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coniques cours .pdf



Nom original: coniques_cours.pdf
Auteur: ROUGIER

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CONIQUES
La plupart des démonstrations liées à ce fichier se trouvent dans le fichier « Exercices » et pourront être
effectuées à titre d’entraînement.

I. INTRODUCTION
Etymologiquement, une conique est une courbe plane obtenue en coupant un cône de révolution par un plan .
Les coniques propres obtenues ainsi sont les cercles, les ellipses, les paraboles, les hyperboles, mais dans certains cas,
l’intersection d’un cône et d’un plan donne un point , une droite ou deux droites, ce sont des coniques impropres ou
dégénérées.
Plusieurs définitions des coniques sont possibles (foyers et directrice, définition bifocale,..), la seule qui englobe tous
les cas particuliers est la définition analytique suivante : une conique est une courbe plane définie par une équation
qui peut s’écrire sous la forme ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 (étude dans le §V)

II. DEFINITIONS PAR FOYER, DIRECTRICE ET EXCENTRICITE
1. Définitions
Soit F un point du plan, e un réel > 0, et D une droite ne contenant pas F,
on appelle conique de foyer F, d’excentricité e, et de directrice D, l’ensemble Γ des points M du plan P tels que :
MF=e × d(M,D) où d(M,D) est la distance de M à la droite D.
On peut aussi noter donner la définition
ainsi :

M ∈ Γ ⇔ MF = eMH où H est le projeté orthogonal de M sur D

Si 0< e < 1, la conique Γ est une ellipse

D directrice
H

M

∆ axe focal

Si e = 1, la conique Γ est une parabole
F

Si e > 1, la conique Γ est une hyperbole

H’

M’

Sur le dessin ci-dessus , on a MF = eMH avec e
tel que 0< e < 1 (e de l’ordre de 0,6)
1

On appelle axe focal de la conique la droite perpendiculaire à D et passant par F.
L'axe focal d'une conique est un axe de symétrie pour la conique.
Un sommet de la conique est un point d'intersection entre la conique et son axe focal.

M
N

F

D directrice

H’

H



Parabole (e=1) : MF=MH et NF=NH’

Quatre coniques ayant même foyer et même
directrice

2. Sommets sur l’axe focal
Une conique C étant donnée par un foyer F, son excentricité e et une directrice D , cherchons les points de l’axe
focal qui appartiennent à la conique. Soit K est le projeté orthogonal de F sur D.
Les points M cherchés doivent vérifier MF=e × d(M,D) , soit ici MF=eMK, les points M,F,K étant alignés.

♦ Si e=1 MF=MK entraîne que le seul point de la conique sur l’axe focal est le milieu S de [ FK ] (sommet de C )
JJJJG
JJJJG
JJJJG JJJJG
♦ Sinon MF=eMK, les points M,F,K étant alignés, cela entraîne que MF = eMK ou MF = −eMK
Il y a donc deux points appelés sommets qui appartiennent à la conique et qui sont sur l’axe focal:
JJJG
JJG
J
JJJG JJJG G
JJJG
e JJJG
FK
S tel que SF = −eSK soit SF + eSK = 0 , S est le barycentre de ( F ,1);( K , e) , on a donc FS =
1+ e
S
JJJJG
JJJJG
JJJJG JJJJG G
JJJG −e JJJG
et : S’ tel que S ' F = eS ' K soit S ' F − eS ' K = 0 , S’ est le barycentre de ( F ,1);( K , −e) , on a donc FS =
FK
1− e
Cas e=1 : parabole

K

S

F
SF=SK

D
D directrice
D

Cas e>1 : hyperbole

Axe focal

Axe focal

S

K

Cas 0<e<1 : ellipse

K

S

F

Axe focal
S’

D directrice Dessin avec e=0,5
SF=eSK

2

S’

K

S

F

Dessin avec e=2
SF=eSK
D

directrice

III. EQUATION REDUITE ET FORME DES CONIQUES : PREMIERE APPROCHE
1. Paraboles
Soit F un point du plan, e un réel > 0, et D une droite ne contenant pas F,
On considère la parabole P de foyer F, d’excentricité e=1, et de directrice D.
C’est l’ensemble des points M du plan P tels que MF=d(M,D) ou encore M ∈ P ⇔ MF = MH où H est le projeté
orthogonal de M sur D

Soit K le projeté orthogonal de F sur D .

y

D

G G
Considérons un repère orthonormé ( O, i , j ) où O est
G 1 JJJG
le milieu de [ FK ] et i =
KF .

G
j

KF
Notons p=KF, p est appelé le paramètre de la parabole
Alors, dans ce repère, de l’égalité définissant la
parabole MF=d(M,D), on déduit

K

x

G
i



une équation réduite de la parabole y² = 2px
(cf. exercice CO 1)

M

H

2. Ellipses

Soit F un point du plan, e un réel de ]0;1[ , et D une droite ne contenant pas F.
On considère l’ellipse E de foyer F, d’excentricité e, et de directrice D.
C’est l’ensemble des points M du plan P tels que MF=ed(M,D) ou encore M ∈ E ⇔ MF = eMH où H est le projeté
orthogonal de M sur D
E admet deux sommets S et S' (cf.II2) où S est le barycentre de ( F ,1);( K , e) ,et S’ est le barycentre de ( F ,1);( K , −e) ,

Considérons un repère orthonormal

G G

( O, i , j ) tel que O est

D Directrice

le milieu de [ SS '] et avec K projeté orthogonal de F sur D,
G 1 JJJG
i=
OS .
OS

H
G
j

Notons a = OS , c = OF et b = a 2 − c 2
Alors, dans ce repère, de l’égalité définissant l’ ellipse
MF=ed(M,D), on déduit
une équation réduite de l’ellipse

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

G
i

K

Axe focal

Dessin avec a=5, b=3, c=4, e=0,8
MF=eMH, SF=eSK, S’F=eSK

(cf. exercice CO 2)

♦ L’équation réduite étant invariante par transformation de x en –x et de y en –y, on en déduit que les ellipses
admettent deux axes de de symétrie (Ox) et (Oy) et donc un centre de symétrie O.
x2 y 2
x2
2
2
+
=
,
on
déduit
1
y
=
b
1

et donc que l’ellipse E est la réunion des courbes des fonctions
a 2 b2
a2
b 2
b 2
x→
a − x 2 et x → −
a − x 2 . Ces deux courbes sont symétriques par rapport à (Ox), et les fonctions sont
a
a
toutes deux définies sur [ −a ; a ]

♦ De

3

3.Hyperboles
Soit F un point du plan, e un réel e>1 et D une droite ne contenant pas F.
On considère l’hyperbole H de foyer F, d’excentricité e, et de directrice D.
C’est l’ensemble des points M du plan P tels que MF=ed(M,D) ou encore M ∈ H ⇔ MF = eMH où H est le projeté
orthogonal de M sur D
H admet deux sommets S et S' (cf.II2) où S est le barycentre de ( F ,1);( K , e) ,et S’ est le barycentre de ( F ,1);( K , −e) ,
Considérons un repère orthonormal

G G

( O, i , j ) tel que O est le

milieu de [ SS '] et avec K projeté orthogonal de F sur D,
G 1 JJJG
i=
OS . Notons a = OS , c = OF et b = c 2 − a 2
OS

H
G
j

G
i

Alors, dans ce repère, de l’égalité définissant l’ hyperbole
MF=ed(M,D), on déduit
x2 y 2
une équation réduite de l’hyperbole

=1
a 2 b2

(cf. exercice CO 2)

K

Dessin avec a=3, c=6, e=1,5
MF=eMH, SF=eSK et S’F=eS’K

♦ L’équation réduite étant invariante par transformation de x en –x et de y en –y, on en déduit que les ellipses
admettent deux axes de symétrie (Ox) et (Oy) et donc un centre de symétrie O.
x2 y 2
x2
♦ De 2 − 2 = 1 , on déduit y 2 = b 2 2 − 1 et donc que l’hyperbole H est la réunion des courbes des fonctions
a
a
b
b 2
b 2
x→
x − a 2 et x → −
x − a 2 . Ces deux courbes sont symétriques par rapport à (Ox), et les fonctions sont
a
a
toutes deux définies sur  −∞; −a  ∪  a; +∞ 

IV. PARABOLES, ELLIPSES ET HYPERBOLES
1. Paraboles
Soit p un réel non nul.
11. Courbes
♦ Paraboles d’axe (Ox)

G G
p 
Dans un repère orthonormé O, i , j la courbe d’équation y 2 = 2 px est la parabole de foyer F  ,0  et de directrice
2 
−p
d’équation x =
. p est le paramètre de la parabole, O est le sommet de la parabole
2

(

)

La parabole d’équation y 2 = 2 px est la réunion des courbes des fonctions x → 2 px et x → − 2 px symétriques
par rapport à (Ox)

4

Parabole
y 2 = 2 px
avec p < 0

Parabole
y 2 = 2 px
avec p > 0

p

x = −p

−p

2

2

x= p

2

2

♦ Paraboles d’axe (Oy)

G G
 p
Dans un repère orthonormé O, i , j la courbe d’équation x 2 = 2 py est la parabole de foyer F  0,  et de directrice
 2
−p
d’équation y =
. p est le paramètre de la parabole. O est le sommet de la parabole
2

(

)

Parabole
x 2 = 2 py
avec p > 0

Parabole
x 2 = 2 py
avec p < 0

Directrice y = p 2

−p
p

Directrice y = − p

2

2

2

12. Remarques
Quelques éléments pour retrouver rapidement la forme des paraboles à partir d’une équation :
1 2
♦ Pour une équation x 2 = 2 py , ou y =
x du type y = kx 2 , la parabole a (Oy) comme axe de symétrie comme
2p

la courbe d’équation y = x 2

5

De plus x 2 = 2 py ⇒ y =

 si p > 0, pour tout x, y ≥ 0
1 2
x donc 
2p
 si p < 0, pour tout x, y ≤ 0

♦ Pour une équation y 2 = 2 px , la parabole est la réunion des courbes des fonctions x → 2 px et x → − 2 px ,

Ces deux courbes sont symétriques par rapport à (Ox), et les fonctions sont toutes deux définies sur [ 0, +∞[ si p>0 et
définies sur ]−∞, 0] si p<0
13. Tangentes
Equation et « règle du dédoublement »:
Pour une parabole
d’équation : y 2 = 2 px : une équation de la tangente en M 0 est : yy0 = p ( x + x0 )

Pour une parabole
d’équation : x 2 = 2 py : une équation de la tangente en M 0 est : xx0 = p ( y + y0 )
exercice, ces équations se retrouvent très facilement en utilisant la « règle du
Démonstration en
dédoublement »
En passant de l’équation de la courbe à l’équation de la tangente, x 2 → xx0 , y 2 → yy0 , 2 x → ( x + x0 ) et 2 y → ( y + y0 )
Propriété géométrique
T étant le point d’intersection de la tangente en M 0 avec la directrice D
La tangente ( M 0T ) est la médiatrice de [ FH ] , et le triangle M 0 FT est un triangle rectangle en F.
T

M0

H

D directrice

H

T

M0
D directrice

2. Ellipses
21. Courbes
Soient a>0 et b>0

(

G G

)

Dans un repère orthonormé O, i , j , soit E la courbe d’équation

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

- si a=b, E est un cercle
-et si a ≠ b , E est une ellipse de sommets A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) et B’(0,-b), de centre O

Toute ellipse admet exactement deux foyers et deux directrices associées.

6

x2 y2
+
= 1 avec a > b
a 2 b2

Ellipse

x2 y2
+
= 1 avec a < b
a 2 b2

Ellipse

Axe focal (Ox)

Axe focal (Oy)

Avec c = a − b , foyers F(c,0) et F’(-c,0)
c
a2
Directrices x = ±
, excentricité e =
a
c

Avec c = b − a 2 , foyers F(0,c) et F’(0,-c)
c
b2
Directrices y = ±
, excentricité e =
b
c

2

2

2

b
b

a

a

x2 y 2
+
= 1 avec a>b, a est souvent appelé le « demi grand axe » et b le
a 2 b2
« demi petit axe » (grand axe=2a et petit axe =2b). Dans le cas où a<b, c’est b qui est appelé le « demi grand axe »
et a le « demi petit axe ».
Remarque : Pour une ellipse E d’équation

22. Tangentes
Equation et « règle du dédoublement »:
xx
yy
x2 y 2
Pour une ellipse d’équation : 2 + 2 = 1 : une équation de la tangente en M 0 est : 20 + 20 = 1
a
b
a
b

Démonstration en exercice, cela se retrouve très facilement en
utilisant la « règle du dédoublement »
On passe de l’équation de la courbe à l’équation de la tangente,
x 2 → xx0 , y 2 → yy0
Propriété géométrique
T étant le point d’intersection de la tangente en M 0 avec la
directrice D, le triangle M 0 FT est un triangle rectangle en F

7

D directrice

M0
T

3. Hyperboles
31. Courbes
Soient a>0 et b>0

(

G G

)

Dans un repère orthonormé O, i , j , les courbes H1 et H2 d’équations respectives

x2 y 2
x2 y 2

=
1
et

= −1
a 2 b2
a 2 b2

sont des hyperboles de centre 0, d’axes (Ox) et(Oy)
Toute hyperbole admet exactement deux foyers et deux directrices associées.

Hyperbole

x2 y2

=1
a 2 b2

Hyperbole

x2 y2
y2 x2

=

1
ou
encore

=1
a 2 b2
b2 a 2

b
Axe focal (Ox), asymptotes y = ± x
a

b
Axe focal (Oy), asymptotes y = ± x
a

Avec c = a 2 + b 2 , foyers F(c,0) et F’(-c,0)
a2
c
Directrices D ,D’ x = ±
, excentricité e =
c
a

Avec c = a 2 + b 2 , foyers F(0,c) et F’(0,-c)
b2
c
Directrices D ,D’ y = ±
, excentricité e =
c
b
b
y=− x
a

b
y=− x
a

y=

c

a
b

a

b

b
x
a

D
c

x

x

D’

y=

b
x
a D’

D

- si a=b, l’hyperbole est dite équilatère
Propriété : Dans le repère ayant pour axes les asymptotes ∆ et ∆', l'équation de l'hyperbole est de la forme xy = k .
k
(on retrouve les fonctions x → )
x

(cf. exercice)
32. Tangentes

Equation et « règle du dédoublement »:
xx
yy
x2 y 2
Pour une hyperbole d’équation : 2 − 2 = 1 : une équation de la tangente en M 0 est : 20 − 20 = 1
a
b
a
b
8

Pour une hyperbole d’équation :

xx
yy
x2 y 2
− 2 = −1 : une équation de la tangente en M 0 est : 20 − 20 = −1
2
a
b
a
b

Démonstration en exercice. Ces équations se retrouvent très facilement en utilisant la « règle du dédoublement »
On passe de l’équation de la courbe à l’équation de la tangente, x 2 → xx0 , y 2 → yy0
Propriété géométrique
T étant le point d’intersection de la tangente à l’hyperbole en M 0 avec la directrice D, le triangle M 0 FT est un triangle
rectangle en F

M0

T

T
M0

D’

4. Définition bifocale des ellipses et des hyperboles
41. Ellipses
Propriété 1 : Soit E une ellipse de foyers F et F’, de grand axe [ A ' A] , de centre O . Si on note a=OA, alors , pour
tout point M de l’ellipse

MF + MF ' = 2a

Propriété 2 : Etant donnés deux points F et F’ tels que FF’=2c et un réel a>c, l’ensemble des points M du plan tels
que MF + MF ' = 2a est l’ellipse de foyers F et F’ et dont la longueur du grand axe est égale à 2a
Application : construction d’une ellipse :ovale des jardiniers
pour tracer une ellipse, on peut fixer les extrémités d’une ficelle en deux points (F et F’), la ficelle étant de longueur
l=2a avec l> FF’. On peut ensuite faire coulisser un stylo le long de la ficelle tendue.
La position du stylo étant notée M , à tout instant on a MF+MF= l =2a. Le stylo décrit bien l’ellipse de foyer Fet F’ .
Ce principe est utilisé par les jardiniers pour tracer des parterres ovoïdes. Une corde étant attachée à ses extrémités à
deux pieux, en faisant coulisser un morceau de bois, ils peuvent ainsi tracer un sillon dans le sol.
42. Hyperboles
Propriété 1 : Soit H une hyperbole de foyers F et F’, de sommets A et A’, de centre O . Si on note a=OA, alors ,
pour tout point M de l’ hyperbole

MF − MF ' = 2a

9

Propriété 2 : Etant donnés deux points F et F’ tels que FF’=2c et un réel 0<a<c, l’ensemble des points M du plan
tels que MF − MF ' = 2a est l’ hyperbole de foyers F et F’ et dont la distance entre les sommets est égale à 2a

V. EQUATION GENERALE DES CONIQUES

(

G G

)

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé O, i , j : dans le cas le plus général, une conique Γ est une courbe
d'équation P( x, y ) = ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f = 0 avec ( a, b, c, d , e ) ≠ ( 0,0,0,0,0 )
2

2

Différents cas se présentent : le plus trivial est celui où ( a, b, c ) = ( 0,0,0 ) , on obtient alors une droite (conique
dégénérée)

2
2
1. Equation du type ax + cy + dx + ey + f = 0 avec ( a , c ) ≠ ( 0,0 )
On se place ici dans le cas où dans l’équation , il n’y a pas de terme en xy , ( b=0)
si a=0 et d ≠ 0 ou si c=0 et e ≠ 0 , Γ est une parabole
(l’équation contient au moins un terme en x 2 , pas de terme en y 2 et un terme en y , ou l’équation contient au moins

un terme en y 2 , pas de terme en x 2 et un terme en x)
si a ≠ 0 et c ≠ 0
--si a=c (coefficient de x 2 = coefficient de y 2 ) Γ est un cercle, un point ou l'ensemble vide
--si a et c sont de même signe alors Γ est une ellipse, un point ou l'ensemble vide
--si a et c sont de signe contraire alors Γ est une hyperbole, ou deux droites

Quelques exemples représentatifs à étudier soigneusement :
Equation 1 : 2 x 2 + x − 3 y + 5 = 0

( e1 )

( l’équation contient au moins un terme en x 2 , pas de terme en y 2 et un terme en y)

( e1 ) ⇔ 2  x 2 +


1 
x  = 3y − 5
2 

(on utilise ensuite la mise sous forme canonique c’est à dire qu’on écrit x 2 +

1
x sous la forme de ( x + ...) 2 =
2

2
2
2

1
1
1
1
1
3
13


( e1 ) ⇔ 2  x +  −  = 3 y − 5 soit ( e1 ) ⇔ 2  x +  = 3 y − 5 + donc ( e1 ) ⇔  x +  =  y − 
4  16 
4
8
4
2
8



1

X = x − xI = x +

G
G
G
G

 −1 13 
4
Soit I  ;  ), si M ( x, y ) dans le repère I , i , j , alors M ( X , Y ) dans I , i , j avec 
 4 8
Y = y − y = y − 13
I

8
G G
3
2
Donc dans le repère I , i , j , l’équation devient X 2 = Y ou Y = X 2 la conique est donc une parabole d’axe (IY),
2
3
de sommet I
3
13
13
(remarque X 2 = Y ⇒ Y ≥ 0 donc y ≥
la courbe est « au dessus » de la droite d’équation y=
)
2
8
8

(

(



)

(

)

)

Equation 2 4 x 2 + 2 y 2 + 3 x − y + 1 = 0 (termes en en x 2 et en y 2 précédés de coefficients de même signe donc

Γ est une ellipse, un point ou l'ensemble vide)
3 
1 


4 x 2 + 2 y 2 + 3x − y + 1 = 0 ⇔ 4  x 2 + x  + 2  y 2 − y  + 1 = 0 (on utilise ensuite la mise sous forme canonique
4 
2 


3
1
c’est à dire qu’on fait apparaître dans x 2 + x un développement de ( x + ...) 2 et idem avec y 2 − y )
4
2

10

2
2


3  9
1
1
donc M ( x, y ) ∈ Γ ⇔ 4  x +  −  + 2  y −  −  + 1 = 0
2  4 
4  16 


2

2

2

2

3
1  65
32 
3  16 
1
8


ou
de
donc M ( x, y ) ∈ Γ ⇔ 4  x +  + 2  y −  =
 x +  +  y −  = 1 en multipliant par
65
2
4
8
65 
2  65 
4


manière à faire apparaître 1 dans le second membre
2

2

3
1


x+ 
y− 
2
4
on a donc M ( x, y ) ∈ Γ ⇔ 
+
= 1 ceci nous montre que la conique est une ellipse de centre
65
65
32
16
G G
X2 Y2
−3 1
I( ; ) (dans le repère I , i , j , l’équation deviendrait
+
= 1) ,
65 65
2 4
32 16
2
2
65
65
65
x
y
ellipse du type 2 + 2 = 1 avec a < b ici a =
, b=
=
ellipse d’axe focal (IY)
32
16
4
a
b

(



)

Equation 3 3 x 2 + 3 y 2 + 6 x − 9 y + 1 = 0 (coefficient de x 2 = coefficient de y 2 )

Γ est un cercle, un point ou

l'ensemble vide
M ( x, y ) ∈ Γ ⇔ x 2 + y 2 + 2 x − 3 y +

1
= 0 donc M ( x, y ) ∈ Γ ⇔
3

( x + 1)

2

2

3 9 1

− 1 +  y −  − + = 0 donc
2 4 3


2

3  35

M ( x, y ) ∈ Γ ⇔ ( x + 1) +  y −  =
2  12

2

3
La conique est donc le cercle de centre I( −1; ) et de rayon
2



35
12

Equation 4 : −4 x 2 + 2 y 2 + x − 3 y + 1 = 0

2
2


1 
3 
1
1
3  9


M ( x, y ) ∈ Γ ⇔ −4  x 2 − x  + 2  y 2 − y  + 1 = 0 soit encore −4  x −  −  + 2  y −  −  + 1 = 0
4 
2 
4  16 
2  4 




2

2

1
3


2
2
x− 
y− 
1
3
13
4
2




M ( x, y ) ∈ Γ ⇔ −4  x −  + 2  y −  =
soit encore − 
+
=1
13
13
4
2
4




16
8
1

 X = x − 4
X2 Y2
1 3
Avec 
(c’est à dire en prenant I  ;  comme nouvelle origine , on obtient −
+
=1
13 13
4 2
Y = y − 3
16
8

2

11

Y
Soit une équation du type
X2 Y2
13
13
− 2 + 2 = 1 avec a =
et b =
a
b
16
8

Hyperbole d’équation

La conique est donc une hyperbole de centre I, d’axe focal (Iy)
dont les asymptotes ont pour équation, asymptotes Y = ± 2 X
3
1

soit y − = ± 2  x − 
2
4

39
39
39
Avec c = a 2 + b 2 =
=
, les foyers F(0,Y=
) et
4
16
4
F’(0,Y= -

−4 x 2 + 2 y 2 + x − 3 y + 1 = 0

X

39
)
4

Directrices D ,D’ Y = ±

13
4
13
×

8
39
2 3

2. Equations du type P( x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 avec

b≠0

La différence par rapport au paragraphe précédent vient du fait que l’équation contient un terme en xy.
Mais, en fait , on peut toujours se ramener au cas où b=0 , ceci par un changement de repère bien choisi (cf
paragraphe 22)
21. Approche rapide : équation aux pentes

Considèrons P( x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f




A( x, y )
B( x, y)
De la même manière que pour une fonction , pour déterminer les pentes des asymptotes obliques (directions
f ( x)
y
asymptotiques) il faut d’abord chercher lim
, ici, on fait apparaître l’expression m = et on s'intéresse au
x →±∞
x
x
comportement de l'expression quand x et y tendent vers l'infini, leur rapport m restant constant
En divisant par x 2 l’équation initiale , cela donne

a + 2b  y x  + c  y x 




On a donc A( x, y )

2

+ 2d ( 1 x ) + 2e  y


x




2+

f (1 x 2 ) = 0

2

x2

y
 y
= a + 2b + c   = cm 2 + 2bm + a
x
x
2

y
 y
+ c   = cm 2 + 2bm + a , les autres devenant négligeables .
x
x
Méthode : On étudie l’ équation du second degré : cm2 + 2bm + a =0 (équation aux pentes)

On ne considère que a + 2b

si B( x, y ) ≠ 0 ( B ( x, y ) = 2dx + 2ey + f )

Discussion selon les racines de : cm2 + 2bm + a = 0
--si l'équation n'a pas de racine : il n'y a pas de branches à l'infini , la conique est une ellipse

12

--si l'équation a 2 racines distinctes m1 et m2 : il y a 2 branches à l'infini, la conique est une hyperbole

d’asymptotes de pentes m1 et m2
--si l'équation a une racine double m1 alors, il n'y a qu'une branche à l'infini, la conique est une parabole d’axe de

pente m1
Exemple : x 2 + y 2 − 2 xy + 2 x + y + 1 = 0 ,
on divise par x 2 l’équation initiale
y2
y
1 y
1
1+ 2 − 2 + 2 + 2 + 2 = 0
x
x
x x
x
2
l'équation aux pentes est m 2 − 2m + 1 = 0 soit ( m − 1) = 0 il y a 1 racine double m = 1.
C'est une parabole dont l'axe est parallèle à la droite de pente m (m=1) , soit y = x
si B( x, y ) = 0 ( B( x, y ) = 2dx + 2ey + f )

P( x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 = 0 , discussion selon les racines de : cm2 + 2bm + a = 0
--si l'équation n'a pas de racine : il n'y a pas de points qui vérifient l’équation P( x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 = 0
--si l'équation a 2 racines distinctes m1 et m2 : la conique est dégénérée :
on a deux droites d’équation y = m1 x et y = m2 x

--si l'équation a une racine double m1 : la conique est dégénérée on a une droite d’équation y = m1 x
Exemple : pour 6 x 2 − xy − y 2 = 0 , l’équation aux pentes est − m 2 − m + 6 = 0 , elle admet m = 2 et m = −3 comme
solution donc l’ensemble des points qui vérifient 6 x 2 − xy − y 2 = 0 est la réunion des deux droites d’équation

y = 2 x et y = −3x
(cf. autre méthode en exercice CO )
22. Centre de la conique
On se place ici dans le cas où la conique est non dégénérée B ( x, y ) = 2dx + 2ey + f ≠ 0
Dans le cas où la conique est une conique à centre (cercle, ellipse, hyperbole) :

Les coordonnées xo et yo du centre sont solution de :

∂ P ( x, y )
∂ P ( x, y )
= 0 et
=0
∂x
∂y

Si ce système n’a pas de solution, la conique est une parabole
2 x − 2 y + 2 = 0
x 2 + y 2 − 2 xy + 2 x + y + 1 = 0 , le système s’écrit 
2 y − 2 x + 1 = 0
Le système n’a pas de solution donc la conique est une parabole.

Exemple : Pour

23. Axes de symétrie d’une hyperbole:

Les axes de symétrie d’une hyperbole sont les bissectrices des asymptotes ,
ils font un angle ϕ et ϕ + π/2 avec les axes de coordonnées avec tan 2ϕ =
ils passent par le centre (xo, yo) de l’hyperbole, d'où leur équation :
(cf. exercice)

13

m1 + m2
2b
=
1 − m1m2 a − c

y − yo − 1
y − yo
= tgϕ et
=
x − xo
x − xo tgϕ

VI. PARAMETRAGES ET COORDONNEES POLAIRES
1. Représentations paramétriques des coniques
 x = R cosθ
♦ Un paramétrage d’un cercle C de centre O et de rayon R est 
 y = R sin θ

θ ∈ [ −π ;π [

 x = R cosθ
Cela signifie qu’un point M(x,y) appartient à C si et seulement si il existe un réel θ de [ −π ;π [ tel que 
 y = R sin θ
 x = x0 + R cosθ

 y = y0 + R sin θ

♦ Un paramétrage d’un cercle C de centre I ( x0 ; y0 ) et de rayon R est

♦ Un paramétrage d’une ellipse de centre O d’équation

♦ Un paramétrage d’une ellipse d’équation
 x = x0 + a cosθ

 y = y0 + b sin θ





( x − x0 )
a2

2

+

 x = a cosθ
x2 y 2
+ 2 = 1 est 
2
a
b
 y = b sin θ

( y − y0 )
b2

θ ∈ [ −π ;π [

θ ∈ [ −π ;π [

2

= 1 de centre I ( x0 ; y0 ) est

θ ∈ [ −π ;π [


t2
=
x

Un paramétrage d’une parabole d’équation y 2 = 2 px est 
2p
y = t


t ∈\

x = t

Un paramétrage d’une parabole d’équation x = 2 py est 
t ∈\
t2
=
y

2p

 x = cht
x2 y 2
Un paramétrage d’une hyperbole d’équation 2 − 2 = 1 est 
t ∈\
a
b
 y = sht
2

2. Equation polaire d’une conique, l’origine étant au foyer
Soit O point origine, soit D une droite ne passant pas par O,
choisissons (Ox) orthogonale à D. Soit d le réel tel que
l’équation de D peut s’écrire x=d.
Un point M appartient à la conique de foyer O et d’excentricité
e ( e > 0 ) et de directrice D si OM = eMH ( MF = eMH où F
foyer) qui équivaut à OM 2 = e 2 MH 2
Cette égalité donne en coordonnées polaires :
r 2 = e 2 (r cos θ − d ) 2 d’où r = ± e( r cos θ − d )
on obtient en résolvant en r, r =

H

θ
d

M
(Ox) axe focal

O

D

ed
ed
ou r =
1 + e cos θ
1 − e cos θ

Ces deux équations représentent la même courbe : il suffit de changer θ en π − θ pour s’en convaincre.

14

L’équation de la conique de foyer O, de directrice D x=d, et d’excentricité est donc r =
Propriété : Soient p et e deux réels positifs. La courbe d’équation polaire r =

ed
1 + e cos θ

p
est une conique non
1 + e cos θ

dégénérée d’excentricité e et de foyer O.

VII. RESUME ET APPLICATIONS DES CONIQUES
1. Résumé

Equation d'une conique
Dans un repère orthonormé,
l'équation d'une conique est de Ax² + By² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0 avec (A, B, C)
la forme :

(0, 0, 0)

Equation réduite d'une conique
Dans des repères orthonormés
judicieusement choisis, les coniques
ont les équations suivantes appelées
équations réduites :

Parabole
Si l'équation est
x² = 2py, on permute
dans les résultats
précédents abscisse
et ordonnée.

Equation réduite
dans le repère
G G
( Ω, i , j ) :

Equations réduites
Paraboles

x2 y2
+
=1
a 2 b2

Hyperboles

x2 y2
y2 x2

=
1
ou

=1
a 2 b2
b2 a 2

y² = 2px



Excentricité

e=1

Directrice

(p constante réelle non nulle)

Ellipses

Sommet

Foyer

y² = 2px ou x² = 2py

F(p/2 , 0 )
D : x = −p/2

15

Ellipse
Equation réduite
x2 y2
G G
+
= 1 a>b
dans (Ω, i , j )
a 2 b2
Centre (de
Ω milieu de [F, F']
symétrie)
Excentricité
e = c/a , e < 1 , c = a 2 − b 2
Foyers
F( c , 0) et F'(−c , 0 )
D : x = a²/c,
Directrices
et D' : x = −a²/c
si a < b, on permute dans les résultats précédents a et b
ainsi qu'abscisse et ordonnée

Définition
bifocale :

Γ = {M P, MF + MF' = 2a}

Hyperboles
Equation réduite

x2 y2

=1
a 2 b2

Centre (de
symétrie)

Ω milieu de [F, F']

Excentricité

e = c/a , e > 1

Foyers

F( c , 0) et F'(−c , 0 )

Directrices

D: x=

a2
c

, et D' : x = −

a2
c

Avec c = a 2 + b 2
Asymptotes
Définition
bifocale
Si l'équation est

b
a

b
a

∆ : y = x , et ∆' : y = − x
Γ = {M P, |MF − MF'| = 2a}
x2 y2
y2 x2

=

1
ou
encore

= 1 , on permute dans les résultats précédents
a 2 b2
b2 a 2

a et b , ainsi qu'abscisse et ordonnée.

16

2.Quelques applications pratiques des coniques
21.Parabole

Pour des récepteurs paraboliques des
rayons parallèles à l'axe sont concentrés
au foyer de la parabole cette propriété est
utilisée dans les antennes de télévision par
satellites, certains radars, les fours
solaires, plus approximativement, les
phares de voitures etc.

22. Ellipse

* Dans le métro parisien certaines stations
en profondeur ont une section partiellement
elliptique (figure), les 2 points gris
représentent les foyers de l'ellipse.
2 personnes placées sur ces foyers peuvent
parfaitement converser, en attendant leur
métro, sans être obligées d'élever la voix

Extrait du livre "Fulgence Bienvenüe et la construction du métropolitain de Paris" Claude Berton et Alexandre
Ossadzow
"Stations en profondeur
La voûte de celles-ci a la forme d’une parfaite ellipse […]. L’ellipse se dessine autour de 2 foyers et présente la
particularité que tous les sons émis dans un plan transversal à partir d’un des foyers se regroupent, après réflexion
sur la paroi courbe, sur l’autre foyer.
Lorsque, quelques années après l’ouverture, les contrôleurs et contrôleuses seront logés exactement aux foyers, ils
pourront ainsi, éloignés de 14 m, se parler d’un quai à l’autre sans besoin d’élever la voix".

17


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