=− =− .
e
c
Les points A(a,0) , B(0,b) C(-a,0) et D(0,-b) sont
appelés les sommets de l'ellipse ξ
B et D sont les sommets principaux ils sont les
barycentres respectifs des points (F,1) , (K,-e) et (F,1)
et (K,-e) où K est le projeté orthogonale de F sur D.

d'excentricité e = 1 −

d'excentricité e = 1 −

Soit M 0 (x 0 , y0 ) une point de ξ . L'équation de tangente T au point M 0 est :

x 0 x y0 y
+
=1



Ensembles des points
L'ensemble des points M(x,y) du plan tels que : Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 est une
AB
Courbe
AB = 0
Parabole ou deux droites parallèles ou une droite ou le vide
AB < 0
Hyperbole ou deux droites sécantes.
AB > 0
Ellipse ou cercle ou un points ou le vide.

2


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