formulaire coniques .pdf


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1

L’ellipse
Ellipse centrée en O(0, 0)
Axe focal Ox

Axe focal Oy

y2
x2
+
=1
a2
b2

y2
x2
+
=1
b2
a2

a>b

a<b

Sommets
A(a, 0)
A0 (−a, 0)
B(0, b)
B 0 (0, −b)

A(0, a)
A0 (0, −a)
B(b, 0)
B 0 (−b, 0)
Foyers

F (c, 0)
F 0 (−c, 0)

F (0, c)
F 0 (0, −c)
c2 = a2 − b2
Tangente au point A(xA , yA )

xxA
yyA
+ 2 =1
a2
b

yyA
xxA
+ 2 =1
a2
b

Ellipse centrée en C(xC , yC )
Axe focal Ox

Axe focal Oy

(x − xC )2
(y − yC )2
+
=1
2
a
b2

(x − xC )2
(yy c)2
+
=1
2
b
a2

a>b

a<b
Sommets

A(a + xC , yC )
A0 (−a + xC , yC )
B(xC , b + yC )
B 0 (xC , −b + yC )

A(xC , a + yC )
A0 (xC , −a + yC )
B(b + xC , yC )
B 0 (−bxC , yC )
Foyers

F (c + xC , yC )
F 0 (−c + xC , yC )

F (xC , c + yC )
F 0 (xC , −c + yC )
c2 = a2 − b2
Tangente au point A(xA , yA )

(x − xC )xA
(y − yC )yA
+
=1
2
a
b2

(y − yC )yA
(x − xC )xA
+
=1
2
a
b2

1

2

L’hyperbole
Hyperbole centrée en O(0, 0)
Axe focal Ox

Axe focal Oy

y2
x2

=1
a2
b2

x2
y2

=1
a2
b2

Sommets
A(a, 0)
A0 (−a, 0)

A(0, a)
A0 (0, −a)
Foyers

F (c, 0)
F 0 (−c, 0)

F (0, c)
F 0 (0, −c)
c2 = a2 + b2
Asymptotes

b
AO ≡ y = ± x
a

Tangente au point A(xA , yA )

xxA
yyA
− 2 =1
2
a
b

a
AO ≡ y = ± x
b
yyA
xxA
− 2 =1
2
a
b

Hyperbole centrée en C(xC , yC )
Axe focal Ox

Axe focal Oy

(x − xC )2
(y − yC )2

=1
a2
b2

(y − yC )2
(x − xC )2

=1
a2
b2
Sommets

A(a + xC , yC )
A0 (−a + xC , yC )

A(xC , a + yC )
A0 (xC , −a + yC )
Foyers

F (c + xC , yC )
F 0 (−c + xC , yC )

F (xC , c + yC )
F 0 (xC , −c + yC )
c2 = a2 − b2
Asymptotes

b
a
AO ≡ (y − yC ) = ± (x − xC )
AO ≡ (y − yC ) = ± (x − xC )
a
b
Tangente au point A(xA , yA )
(x − xC )xA
(y − yC )yA

=1
a2
b2

(y − yC )yA
(x − xC )xA

=1
a2
b2

2

3

La parabole
Parabole de sommet O(0, 0)
Axe focal Ox

Axe focal Oy

y 2 = 2px

x2 = 2py
p > 0 : parabole dirigée vers les axes positifs

p < 0 : parabole dirigée vers les axes négatifs

Sommets
S(0, 0)
F :

p
2

S(0, 0)
Foyers

p
F : 0,
2


,0
Directrice

p
d≡x=−
2

d≡y=−
Tangente au point A(xA , yA )

yyA = p(x + xA )

p
2

xxA = p(y + yA )

Parabole de sommet S(xC , yC )
Axe focal Ox

Axe focal Oy

(y − yC )2 = 2p(x − xC )

(x − xC )2 = 2p(y − yC )

p > 0 : parabole dirigée vers les axes positifs
p < 0 : parabole dirigée vers les axes négatifs
Sommets
S(xC , yC )
F

p
2

S(xC , yC )
Foyers

+ xX , yC

d ≡ x = xC −


p
F xC , yC +
2


p
2

Directrice

d ≡ y = yC −
Tangente au point A(xA , yA )

(y − yC )yA = p(x − xC + xA )

p
2

(x − xC )xA = p(y − yC + yA )

3


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