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CNED Seconde Maths Sequence 03 .pdf



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Séquence 3
Expressions algébriques
Équations et inéquations
Sommaire
1. Prérequis
2. Expressions algébriques
3. Équations : résolution graphique et algébrique
4. Inéquations : résolution graphique et algébrique
5. Algorithmique
6. Synthèse de la séquence
7. Exercices d’approfondissement

Séquence 3 – MA20

1

© Cned – Académie en ligne

1 Prérequis
A

Expressions algébriques ; somme
et produit
Une expression algébrique est composée de nombres, de lettres, de parenthèses,
d’opérations et de fonctions qui les relient. Par exemple, ( x 2 + 5x − 4 )( xy + 9 )
est une expression algébrique.
Si les expressions algébriques nous sont maintenant familières, il a fallu attendre
le XVIe siècle et le mathématicien français François Viète (1540-1603) pour avoir
l’idée de remplacer des inconnues ou des paramètres par des lettres.
Il est important dans les expressions algébriques de savoir distinguer les sommes
des produits.
Une expression algébrique est une somme si la dernière opération avant d’obtenir
le résultat est une addition et une expression algébrique est un produit si cette
dernière opération est une multiplication.

Exemples

A = a + b , B = x + 2, C = x 2 + 1, D = (n + 1)2 (n 2 + 1) + n 2 , E = 5x 4 − 45x 2
sont des exemples de somme.
F = ab ,G = 3x ,H = x ( x + 2),I = ( x + 2)( x − 2), J = (a + b + c )(a − b − c )
sont des exemples de produit.

B

À propos des solutions d’une
équation ou d’une inéquation


Équations

Définition 1

Définition 2

Une solution d’une équation est une
valeur de l’inconnue x pour laquelle
l’égalité est vraie.

Résoudre une équation, c’est trouver
l’ensemble de ses solutions.

Par exemple, 3 est solution de l équation

Nous n avons pas résolu l équation
x 3 − 3 = 2x 2 + 2x car nous ne savons pas si
cette équation admet d’autres solutions.

3

2

x − 3 = 2x + 2x
car 33 − 3 = 2 × 32 + 2 × 3( = 24 ).

Séquence 3 – MA20

3

© Cned – Académie en ligne

Équation du premier degré
Vous avez appris en troisième à résoudre des équations du premier degré.
Revoyons en un exemple.
Exemple

Résoudre l’équation 3x − 5 = 7x + 4
On peut rajouter 5 aux deux membres de l’équation soit :
3x − 5 + 5 = 7x + 4 + 5 soit 3x = 7x + 9
Ensuite, on peut retrancher 7x aux deux membres de l’équation, soit :
3x − 7x = 7x + 9 − 7x soit −4 x = 9

1
et en multipliant les deux membres par − (ce qui revient au même que diviser
4
9
par −4 ), il vient x = − .
4
On écrit alors habituellement que l’ensemble des solutions de cette équation est
9
9
− sous la forme : = { − }.
4
4


Inéquations

Soit l’inéquation x 2 ≤ 6 x − 4.
Remplaçons x par 6 ; on obtient 36 ≤ 36 − 4 , ce qui est faux.
On dit que le nombre réel 6 n’est pas solution de l’inéquation x 2 ≤ 6 x − 4.
Remplaçons maintenant x par 5 ; on obtient 25 ≤ 30 − 4 , ce qui est vrai.
On dit que le nombre réel 5 est solution de l’inéquation x 2 ≤ 6 x − 4.
1
On verrait de même que 0 n’est pas solution, ni
mais que 2 et 3 sont
2
solutions.
Définition 1

Définition 2

Une solution d’une inéquation est une
valeur de l’inconnue x pour laquelle
l’inégalité est vraie.

Résoudre une inéquation, c’est déterminer l’ensemble de ses solutions, c’est-àdire toutes les valeurs de l’inconnue x
pour laquelle l’inégalité est vraie.

Nous n’avons pas résolu l’inéquation x 2 ≤ 6 x − 4 car nous n en avons pas
déterminé toutes les solutions.

Inéquation du premier degré
Vous avez appris en troisième à résoudre une inéquation du premier degré.
Revoyons en un exemple.
Exemple

4

Résoudre dans � l’inéquation 3x − 5 ≥ x − 2.
On sait que l’on peut rajouter 5 aux deux membres de l’inéquation soit :
3x − 5 + 5 ≥ x − 2 + 5 soit 3x ≥ x + 3
On peut ensuite retrancher x aux deux membres de l’inéquation soit :
3x − x ≥ x + 3 − x soit 2x ≥ 3 .

Séquence 3 – MA20

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1
On peut ensuite multiplier chaque membre de l’inéquation par (ce qui revient
2
1
au même que diviser par 2) car le réel est strictement positif.
2
3
Il vient x ≥ .
2
3
L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc l’intervalle [ , +∞[ , ce que
2
3
l’on peut encore noter : = [ ; +∞[.
2
On peut multiplier les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement négatif à condition de changer le sens de l’inégalité.
Par exemple, l’inéquation −2x ≥ 1 est équivalente à :

1
1
1
− × ( −2x ) ≤ − × 1 soit x ≤ − .
2
2
2

Séquence 3 – MA20

5

© Cned – Académie en ligne

2 Expressions algébriques
A
Activité 1

Activités
Différentes expressions pour une aire

x

x

D

C

x
H

Soit un carré ABCD de côté 5. On dessine aux quatre coins des
carrés de côté x et on s’intéresse à l’aire coloriée A( x ) formée
de la réunion de ces quatre carrés et du carré intérieur EFGH.
Montrer par un raisonnement géométrique que A( x )

G

peut s’écrire sous l’une des formes suivantes :

A( x ) = 4 x 2 + (5 − 2x )2 ou A( x ) = 25 − 4 x (5 − 2x ) .
Montrer que l’on aussi : A( x ) = 8 x 2 − 20 x + 25.
E

F

En utilisant la forme la plus adaptée, calculer A( 2, 5)

x

et A( 3 ).
A

B

2


5⎞
+ 12, 5.
4 ⎟⎠

5
b) En déduire que l’aire minimale est obtenue pour x = et donner cette
4
aire minimale.

a) Montrer que A( x ) = 8 ⎜x −

a) Montrer que A( x ) = (2x − 1)( 4 x − 8 ) + 17.

b) Déterminer les valeurs de x tels que A( x ) = 17.
Activité 2

Forme développée et factorisée
Soit f ( x ) = ( x − 2)2 − 3( x − 2) pour tout nombre réel x.
Montrer que, pour tout nombre réel x, f ( x ) = x 2 − 7x + 10.
Montrer que, pour tout nombre réel x, f ( x ) = ( x − 2)( x − 5).
On dispose maintenant de trois formes pour f ( x ):

6

Forme initiale

Forme développée

Forme factorisée

f ( x ) = ( x − 2)2 − 3( x − 2)

f ( x ) = x 2 − 7x + 10

f ( x ) = ( x − 2)( x − 5)

Séquence 3 – MA20

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Répondre à chacune des questions suivantes, sans calculatrice, en veillant à
choisir judicieusement à chaque fois la forme de f ( x ) que vous utiliserez :
a) Calculer f (0 ) et f ( 2 ).
b) Calculer f (2) et f (5).
c) Résoudre l’équation f ( x ) = 0.
d) Résoudre l’équation f ( x ) = 10.

B

Cours
Transformation

d’une expression algébrique

Une expression algébrique peut s’écrire de plusieurs façons et il faut savoir la
transformer afin d’utiliser la forme la plus adaptée au travail à effectuer.
Réduire une somme, c’est écrire cette somme sous la forme la plus
condensée possible en regroupant les termes de même nature.

Exemple

Soit A( x ) = 4 x 2 + 6 x − 5 + 2x 3 − 2x 2 − 3x + 4

A( x ) est une somme qui se réduit sous la forme : A( x ) = 2x 2 + 3x − 1+ 2x 3 ,
que l’on ordonne sous la forme :
A( x ) = 2x 3 + 2x 2 + 3x − 1.

Développer signifie transformer une expression algébrique en une
somme.

Exemple

B ( x ) = ( x − 5)(2x − 3) − 3( x − 2)
B ( x ) est :
B ( x ) = 2x 2 − 3x − 10 x + 15 − 3x + 6 qui après réduction donne :
B ( x ) = 2x 2 − 16 x + 21.

Factoriser signifie transformer une expression algébrique en un produit.

Exemple

C (x ) = x 2 + 4x = x (x + 4)
Le produit x ( x + 4 ) est la forme factorisée de x 2 + 4 x .

Séquence 3 – MA20

7

© Cned – Académie en ligne

Réduire au même dénominateur avec des x.

Exemple 1

1
Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f ( x ) = 2 + .
x
1 6 1 7
f ( 3) = 2 + = + = .
3 3 3 3
1 14 1 15
f ( 7) = 2 + = + = .
7 7 7 7
Pour ajouter deux fractions, nous les avons mises au même dénominateur.
Si l’expression comporte des x au dénominateur, nous allons utiliser une technique
similaire.

f (x ) = 2 +

1 2 × x 1 2x + 1
=
+ =
.
x
x
x
x

Avec cette nouvelle expression de f ( x ) , on retrouve bien que :

f ( 3) =
Exemple 2

2× 3+1 7
2 × 7 + 1 15
= et f (7) =
= .
3
3
7
7

Soit la fonction g définie pour x différent de 0 et de 1 par g ( x ) =
1 2
3
2 × 4 3 8 11
g (4) = + =
+
= + = .
4 3 4 × 3 3 × 4 12 12 12

4×3.

1
2
et , nous avons réduit ces fractions au même dénominateur
4
3

Nous allons utiliser une technique similaire pour ajouter

g(x ) =

1
2
+
.
x x −1

1
2
et
.
x
x −1

1
2
1× ( x − 1)
2× x
x −1
2x
3x − 1
+
=
+
=
.
+
=
x x − 1 x × ( x − 1) ( x − 1) × x x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1)

Avec cette nouvelle expression, on retrouve bien que
3 × 4 − 1 11
g (4) =
= .
4 × ( 4 − 1) 12


a) k(a + b) = ka + kb
L’écriture ka + kb est le développement de k (a + b ).

k (a + b ) est l’écriture factorisée de ka + kb.
Si le passage à l’écriture développée est mécanique et présente peu de difficultés,
le passage à l’écriture factorisée nécessite de reconnaître un facteur commun et
s’avère moins immédiate.

8

Séquence 3 – MA20

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Exemple 1

12 − 4 x = 4 × 3 − 4 × x = 4( 3 − x ).
On applique la formule k (a + b ) = ka + kb avec k = 4 ,a = 3 et b = − x .
4( 3 − x ) est l’écriture factorisée de 12 − 4 x .

Exemple 2

3x 2 + 2x .
Les deux termes de la somme sont 3x 2 et 2x et ils ont un facteur commun qui
est x.
3x 2 + 2x = 3x × x + 2 × x = x ( 3x + 2).

x ( 3x + 2) est l’écriture factorisée de 3x 2 + 2x .
Exemple 3

a + 2ab .
Les deux termes de la somme sont a et 2ab et ils ont un facteur commun qui est
a. On peur alors écrire
a + 2ab = a × 1+ a × 2b = a (1+ 2b ).
Dans le cas particulier où un des termes se confond avec le facteur commun, il
faut considérer qu’il est multiplié par 1 avant de le mettre en facteur. C’est ce qui
est fait dans l’exemple 3.
b) Les identités remarquables
Développons d’abord les expressions suivantes :
(a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2.
(a − b )2 = (a − b )(a − b ) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2.
(a − b )(a + b ) = a 2 + ab − ba − b 2 = a 2 − b 2.
Ces trois identités remarquables doivent être apprises par cœur.
Résumons les ci dessous.

Forme développée (somme)

Forme factorisée (produit).

a 2 + 2ab + b 2     =     (a + b )2
a 2 − 2ab + b 2     =     (a − b )2
a 2 − b 2   =     (a − b )(a + b )

Exemples

x 2 + 12x + 36 = ( x + 6 )2. On applique la formule (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
avec a = x et b = 6.
x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2)2.
avec a = x et b = 2.

On applique la formule

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3).
avec a = x et b = 3.

2
2
On applique la formule a − b = ( a − b )( a + b )

Séquence 3 – MA20

9

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Exercice 1

Exercices résolus

Développer les expressions suivantes :
A = 3( x + 2) ; B = x ( x − 1) ; C = 1+ 3( x − 2) ; D = ( x + 3) ; E = ( x + 3)( x − 2) ; 
2

(

)(

)

F = ( 2x − 1)( x − 1) ;  G = x − 2 x + 2  ; H = 3 − ( x − 2)( x + 2).
Réponse :

A = 3x + 6
B = x2 − x
C = 1+ 3x − 6 d’où C = 3x − 5 .
Attention, la multiplication est prioritaire sur l’addition ;
D = x 2 + 6 x + 9. Ici on utilise la formule (a + b ) avec a = x  et  b = 3.
2

E = x ( x − 2) + 3( x − 2) = x 2 − 2x + 3x − 6 et ainsi E = x 2 + x − 6.
F = 2x 2 − 3x + 1.

F = 2x 2 − 2x − x + 1

On peut remarquer que dans le cas de E, on a fait le développement en deux
étapes et que pour F on a agit de manière plus directe.

G = x2 −

( 2)

2

en appliquant la formule a 2 − b 2 avec a = x  et  b = 2.

D’où G = x 2 − 2.
L’expression H est une somme dont le deuxième terme est un produit. Commençons
donc par développer ce produit :

( x − 2)( x + 2) = x 2 − 22 = x 2 − 4

en appliquant la formule a 2 − b 2 avec

2
a = x  et  b = 2. On en déduit que H = 3 − ( x − 4 ) (il ne faut pas oublier la

parenthèse) et donc que H = 3 − x 2 + 4 ,  H = 7 − x 2.

Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes :
A = 4 x 3 − 7x 2  ; B = x 3 + x 2  ; C = ( x + 1) + x + 1 ; D = x 2 − 8 x + 16 ; 
2

E = x 2 − 25 ; F = ( 3x + 2) − ( x + 1) .
2

2

Réponse :
Recherchons un facteur commun : A = 4 xx 2 − 7x 2. Il est clair que x 2 est un

(

)

facteur commun donc A = 4 x − 7 x 2.

10

Séquence 3 – MA20

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(

)

De la même manière : B = xx 2 + 1x 2 d’où B = x + 1 x 2.
Dans l’expression C, on voit d’abord une somme de 3 termes dont on ne sait que

(

)2 (

)

faire. Mais on peut aussi écrire C = x + 1 + x + 1 où on a alors une somme
de deux termes contenant un facteur commun :

C = ( x + 1)( x + 1) + 1( x + 1) = ( x + 1) ⎡⎣( x + 1) + 1⎤⎦ et ainsi
C = ( x + 1)( x + 2).

Pour D = x 2 − 8 x + 16 il n’y a pas de facteur commun apparent mais on reconnaît

(

le développement de a − b

)2 avec a = x  et  b = 4 et donc

D = ( x − 4) .
2

E est de la forme a 2 − b 2 avec a = x  et  b = 5.

(

)(

)

Ainsi E = x − 5 x + 5 .
C’est la même chose pour F : cette fois a = 3x + 2 et  b = x + 1. On a donc

F = ⎡⎣( 3x + 2) − ( x + 1) ⎤⎦ ⎡⎣( 3x + 2) + ( x + 1) ⎤⎦ .
Supprimons les parenthèses à l’intérieur des crochets :
F = ⎡⎣ 3x + 2 − x − 1⎤⎦ ⎡⎣ 3x + 2 + x + 1⎤⎦ et donc
F = ( 2x + 1)( 4 x + 3).

Exercice 3

Connaissant 202 calculer mentalement 212 de deux manières différentes :
avec ( 20 + 1)

2

avec 212 − 202
Réponse : nous savons que 202 = 400

(20 + 1)2

est bien égal à 212 mais aussi à 202 + 2 × 1× 20 + 12 = 400 + 40 + 1

donc 212 = 441.

(

)(

)

212 − 202 = 21− 20 21+ 20 = 41 donc 212 = 202 + 41 et ainsi 212 = 441.

Exercice 4

Comment calculer mentalement le carré d’un nombre entier qui se termine par 5 ?
Réponse : Observons d’abord qu’un nombre se terminant par 5 est égal à 10n + 5
où n est son nombre de dizaines. Par exemple, 75 = 10 × 7 + 5 car 7 est le chiffre des
dizaines.

Séquence 3 – MA20

11

© Cned – Académie en ligne

(

)2

Calculons 10n + 5 ;

(10n + 5)2 = (10n )2 + 2 × 10n × 5 + 5d’où (10n + 5)2 = 100n 2 + 100n + 25.
Les deux premiers termes de cette somme ont un facteur commun : 100n. Ainsi

(

) (
)2
( )
2
Appliquons ceci à 75 : ( 75) = 100 × 7 × 8 + 25. (n+1 est le nombre entier qui
100n 2 + 100n = 100n n + 1 et 10n + 5 = 100n n + 1 + 25.

suit n). Le calcul donne : 7 × 8 = 56 et multiplier ce nombre par 100 revient à
adjoindre 00 et ajouter 25 à ce nombre revient à remplacer 00 par 25. Conclusion :
752 = 5 625.

Autre exemple : pour 1052 on prend le nombre des dizaines : 10, on le multiplie
par son suivant qui est 11 ce qui donne 110 et on accole 25 à ce résultat. Donc
1052 = 11 025.
(Il est conseillé de s’entraîner avec 25, 35,...)

Exercice 5

Montrer que, pour tout nombre réel x de ]2, +∞ [,
4x − 1
7
= 4+
.
x −2
x −2
Réponse : Pour montrer une égalité, on n’est pas obligé de partir du côté gauche
de l’égalité. Il est ici préférable de partir du côté droit de l’égalité, car on peut
7
réduire l’expression 4 +
au même dénominateur.
x −2
Pour tout nombre réel x de ]2,+∞[,
4+

C

7
4( x − 2)
7
4x − 8 + 7 4x − 1
=
+
=
=
.
x −2
x −2 x −2
x −2
x −2

Synthèse
développer

factoriser

expression algébrique ⎯⎯⎯⎯⎯→ somme

expression algébrique ⎯⎯⎯⎯⎯
→ produit

Deux méthodes pour factoriser :
Facteur commun et la formule k(a + b) = ka + kb
2
2
2
Les identités remarquables : (a + b) = a + 2ab + b

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2 .

12

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

D
Exercice 1

Exercices d’apprentissage
Dans un jardin carré de côté x (en m), on
réalise un parterre carré en laissant sur deux
des côtés une bordure de largeur 1,5m.
Parmi les expressions suivantes, indiquer
celle(s) qui donnent l’aire de la bordure :
a) ( x + 1, 5)2 − x 2

b) 3x

c) 3x − 2, 25

d) x 2 − ( x − 1, 5)2 e) x ( x − 1, 5)
Pour quelle valeur de x l’aire du parterre est

elle égale à 16 m2 ?

Exercice 2

x

Les longueurs sont exprimées en cm.
On désire imprimer une carte carrée de côté
x avec x compris entre 5 cm et 10 cm. On
souhaite cependant laisser une marge de
2cm en haut et en bas de la carte et de 1 cm
à gauche et à droite.

1
2

On appelle f ( x ) , l’aire en cm2 de

la surface imprimable. En calculant
cette aire de deux façons différentes,
montrer que f ( x ) = x 2 − 6 x + 8 et

x

f ( x ) = ( x − 2)( x − 4 ).
Montrer que f ( x ) = ( x − 3)2 − 1.

Déterminer les dimensions de la feuille telles que l’aire de la surface imprimable

soit égale à 8 cm2 puis à 15 cm2.

Exercice 3

Soit la fonction f définie sur

� par f ( x ) = x 2 − 8x + 7

Montrer que : f ( x ) = ( x − 4 )2 − 9.
En déduire une forme factorisée de f ( x ) .
Utiliser la forme la plus adaptée de f ( x ) pour répondre aux questions suivantes

a) Calculer f ( 3 ).
b) Résoudre l’équation f ( x ) = 0.
c) Calculer f ( 4 ) et montrer que, pour tout nombre réel x, f ( x ) ≥ −9.
En déduire que f admet un minimum sur �.
Exercice 4

Soit g la fonction définie sur

� par : g ( x ) =

x2 − 4

.
x2 + 4
Montrer que g ( x ) peut s’écrire sous les formes suivantes :

g ( x ) = 1−

8

x2 + 4

=

2x 2

x2 + 4

− 1.

Séquence 3 – MA20

13

© Cned – Académie en ligne

Utiliser l’une ou l’autre de ces formes pour répondre aux questions suivantes :

a) Résoudre g ( x ) = 0.
b) Montrer que, pour tout réel x, g ( x ) < 1.
c) Montrer que, pour tout réel x, g ( x ) ≥ −1.
Exercice 5

1
Soit f la fonction définie sur ]1 ;+∞[ par f ( x ) = 2 −
.
x −1
Montrer que f ( x ) peut aussi s’écrire :
2x − 3
x2
f (x ) =
ou f ( x ) = x + 3 −
.
x −1
x −1
En utilisant la forme la plus adaptée :
a) Résoudre l’équation f ( x ) = 0.
b) Montrer que f ( x ) < 2 pour tout réel x de ]1 ;+∞[.
c) Montrer que f ( x ) < x + 3 pour tout réel x de ]1 ;+∞[.

Exercice 6

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

A = 6 x − 3( x + 1)  ; B = −3x ( x − 4 )  ; C = ( − x − 7)( 3 − 5x ) ; 
2

2

2



1⎞ ⎛
1⎞ 1
x⎞
2
2
D = ( −8 x − 1) − ( 4 x + 3)  ; E = ⎜ x − ⎟ ⎜ 3x + ⎟ + ; F = ⎜ 3 − ⎟ ;
5⎠ ⎝
3 ⎠ 15
6⎠



G = ( x 3 − 1)2 − 3x 3 + ( 3 − x )( x 3 − 1).
Exercice 7

A = ( 3x − 7) − ( 3x − 7)( 2x − 1) ; B = 2x − 3 − ( 5x + 1)( 2x − 3) ; 
2

C = ( x + 4 )( 3 − 5x ) − ( x + 4 )  ; D = 9 ( x − 3) + ( 4 x + 3)  ; 
2

E = − (1+ 3x )

2

2

2

2

⎛ x − 3⎞
x2
2
+ 4 x  ; F = ⎜
−  ; G = 1− 3x − 3 ; H = 9 x 2 + 12x + 4.

4
⎝ 2 ⎠
2

(

)

Exercice 8

Réduire au même dénominateur les expressions :
1
2
2
3
4x 1
A=
+ ;B =
+
;C=
+ .
x −1 5
2x − 3 x
3 x

Exercice 9

Développer et réduire : A = ( x − 1)( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1).
En déduire un moyen simple pour calculer la somme :

2 4 8 16
S = 1+ + + + .
3 9 27 81

Exercice 10



x, y, z
( x + y + z ) = x + y + z + 2xy + 2yz + 2xz .
2

2

2

2

On considère trois nombres A, B et C non nuls dont la somme des inverses est

nulle. Démontrer que :
a) AB + BC + CA = 0.
b) Le carré de la somme de ces trois nombres est égal à la somme de leurs carrés.

14

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

3
A
Activité 1

Équations : résolution
graphique et algébrique
Activités
Se ramener à une équation du premier degré


J

A

B

Γ

E

I

C

D

Activité 2

ABCD est un carré de côté 4 cm et I est le milieu de
[BC].
J est un point quelconque du segment [AB].
On pose AJ = x (en cm).
est le cercle de centre J qui passe par A.
Γ est le cercle de diamètre [BC].
L’objet de l’activité est de déterminer s’il existe un point
J tel que et Γ soient tangents en un point E.
Exprimer JI² en fonction de x puis vérifier
que et Γ sont tangents lorsque :
( x + 2)2 = ( 4 − x )2 + 22.
Résoudre cette équation
En déduire la position du point J sur [AB] pour
que et Γ soient tangents.

Résolution graphique et algébrique d’une équation
On a dessiné ci-dessous la courbe (C) représentative de la fonction f définie sur



par f ( x ) = x 2.

Dessiner dans le même repère sur le graphique suivant la courbe représentative

d de la fonction affine g définie par g ( x ) = 2x + 3.
Quel lien peut-on faire entre les points d’intersection de (C) et de d et l’équation

x 2 = 2x + 3?
Quelles semblent être, par lecture graphique, les abscisses de ces deux

points.
Vérifier que x 2 − 2x − 3 = ( x − 1)( x + 3).

Séquence 3 – MA20

15

© Cned – Académie en ligne

En déduire la résolution algébrique de l’équation x 2 = 2x + 3.
12

y

11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–4

B

–3

–2

–1

1

2

3

4 x

Cours


Utilisation d’une calculatrice

Pour résoudre graphiquement une équation du type f ( x ) = k , où k désigne un
nombre réel, (ou f ( x ) = g ( x ) ), il peut être intéressant de savoir représenter sur
sa calculatrice la courbe d’équation y = f ( x ) (et celle d’équation y = g ( x ) ) et de
savoir obtenir un tableau de valeurs de la fonction f.
Nous donnons ici les principales manipulations qu’il faut connaître sur l’exemple
de la fonction f définie sur l’intervalle [–8 ;6] par f ( x ) = x 2 + 4 x − 8 sur une
TI82stats.fr et sur une casio25+ qui sont les deux modèles les plus fréquemment
utilisés au lycée actuellement. L’utilisation d’une autre TI ou casio est très voisine
de celles-ci.
Nous nous appuierons sur des travaux réalisés par l’IREM de Lyon, figurant sur
internet, et que vous pouvez consulter pour des compléments d’informations.

16

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

A. Utilisation d’une TI82stats.fr
Définir

une fonction

Touche f (x)
Introduire la fonction par exemple en Y1.
Pour la variable X, utiliser la touche x, tt, θ, n.
Valider avec la touche entrer .
Tracer

la courbe représentative

Touche graphe
→ L’écran ci-contre n’est qu’un exemple, il est
possible que celui affiché sur votre calculatrice
soit différent.
Pour obtenir cet affichage : touche zoom
6:ZStandard
Régler

la fenêtre d’affichage

Touche fenêtre .
Régler les paramètres comme sur l’écran cicontre.
Touches Ÿ et
ligne à l’autre.



pour passer d’une

Puis touche graphe .

Régler

les paramètres du tableau de valeurs

Instruction déf table (touches 2nde
fenêtre ).
Régler les paramètres comme sur l’écran cicontre.
DébTable : valeur initiale (1re valeur du
tableau).
PasTable : pas du tableau (écart entre deux
valeurs successives).

Séquence 3 – MA20

17

© Cned – Académie en ligne

Afficher

le tableau de valeurs

Instruction table
(touches 2nde
graphe ).
→ Si l’écran n’affiche
pas toutes les valeurs
souhaitées, on peut se
déplacer dans la table à
l’aide des flèches.
Parcourir

une courbe

Touche trace .
Touches ÿ et ◊
pour se déplacer sur la
courbe.
L’expression
de
la
fonction ainsi que les
coordonnées du point où
est situé le curseur sont
affichées.
Calculer

une image

Instruction quitter (touches
2nde mode ) pour revenir
à l’écran de calcul.
Touche

var

VAR-Y=

option

V

à l’aide de la

flèche ÿ .
Puis option 1 1:Fonction
et valider avec entrer .
Choisir la fonction désirée
(pour notre exemple 1:Y1 ).
Puis compléter comme sur
l’écran ci-contre pour, par
exemple, obtenir l’image
de 3.

18

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

Ajouter

une fonction

Touche f (x)
Introduire la nouvelle
fonction
par exemple en Y2
Puis graphe ou table .

Choisir

les représentations graphiques à tracer

Touche f (x)
Avec les touches de déplacement placer
le curseur sur le signe = de la fonction
que vous ne souhaitez plus afficher.
Ce signe doit alors clignoter.
Touche entrer pour modifier le statut
de la fonction sélectionnée.
Le signe doit alors être = et non plus.
Pour réafficher une fonction, procéder
de la même façon.
Le signe doit alors être de nouveau =
= au lieu de = .
Ensuite graphe ou table .
Seules les fonctions sélectionnées sont
affichées.
(Pour l’exemple Y1 a été désélectionnée).

Effacer

une fonction

Touche f (x)
Sélectionner la fonction à
effacer, par exemple Y1.
Puis touche annul .

Séquence 3 – MA20

19

© Cned – Académie en ligne

Régler

la fenêtre d’affichage

La fenêtre d’affichage est la partie du
plan délimitée par les valeurs
Xmin, Xmax, Ymin et Ymax.
La distance entre les graduations est
définie par Xgrad pour l’axe horizontal
et par Ygrad pour l’axe vertical.
Xrés définit la résolution de l’affichage
(de 1 à 8).

Problèmes

possibles

Problème rencontré
ERR : SYNTAXE
1 :Quitter 2:Voir

Comment y remédier
L’expression de la fonction est mal saisie. Par
exemple : -X ² doit être saisi en utilisant (-) et
non pas – .

ERR : VAL FENETRE
1 :Quitter

fenêtre La fenêtre graphique est mal définie.
(Par exemple on a saisit des valeurs telles que :
Xmin ≥ Xmax)
Une série statistique est représentée il faut la
désactiver :
Effacer tous les graphiques statistique :
2nde f (x) . (graph stats)4 4 :graphOff .
ou
Effacer le graphique problématique :
f (x) . sélectionner le graphique activé et appuyer
sur entrer .

ERR : DIM INVALIDE
1 :QUIT

Une série statistique est saisie mais de façon
incorrecte.
2nde f (x) . (graph stats) 4 4 :graphOff .

20

Séquence 3 – MA20

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B. Utilisation d’une casio graph25+
Définir

une fonction

Icône
Introduire la
fonction par exemple en Y1.
Valider avec la touche EXE.
Utiliser la touche X,T pour la
variable X.
Tracer

la courbe représentative

Instruction DRAW (touche F4 ).)
→ L’écran ci-contre n’est qu’un
exemple, il est possible que celui
affiché sur votre calculatrice
soit différent.
Régler

la fenêtre d’affichage

Instruction V-Window (touches
SHIFT F3 ).)
Régler les paramètres comme
sur l’écran ci-contre.
Touches Ÿ et � pour
changer de ligne.
Touche EXE puis instruction
DRAW .
Régler

les paramètres du tableau de valeurs

Icône
puis instruction RANG (touche F3 ).
Régler les paramètres comme sur l’écran ci-contre.
Strt : valeur initiale (1ère valeur du tableau).
End : valeur finale (dernière valeur du tableau).
Ptch : pas du tableau (écart entre deux valeurs successives).
Touche EXIT pour revenir à l’écran précédent.
Afficher

le tableau de valeurs

Instruction TABL (touche F4 ).
→ Si l’écran n’affiche pas
toutes les valeurs souhaitées,
on peut se déplacer dans la
table à l’aide des flèches.

Séquence 3 – MA20

21

© Cned – Académie en ligne

Parcourir

une courbe

Retour au graphique : touche MENU icône
puis instruction DRAW .
Instruction TRACE (touches SHIFT F1 ).
Un point apparait sur la courbe et ses coordonnées
sont affichées.
Touches ÿ et ◊ pour déplacer ce point.
Calculer

une image

Mode calcul : touche MENU et icône

.

Touche VARS et instruction GRPH . pour cela :
Touche (à droite de F4 ) puis F2 .

Mettre la valeur dont on veut l’image dans la mémoire
X, par exemple pour l’image de 3 :
Touches 3 → X,θ,T puis.
→ correspond à la touche de mise en mémoire.
Instruction Y (Touche F1 ) suivie du numéro de la
fonction à utiliser (pour notre exemple Y1).
Valider avec EXE .
Ajouter

Mode

une fonction
graphique :

touche

.
MENU et icône
Introduire la nouvelle fonction
par exemple en Y2
Puis DRAW .
Le tableau de valeur est lui
aussi mis à jour :
Touche MENU et icône
Puis TABL.
Utiliser les flèches
pour se déplacer.

22

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

ÿ et ◊

Choisir

les fonctions affichées

Mode graphique : touche MENU et icône
.
Avec les flèches, sélectionner la fonction que vous ne
souhaitez plus afficher.
Instruction SEL (touche F1 ) pour valider votre choix.
Le signe = doit alors être = et non plus = .
Instruction DRAW pour tracer les courbes choisies.
Pour réafficher une fonction, procéder de la même façon.
Le signe = doit de nouveau être = au lieu de = .
On peut faire la même chose dans le mode table :
touche MENU et icône

.

Sélectionner les fonctions à afficher puis TABL.

Effacer

une fonction

Sélectionner la fonction à
effacer, par exemple Y1.
Puis instruction DEL (touche
F2 ), et enfin choisir YES
(touche F1 )

Régler

la fenêtre d’affichage

La fenêtre d’affichage est la partie du plan
délimitée par les valeurs
Xmin, Xmax, Ymin et Ymax.
La distance entre les graduations est définie par
Xsacle pour l’axe horizontal et par Yscale pour
l’axe vertical.
Problèmes

possibles

Problème rencontré
Syn ERROR

Comment y remédier
L’expression de la fonction est mal saisie.
Par exemple erreur de variable. Appuyer sur
AC/On

Ma ERROR

Vérifier la fenêtre d’affichage.
Séquence 3 – MA20

23

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Résolution graphique d’une équation

Vous pourrez être amené à résoudre graphiquement des équations du type

f ( x ) = k où k est un nombre réel ou du type f ( x ) = g ( x ).
Les fonctions f et g sont représentées par les courbes C et C’.
f (x) = k

f (x) = g(x)

Exemple

Exemple

Résoudre l’équation f ( x ) = 3.

y

y
4

C

y=3

3

1
2

C

1

0
x

–0,5 0

1

2

0,6 1

x

2,2

C’

3 3,5

–1

Les solutions sont –0,5 et 3,5.
Cas général

Les solutions sont approximativement 0,6 et 2,2.
Cas général

On cherche les points de C d’ordonnée k
(ce travail peut être facilité par le tracé de la
droite d’équation y = k ).
Les abscisses de ces points sont les solutions de

On repère les poins communs à C et C’.
Les solutions sont les abscisses des points
communs.

l’équation f ( x ) = k .

Résolution

algébrique

Définition
Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes
solutions. Résoudre l’une revient donc à résoudre l’autre.

Exemple

24

3x + 6 = 0 est équivalent à x = −2.
L’expression est équivalente est synonyme de l’expression «si et seulement si ».

Séquence 3 – MA20

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Notation

Vous pourrez rencontrer le
symbole ⇔ pour remplacer
l’expression est équivalent. On
écrira par exemple :
3x − 6 = 0 ⇔ x = 2.

Ne pas confondre le symbole
⇔ avec celui de l’égalité =
Vous devez toujours pouvoir
remplacer le symbole ⇔ par l’expression
« si et seulement si ».

Propriété 1 : Équations équivalentes
On transforme une équation en une équation équivalente :
en

développant ou factorisant certains termes ;

en

ajoutant ou retranchant un même terme à chaque membre

en

multipliant ou divisant chaque membre par un même
nombre non nul.

Pour résoudre une équation qui ne se ramène pas par développement à une
équation du 1er degré, on la transforme en une équation équivalente dont un
membre et nul et on applique les propriétés suivantes :
Propriété 2 : Règle du produit nul
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
A × B = 0 équivaut à A=0 ou B=0.

Propriété 3 : Règle du quotient nul
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul
et son dénominateur est non nul.
A
= 0 équivaut à A = 0 et B ≠ 0.
B

Exercices

Exercice 1

résolus

Résoudre les équations suivantes :

(

) (

)

3 − 7x − 1− x = 2 x + 1 .

( )2
( 2x + 1)( x − 1) + ( 2x + 1)( 3x + 7) = 0.
2x − 1 = 4 x − 2.

(

2x + 3

)2 = ( x − 4 )2 .
Séquence 3 – MA20

25

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Réponse :
Réduisons chacun des membres : 3 − 7x − 1+ x = 2x + 2,

d’où −6 x + 2 = 2x + 2. On retranche 2x + 2 à chaque membre : −8 x = 0. Il ne

{}

reste qu’à diviser par –8 et on obtient x = 0. S = 0 .
Mettons en facteur dans le membre de droite et retranchons ce terme aux

deux membres :

(2x − 1)2 − 2(2x − 1) = 0.
Nous pouvons mettre ( 2x − 1)
(2x − 1)(2x − 3) = 0.

(

)(

)

en facteur : 2x − 1 ⎡⎣ 2x − 1 − 2⎤⎦ = 0, soit

Nous savons qu’un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
⎧1 3⎫
2x − 1 = 0 ou 2x − 3 = 0. Donc S = ⎨ , ⎬.
⎩2 2 ⎭

( )
(2x + 1)( x − 1+ 3x + 7) = 0. c’est-à-dire (2x + 1)( 4 x + 6) = 0.

Nous pouvons mettre 2x + 1 en facteur :

⎧ 1 3⎫
On obtient 2x + 1 = 0 ou 4 x + 6 = 0. Donc S = ⎨− , ⎬.
⎩ 2 2⎭
Exercice 2

Déterminer 5 nombres entiers consécutifs dont la somme est 405.
Réponse :
Le plus simple est de noter x le nombre du milieu ; les deux précédents sont alors

x − 2 et x − 1 et les deux suivants x + 1 et   x + 2. Le nombre x doit alors vérifier

( x − 2) + ( x − 1) + x + ( x + 1) + ( x + 2) = 405,

5x = 405 d’où x = 81.

Les 5 nombres cherchés sont donc 79, 80, 81, 82, 83. Il est aisé de vérifier que ces
5 nombres répondent bien au problème.
Exercice 3

Un arbre de 9 m de haut dont le pied est en A s’est cassé en B. La cime est tombée
en C à 3,5 m de A. Calculer la distance AB.
Réponse :
Le triangle ABC est rectangle en A ; on peut donc appliquer la propriété de
Pythagore : BC2 = AB2 + AC2. Nous savons que AC = 3, 5 ; notons x la distance
AB, il en résulte que BC = 9 − x . On peut alors écrire

(9 − x )

2

B

= x 2 + 3, 52. Pour résoudre cette équation,

on développe le premier membre :
81− 18 x + x 2 = x 2 + 12, 25.
On retranche le deuxième au premier, ce qui donne :
68, 75
275
68, 75 − 18 x = 0 d’où x =
soit
.
18
72
L’arbre s’est donc cassé à environ 3,82 m du sol.

26

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

A

C

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes
x −5
x2 −1


=0
= 0.
x +1
x +1



2
3
=
.
x x +5

Réponse :
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son

dénominateur est non nul.
x −5
= 0 équivaut à x − 5 = 0 et x + 1 ≠ 0 soit :
x +1
x = 5 et x ≠ −1 soit : x =5.
On a donc = {5}.


x2 −1
= 0 équivaut à : x 2 − 1 = 0 et x + 1 ≠ 0
x +1

x 2 − 1 = 0 équivaut à x 2 − 12 = 0 soit ( x + 1)( x − 1) = 0.
( x + 1)( x − 1) = 0

x + 1 = 0 ou x − 1 = 0 soit :

x = −1 ou x = 1.
x2 −1
Par suite
= 0 équivaut à x = 1 ou x = −1 et x ≠ −1.
x +1
L’équation n’a donc qu’une solution : = {1}.


2
3
2
3
=
équivaut à −
= 0.
x x +5
x x +5
2
3
Mettons l’expression −
au même dénominateur.
x x +5
− x + 10
2
3
2( x + 5)
3× x

=

=
.
x x + 5 x ( x + 5 ) ( x + 5 )x x ( x + 5 )
− x + 10
= 0 équivaut à − x + 10 = 0 et x ( x + 5) ≠ 0 .
x ( x + 5)
soit x = 10 et x ≠ 0 et x ≠ −5.
On en déduit ={10}.

Remarque

La négation de la proposition logique x = 0 ou x = −5 est :
x ≠ 0 et x ≠ −5.
Plus généralement, considérons deux propositions P et Q.
La négation de « P est vraie ou Q est vraie » et « P est faux et Q est faux ».
Par exemple, la négation de la proposition :
« L’interrupteur A est ouvert ou l’interrupteur B est ouvert » est
« L’interrupteur A est fermé et l’interrupteur B est fermé»

Séquence 3 – MA20

27

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Exercice 5

Donner à l’aide de votre calculatrice sur l’intervalle [–3 ; 3] le nombre de

solutions de l’équation x ( x − 1) = x .
Résoudre algébriquement sur l’intervalle [–3 ; 3] l’équation x ( x − 1) = x .

Réponse :
Soit f ( x ) = x ( x − 1) et g ( x ) = x .

Graphiquement, on constate que
les courbes représentatives des
fonctions f et g sur ont deux points
communs. Sur [–3; 3], on lit donc
graphiquement que l’équation
x ( x − 1) = x admet deux solutions
(qui semblent être voisines 0 et 2).
L’équation x ( x − 1) = x est équival

Ce serait une erreur de
simplifier par x dans
l’expression x ( x − 1) = x
pour obtenir x − 1 = 1
soit x = 2.

ente à x ( x − 1) − x = 0 soit après
factorisation par x, x ( x − 1− 1) = 0
soit x ( x − 2) = 0.
Cette dernière équation équivaut à

x = 0 ou x = 2.
On a donc = {0 ;2}.

C

Les équations x ( x − 1) = x et
x − 1 = 1 ne sont pas équivalentes car elles n’ont pas le même
ensemble de solutions.

Synthèse


Résolution graphique d’équations
y

Équation f ( x ) = k

4

Soit f une fonction de courbe

y=k

3

représentative C.
Les solutions de l’équation f ( x ) = k
sont

les

abscisses

des

points

2

C

1

d’intersection de C et de la droite
d’équation y = k .

x
a 0
–1

28

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

1

2

3

b

Équation f ( x ) = g ( x )

y

Soit f une fonction de courbe
représentative C et g une fonction de
courbe représentative C’.
Les solutions de l’équation f ( x ) = g ( x )
sont les abscisses des points
d’intersection de C et C’.

C
1

0

a 1

x

b
C’



Résolution algébrique

On obtient une équation équivalente en réalisant l’une des opérations
suivantes :
Ajouter la même quantité à chaque membre
Multiplier chacun des membres par un même nombre non nul.
Propriété :
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul
et son dénominateur est non nul.

D
Exercice 11

Exercices d’apprentissage
Tracer dans une fenêtre standard ( −10 ≤ x ≤ 10 et −10 ≤ y ≤ 10 ) à l’écran de

la calculatrice la courbe représentative de la fonction f définie sur [ –10 ;10 ] par

f ( x ) = x 2 + 2x − 3.
a) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = 0.

b) Vérifier par le calcul les solutions lues sur le graphique.

a) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = 5.

b) Vérifier par le calcul les solutions lues sur le graphique.

Exercice 12

f et g sont les fonctions définies sur � par : f ( x ) = 2x ( x − 1) et
g ( x ) = −3x + 3.
Tracer à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions f et g.

Séquence 3 – MA20

29

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Conjecturer graphiquement les solutions de l’équation f ( x ) = g ( x ).
Résoudre algébriquement l’équation f ( x ) = g ( x ).

Exercice 13

Voici quatre équations :
(E1) : 1− ( x − 5)2 = 0

(E2) : 3x 2 − x ( x − 1) = 0.

(E3) : 2( x − 4 )( x + 2) = 0

(E4) : 2( x − 3) + 5x − 4 = 0

a) En développant mentalement (et partiellement) les membres de gauche,

déterminer la seule de ces équations qui ne comportent pas de terme en x 2.
b) Résoudre alors cette équation.
a) Pourquoi l’équation (E3) équivaut elle à l’équation ( x − 4 )( x + 2) = 0 ?

b) Résoudre alors cette équation
a) Pour les deux équations restantes, factoriser le membre de gauche.

b) Résoudre alors ces équations.
Exercice 14

Résoudre les équations suivantes :
a) 3x + 9 = x + 2
b) 2( x − 1) = 2x + 3
c) 4 x 2 − 25 = 0.
d) ( x + 1)(2x − 5) − ( x + 1)( x + 2) = 0.
e) (2x + 1)2 − ( x − 2)2 = 0.

x +2 x −2
=
.
4
3
g) x ( x + 4 ) = x 2 + 1.

f)

Exercice 15

Exercice 16

Se ramener à un quotient égal à 0, puis résoudre l’équation.
a)

2x − 1
=1
x +3

b)

−2x
=3
1+ x

c)

2 1 5
+ =
x 3 3x

d)

7
2
= .
x +1 x

Sur un écran de calculatrice, on représente les fonctions f et g définies sur �
par :

f ( x ) = x 2 ( x − 11) et g ( x ) = x − 11.
Résoudre graphiquement f ( x ) = g ( x ).

30

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

Résoudre algébriquement l’équation : f ( x ) = g ( x ).
Pourquoi la résolution graphique ne donne-t-elle pas

les mêmes solutions que la résolution algébrique ?
A l’aide de la calculatrice, construire les courbes

représentatives des fonctions f et g pour :

−1, 5 ≤ x ≤ 11, 5 et −30 ≤ y ≤ 70.
La résolution graphique donne-t-elle cette fois le même
ensemble de solutions que la résolution algébrique ?
Exercice 17

Un carré est tel que si l’on augmente son côté de 3 cm, alors son aire augmente
de 21 cm2.
Calculer son côté.

Exercice 18

Un martin pêcheur est perché sur une branche B lorsqu’il aperçoit un poisson
dans la rivière ; il plonge directement sur lui et remonte ensuite se percher sur
une autre branche A.
B
Déterminer la distance PM au cm

A
5m

3,5 m
M

P
10 m

Exercice 19

Exercice 20

près sachant que les distances AP et
BP sont égales.
Donner une solution géométrique

N
I

pour déterminer la position du
poisson.

Trouver 5 entiers consécutifs tels que la somme des carrés des deux plus grands
d’entre eux soit égale à la somme des carrés des trois nombres restants.

3
Quel entier faut-il rajouter au numérateur et au dénominateur du nombre
7
pour obtenir le double de ce nombre ?

Séquence 3 – MA20

31

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4
A
Activité 1

Inéquations : résolution
graphique et algébrique
Activités
Étude du signe d’un produit


Rappel du signe d’un produit

a et b désignent deux nombres réels. Compléter le tableau ci-dessous
Signe de a

+



+



Signe de b



+

+



Signe de a × b


Les facteurs dépendent de x : tableau de signes

On va étudier le signe du produit (2x + 5)( 3 − x ) selon les valeurs du nombre réel x.
a) Faire le tableau de signe de 2x + 5 et celui de 3 − x .
b) Sans calcul, en lisant les tableaux de signe, donner pour x = 6, 4 le signe
de 2x + 5 et 3 − x .
En déduire le signe de leur produit lorsque x = 6,4.
Recommencer pour x =

3 puis pour x = −3, 7.

c) On rassemble les deux tableaux de signe en un seul. Le Compléter.

x

−∞



5
2

3

+∞

Signe de 2x + 5
Signe de 3 − x
Signe de (2x + 5)( 3 − x )
d) Compléter : (2x + 5)( 3 − x ) est strictement positif quand x................................
(2x + 5)( 3 − x ) est strictement positif quand x................................
(2x + 5)( 3 − x ) est strictement négatif quand x..............................

32

Séquence 3 – MA20

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Activité 1

Plan d’une maison
Un architecte doit créer une maison de hauteur 10
m formé d’un corps rectangulaire de largeur 2x m
et d’un toit en forme de triangle isocèle de hauteur
x mètre.

x

10

Exprimer l’aire du rectangle et celle du triangle

en fonction de x.

a) Sur la calculatrice, construire les courbes

représentant ces deux aires pour x appartenant
à ]0 ;10[ (bien choisir la fenêtre).

2x

b) Trouver graphiquement une valeur approchée de x pour laquelle ces aires
sont égales ; déterminer x par le calcul.
Par lecture graphique, préciser toutes les valeurs de x pour lesquelles l’aire du

triangle est supérieure ou égale à l’aire du rectangle.
Comment peut-on retrouver ces valeurs par le calcul ?

B

Cours


Résolution graphique d’une inéquation

Les fonctions f et g sont représentées par les courbes C et C’ ; k est un nombre
réel.
f (x) < k
Exemple

Résoudre l’inéquation f ( x ) < 3
Les solutions sont les réels de
l’intervalle ]-0,5 ; 3,5[

Cas général
On trace la droite d’équation
y = k.
Les solutions sont les abscisses
des points de la courbe situés au
dessous de la droite d’équation
y = k.

y
4
y=3

3
2

C

1

x
–0,5 0

1

2

3 3,5

–1

Séquence 3 – MA20

33

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f (x) > k
Exemple

Résoudre l’inéquation f ( x ) > 3
Les solutions sont les réels de
] − ∞; −0, 5[∪]3, 5; +∞[.

Cas général
On trace la droite d’équation
y = k.
Les solutions sont les abscisses
des points de la courbe situés au
dessus de la droite d’équation
y = k.

y
4
y=3

3
2

C

1

x
–0,5 0

1

2

3 3,5

–1

f (x) < g(x)
Exemple

y

Les solutions sont les nombres
réels de l’intervalle ]0,6 ;2,2[
C

Cas général
On cherche les points de C situés
au dessous de C’.
On lit leurs abscisses.

1

0

0,6 1

x

2,2

C’



Résolution algébrique
Définition
Deux inéquations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes
solutions.

34

Séquence 3 – MA20

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Exemple

3x > −6 est équivalent à x > −2.
À savoir

Propriété :
On transforme une inéquation en une inéquation équivalente :


En développant ou factorisant certains de
ses termes



En ajoutant ou retranchant un même terme
à chaque membre



En multipliant ou divisant chaque membre par un même nombre non nul
– sans changer le sens de l’inégalité si ce
nombre est positif.
– en changent le sens de l’inégalité si ce
nombre est négatif.



Exercice 1

Pour résoudre une inéquation qui
ne se ramène pas à une inéquation
du premier degré, on la transforme
toujours en une inéquation équivalente dont un des membres est nul.
La résolution d’une inéquation se
ramène alors à une étude de signe.

Exercices résolus

Résoudre les inéquations suivantes :
a) −2x + 3 > − x +

1
2

b)

2x + 7 x − 9
<
3
4

(

)

c) 5x − 2 x + 1 > 3x + 1.

Réponse :
a) En retranchant le membre de droite aux deux membres, on obtient :
1
5
5
−2x + 3 + x − > 0, soit − x + > 0 et donc x < .
2
2
2

5⎡
Conclusion : S = ⎥ −∞ , ⎢ .
2⎣

2x + 7 x − 9
b) Par la même méthode, il vient

< 0, d’où ce qui équivaut à
3
4
5x + 55
< 0.
12
12
En multipliant les deux membres par
, on a x + 11 < 0 et donc x < −11.
5
Ainsi S = ⎤⎦ −∞ , −11⎡⎣ .
c) Retranchons 3x + 1 à chaque membre : 5x − 2x − 2 − 3x − 1 > 0, ce qui fait
−3 > 0. L’inconnue x a disparu.
Comment interpréter ce résultat ?
N’oublions pas que l’inéquation initiale est équivalente à –3 > 0 qui est une
affirmation fausse quelle que soit la valeur de x. On peut donc affirmer que
l’inéquation initiale n’est vraie pour aucune valeur de x. Conclusion : S = ∅

Séquence 3 – MA20

35

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Exercice 2

Étudier le signe de l’expression
En déduire les solutions dans

−x + 5
x +2

� de l’inéquation

−x + 5
< 0.
x +2

Réponse :
−x + 5
en étudiant le signe de son numérateur
x +2
et de son dénominateur et en appliquant la règle des signes.
− x + 5 > 0 équivaut à x < 5.
x + 2 > 0 équivaut à x > −2.

On étudie le signe du quotient

Pour déterminer le signe du quotient, effectuons un tableau où apparaîtra le
signe de chaque facteur.
Sur la ligne des x, on fait apparaître les valeurs apparus dans l’étude du signe
des facteurs − x + 5 et x + 2 , à savoir 5 et −2 .

x

Le dénominateur d’un
quotient doit être différent de 0, donc ici

x ≠ 2.

La double barre à la dernière
ligne du tableau indique que
−2 est une « valeur interdite ».

−∞

–2

Signe de –x + 5

+

Signe de x+2



Signe de

+
0

0

+



−x + 5
x +2

+∞

5

+


+

0



−x + 5
se lit dans la dernière ligne du tableau.
x +2
Nous pouvons supprimer les lignes intermédiaires qui nous ont permis de
l’obtenir.

Le signe de

x
Signe de

–∞
−x + 5
x +2

−2


+∞

5
+

0



−x + 5
<0 si et seulement si x appartient
x +2
à l’intervalle ]–∞ ; –2[ ou à l’intervalle ]5 ;+∞[.

Nous lisons en deuxième ligne que

On en déduit que l’inéquation − x + 5 <0 admet pour ensemble de solution :
x +2
𝒮 = ⎤⎦ −∞ ; −2 ⎣⎡∪ ⎦⎤ 5; +∞ ⎡⎣ .

36

Séquence 3 – MA20

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Exercice 3

Résoudre dans

� l’inéquation

3
− 1 < 0.
x −2

Réponse :
Appliquons le savoir faire donné ci-dessus.
Il faut donc se ramener à une inéquation équivalente dont l’un des membres
est nul.
Pour cela, retranchons 1 aux deux membres de l’inéquation.
3
− 1 < 0.
x −2
x −2
Nous pouvons alors poursuivre en écrivant que 1 =
(mise au même
x −2
dénominateur)
On obtient

Il vient :
x −2
3
3− x +2
−x + 5

< 0 soit
< 0 soit
< 0.
x −2 x −2
x −2
x −2
Le problème revient donc à l’étude de signe que nous avons effectuée dans
l’exercice précédent.
3
On en déduit l’ensemble des solutions de l’inéquation
< 1 est :
x −2
= ] − ∞; −2[∪]5; +∞[.

C

Synthèse

y

Inéquations
Résolution graphique
Soit f une fonction définie sur
représentative C.

� , de courbe

k désigne un nombre réel.
Les solutions de l’équation f ( x ) < k sont les
abscisses des points de C situés au dessous
de la droite d’inéquation y = k.

y=k

Ci contre 𝒮 = ⎤⎦a ; b ⎡⎣ .

C
x
a 0

1

b

Les solutions de l’inéquation f ( x ) > k sont
les abscisses des points de C situés au dessus
de la droite d’équation y = k .
Ci contre = ] − ∞;a[∪]b ; +∞[.

Séquence 3 – MA20

37

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Soit f une fonction de
courbe représentative C
et g une fonction de courbe représenta-tive C’.

y

Les solutions de l’inéquation

C

1

f (x ) < g(x )

sont les abscisses des

0

points de C situés au

a 1

x

b

dessous de C’.
C’
Ci contre = ⎤⎦a ; b ⎡⎣ .

Résolution algébrique
On peut toujours se
ramener à une étude
de signe grâce à des
inéquations équivalentes.

C

Dans un repère, est la courbe représentative d’une fonction f définie sur [-4 ;4].


–3

–2

–1

y

Résoudre graphiquement les inéquations

1

f ( x ) ≥ 1.

0

2

3

x

f ( x ) > 0.
f ( x ) ≤ −1.

–2

f ( x ) > −3.

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1

–1

–3

38

les deux membres d’une inéquation par un nombre réel strictement négatif.

Exercices d’apprentissage

Exercice 21

–4

Ne pas oublier de changer le sens de
l’inégalité si vous multiplier ou diviser

Exercice 22

Dans un repère, est toujours la courbe représentative d’une fonction f définie sur
[-4 ;4].


–4

–3

–2

y

On considère la fonction affine g restreinte à
l’intervalle [-4 ;4 ] représentée ci-contre.

1

Résoudre graphiquement les inéquations

0

–1

2

1

3

f ( x ) ≥ g ( x ).

x

–1

f ( x ) > g ( x ).

–2

f ( x ) < g( x )

–3

Exercice 23

Résoudre dans

� les inéquations

−2x + 3 < x + 4


3x − 2( x − 4 ) < x .

2
x +8<0
3

Exercice 24



x

2x − 5 2x − 3

.
3
7

–∞

−2


Signe de f ( x )

+∞

7
+

0



Voici le tableau de signes d’une fonction f ( x ).
Quelle est la valeur pour laquelle :

a) On ne peut pas calculer f ( x ).
b) f ( x ) s’annule
Donner le signe de

a) f (0 )

b) f ( −100 )

c) f (5 3 ).

Dans chaque cas, compléter par >, <, ≥ , ≤ .

a) Pour x < −2 ,

f ( x )......0;

b) Pour −2 < x < 7

f ( x )......0;

c) Pour x ≥ 7

f ( x )......0;

d) Pour −2 < x ≤ 7

f ( x )......0.

Séquence 3 – MA20

39

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Exercice 25

a) Étudier le signe de (2x − 1)( x − 3)
x +4
b) Étudier le signe de
.
3 − 2x

Exercice 26

Résoudre l’inéquation

(5x − 3)( 4 − x ) > 0.
Vérifier avec une calculatrice.

Exercice 27

a) Démontrer que x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2)2 − 1.

G

F

b) En déduire la forme factorisée de x 2 − 4 x + 3.
c) Construire le tableau de signe de l’expression
( x − 1)( x − 3).
d) En déduire les solutions de l’équation :

D

x 2 − 4 x + 3 > 0.
e) Indiquer la démarche permettant de vérifier ce résultat
à la calculatrice.

C
B

A

Sur la figure ci-contre, ABCD et BEFG sont des

E

carrés. Déterminer les réels positifs x tels que la
somme des aires de ces deux carrés soit strictement
supérieure à 10.

x
4

Exercice 28

Résoudre dans


40

x +1
≥0
3− x

� les inéquations :


−5x
2

(2x − 7)

≥ 0.



x +4
< 2.
5− x

Exercice 29

Un particulier a des marchandises à faire transporter. Un premier transporteur lui
demande 460€ au départ et 3,5€ par km. Un second transporteur lui demande
1000€ au départ et 2€ par kilomètre.
Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s’adresser au second
transporteur ?

Exercice 30

Pour quelles valeurs de x l’aire d’un carré, de côté x est-elle inférieure à l’aire d’un
trapèze, de hauteur x et dont les deux bases ont pour longueur respectives x et 3 ?

Exercice 31

Quels sont les nombres réels dont le double est strictement supérieur au cube ?

Séquence 3 – MA20

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5 Algorithmique
A

Prérequis


Rappels

Division euclidienne

L’ensemble

� des entiers naturels est formé des nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4, etc.

Si on adjoint à l’ensemble � tous les opposés des entiers naturels 0 ; −1;
–2; –3; –4; etc. on forme l’ensemble � des entiers relatifs qui comprend entre



autres, ...; − 17; ...; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; ...;19; ...
La division de 30 par 7 se pose de la manière suivante :
diviseur

dividende
30 7
2
reste

4
quotient

La division euclidienne de 30 par 7 s’écrit 30 = 7 × 4 + 2 .
Le reste (ici 2) doit être strictement inférieur au diviseur (ici 7).
Définition
De manière générale, étant donnés deux entiers naturels A et B, il
n’y a qu’une seule façon d’écrire A = BQ + R avec 0 ≤ R < B (Q et R
doivent être des entiers naturels).
Cette écriture s’appelle la division euclidienne de A par B.

A s’appelle le dividende, B le diviseur, Q le quotient, R le reste.



Divisibilité
Définition
Lorsque le reste de la division euclidienne de A par B est égal à zéro
on dit que B est un diviseur de A ou que B divise A ou encore que A
est divisible par B.

Séquence 3 – MA20

41

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Exemples

7 est un diviseur de 35 puisque 35 = 7 × 5 + 0.
1 et 5 sont d’autres diviseurs de 35 puisque 35 = 1× 35 + 0 et que

35 = 5 × 7 + 0.
Les nombres 1; 2; 3; 4; 6; 12 sont des diviseurs de 12.


Partie entière d’un réel positif

Pour la réalisation de certains algorithmes dans la suite du cours, lorsque nous
disposerons d’un nombre réel positiff, il sera utile d’utiliser la notation ent(a)
pour parler du nombre obtenu en enlevant les chiffres après la virgule dans
l’écriture décimale de a ≥ 0.
Exemples

ent(3,9) = 3 ;

ent(7,1) = 7 ;

ent(12) = 12

L’étude de la partie entière des nombres réels strictement
négatifs est plus délicate. Nous ne l’aborderons pas ici.

Exemples

Pour calculer la partie entière de 8, 01 :
Avec la calculatrice Texas Instrument TI82 stats.fr, on entre

ent(8.01)
Remarque
Un nombre réel positif est entier (autrement dit, il appartient à � ) si et seulement s’il est égal à sa partie entière.

B

(ent se trouve dans le menu MATH)
Avec la calculatrice Casio Graph 25+, on entre

Int(8.01) (Int se trouve dans MENU OPTN NUM)
Avec le tableur CALC d’OPEN

cellule la formule

OFFICE,

on entre dans une

=ENT(8,01)

Introduction au langage
de programmation
Il s’agit ici de présenter les mots à écrire dans une machine (calculatrice,
ordinateur) afin de traduire un algorithme sous une forme qui pourra être
comprise par la machine. Ainsi, une fois la traduction faite, une personne
désireuse de faire fonctionner l’algorithme n’aura qu’à préciser à la machine
l’Entréee pour que cette dernière réponde automatiquement la Sortie
correspondante.

42

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne



Calculatrices

A. TI82 stats.fr (Texas Instrument)
Nous allons écrire un programme dans
le langage de la calculatrice TI82 stats.
fr de l’algorithme suivant :
ENTRER X
DANS A METTRE X 2

Vocabulaire
La traduction d’un algorithme dans
le langage de la calculatrice s’appelle
un programme de l’algorithme.

DANS B METTRE 3 × X
DANS C METTRE A + B − 7
AFFICHER C
(Cet algorithme calcule l’image du nombre x par la fonction f ( x ) = x 2 + 3x − 7 ).
Nous allons commencer par créer un nouveau programme
Touche de la
calculatrice
PRGM

Affichage
Un menu en bandeau comportant
3 choix : EXEC EDIT NOUV

Commentaires
Utiliser les flèches et pour se déplacer
dans ce menu.
Pour quitter ce menu utilisez la fonction
QUITTER (touches 2NDE MODE).



Le deuxième choix EDIT du menu Pour éditer un programme déjà créé, c’estest sélectionné
à-dire pour modifier le contenu de ce
programme.



Le troisième choix NOUV du menu Pour créer un nouveau programme.
est sélectionné

ENTRER
2ND
ALPHA

PROGRAMME
Nom =

On a validé le choix sélectionné (NOUV). La
calculatrice attend que l’on donne un nom
au nouveau programme.

Le curseur clignotant affiche un Pour bloquer
«A»
alphabétique.

le

clavier

en

mode

Les lettres de l’alphabet sont écrites au
dessus des touches du clavier

F
C
T

ENTRER

PROGRAM : FCT
:

Pour valider le nouveau nom donné au
programme.
La calculatrice attend alors la saisie de la
première ligne du programme

Séquence 3 – MA20

43

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Il nous faut maintenant saisir le programme proprement dit. Voici ce que vous
devez saisir :
Prompt X
X ^2→ A
3∗ X → B
A +B − 7→C
Disp C
Plus généralement voici des indications pour effectuer la saisie d’un programme.
Le symbole → s'obtient par la touche STO→
Touche de la
calculatrice

Affichage

Commentaires

Instructions d’Entrée / Sortie

PRGM 2

Prompt

PRGM 3

Disp

C’est la 2ème instruction du sous-menu E/S (Entrée/Sortie)
des instructions disponibles dans un programme (PRGM).
Son rôle est de demander à l’utilisateur du programme
d’entrer une valeur.
Cette valeur sera stockée dans la variable X si on a tapé
Prompt X
C’est la 3ème instruction du sous-menu E/S.
Son rôle est d’afficher le contenu de la variable qui suit.
Par exemple, Disp C affiche le contenu de la variable C.

Instructions de contrôle

44

C’est la 1ère instruction du sous-menu CTL (contrôle).
Son rôle sera expliqué plus loin. (séquence 4)

PRGM 1

If

PRGM 2

Then

PRGM 3

Else

PRGM 4

For

PRGM 5

While

PRGM 7

End

PRGM D

prgm

Pour exécuter les instructions d’un autre programme
déjà créé.
Le nom du programme est donné à la suite.

PRGM E

Return

Pour revenir au programme appelant.
(nécessite, au préalable, l’exécution d’une instruction
prgm décrite ci-dessus).

Séquence 3 – MA20

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idem
idem
idem
idem
idem

Instructions de tests logiques
2NDE MATH

Un menu en bandeau Ce sont les items du premier choix (TEST)
comportant 2 choix : qui sont présentées ici.
TEST LOGIQUE

2NDE MATH 1

=

Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 2



Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 3

>

Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 4



Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 5

<

Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 6



Effectue un test entre deux quantités

Une fois le programme précédent mémorisé dans la calculatrice TI82 stats.fr,
quittons l’édition du programme par la fonction QUITTER (touches 2NDE MODE ).
Plaçons-nous du point de vue de l’utilisateur pour le faire fonctionner.
Voici la démarche : PRGM , ou puis ENTRER .
Pour l’utilisateur le déroulement du programme se réduit à l’Entréee de X (par
exemple, à la question X=?, on entre le nombre 2) puis à l’affichage de la
Sortie (le nombre 3 dans notre exemple car f (2) = 22 + 3 × 2 − 7 = 3 ). Les calculs
intermédiaires n’apparaissent pas.
Exemple 1

Écrire un programme de l’algorithme suivant dans le langage de la TI82 stats.fr

ENTRER X
DANS A METTRE X + 1
DANS B METTRE X − 2
DANS C METTRE A / B
AFFICHER C

Tester ce programme avec X = −6

puis avec X = 2 . Que se passe-t-il ?
Pourquoi ?

La touche − s’utilise pour
la soustraction alors que
pour l’opposé on utilise
la touche ( − ) .

Réponse :
PROMPT X
X + 1→ A
X − 2→ B
A /B →C
DISP C

Séquence 3 – MA20

45

© Cned – Académie en ligne

Avec X = −6 le programme affiche 0.625. Avec X = 2 la variable B est égale

à zéro; l’opération A / B ne peut donc se faire ce qui explique l’erreur obtenue
par la machine.

B. Graph 25 + (Casio)
Si vous avez ce modèle de calculatrice, nous vous indiquons, ici, les spécificités
de la calculatrice Graph 25+ afin que vous puissiez reprendre les notions vues au
paragraphe précédent.
Par la touche Menu puis le choix PRGM qu’on valide à l’aide de EXE on peut
Créer un nouveau programme par la touche F3 (choix NEW du bandeau) puis
le nom du programme et enfin EXE.
Éditer un programme déjà créé par la touche F2 (choix EDIT du bandeau) puis
EXE. On quitte l’édition du programme par la touche QUIT.
Exécuter un programme déjà créé par la touche F1 (choix EXE du bandeau)
puis EXE, à condition d’être passé en mode RUN auparavant (par la touche
MENU puis le choix RUN).
TI82 stats.fr

Graph25+

Commentaires

Prompt X

?→X

le ? s'obtient par SHIFT, VARS, Ñ, F1

Disp X

Xy

le y

If

If

SHIFT, VARS, F1, F1

Then

Then

SHIFT, VARS, F1, F2

Else

Else

SHIFT, VARS, F1, F3

While

While

SHIFT, VARS, F1, Ñ, Ñ, F1

End

IfEnd
ou IfEnd s'obtient par SHIFT, VARS, F1, F4
WhileEnd
WhileEnd s’obtient par SHIFT, VARS, F1, Ñ, Ñ, F2

s'obtient par SHIFT, VARS, Ñ, F2

Une fois éditer le programme de l’exemple 1 du paragraphe précédent on
obtient :
?→X
X+1→ A
X–2→B
A/B→C
Cy



Tableur

Nous utilisons, ici, le tableur CALC d’OPEN OFFICE.
Une feuille de calcul du tableur CALC d’OPEN OFFICE est un tableau dans lequel on
repère chaque colonne par une lettre (A; B; C; etc.) et chaque ligne par un nombre
(1; 2; 3; 4; etc.).

46

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

La case du tableau située sur la colonne B et sur la ligne 3 s’appelle la
cellule B3.
Dans chaque cellule, on peut entrer un nombre, une formule ou une chaine de
caractères.
Pour entrer un nombre il suffit de saisir sa valeur. Une formule doit commencer par le
caractère réservé = (égal). Une chaine de caractère doit être entourée du caractère «
(guillemets) comme par exemple «Tout flatteur vit aux dépens de celui qui l’écoute».
Exemple

Dans la cellule A1 on a saisi le nombre 492. Dans la cellule A2 on a saisi la
formule =A1+5 puis la touche ENTRER . Instantanément, la valeur du résultat
s’affiche : dans la cellule A2, on peut lire 497. Si l’on souhaite modifier la formule
on appuie sur la touche F2 .
1
2

A

B

492

=A1+5

C

validation
par la touche
ENTRÉE .

A

B

C

1

492

497

2

Lorsqu’on modifie le nombre dans la cellule A1, le résultat de la cellule A2 change
puisque la formule =A1+5 fait référence au contenu de la cellule A1.
Exemple 2

On considère la feuille de calcul suivante :

On souhaite afficher dans la cellule C1 le résultat du calcul 3 – 2 dans le

premier cas et du calcul 7 – 4 dans le second cas. Quelle (même) formule doiton saisir dans la cellule C1 ?
On suppose avoir rentré un nombre x dans la cellule A1 et un nombre y dans

la cellule B1.
a. Quelle formule écrite dans la cellule D1 affichera le résultat de x + y ?
x −y
b. Quelle formule écrite dans la cellule E1 affichera le résultat de
?
x +y
Réponses :
On peut saisir, dans la cellule C1, la formule =A1+B1
a. On peut saisir, dans la cellule D1, la formule =A1–B1.

b. Dans la cellule E1, on peut saisir la formule =C1/D1.

C. Instruction conditionnelle
Exemple

Promotion sur le riz complet
Dans un magasin d’aliments biologiques les céréales sont vendues au poids. Le
riz complet est à 10€ le kilogramme. Lorsque le poids de riz acheté dépasse 2kg,
le riz supplémentaire acheté est au prix de 5€ le kg. On a représenté ci-dessous le
prix p (en €) d’un poids x (en kg) de riz complet dans ce magasin :

Séquence 3 – MA20

47

© Cned – Académie en ligne

prix (€)
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

1

2

3

poids (kg)

0

Pour le calcul du prix d’un poids de x kg de riz complet nous devons
- décider si x < 2 ou si x ≥ 2
- pour le choix précédent, tenir compte du fait que le prix p est une fonction affine
du poids x.
Un moyen de calculer p(x) est, au préalable, de tester la condition x < 2 .
L’algorithme suivant regroupe les deux cas :
Entrée
Traitement

Sortie

ENTRER x
SI x < 2
ALORS
DANS p METTRE 10 × x
SINON
DANS p METTRE 5 × x + 10
fin du SI
AFFICHER p

Cet algorithme peut se transcrire dans le langage de la calculatrice par le
programme :
Remarque
Sur la Graph 25+, le signe < s’obtient par SHIFT, VARS, Ñ, Ñ, F1
(Menu REL).

48

Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

TI82 stats.fr (Texas Instrument)
PROGRAM : RIZ
:Prompt X
:If X<2
:Then
:10*X→P
:Else
:5*X+10→P
:End
:Disp P

Graph 25 + (Casio)
= RIZ =
?→X8
If X<2y
Then 10 × X→P8
Else 5 × X+10→P8
IfEnd8
Py

Exercice

Faites fonctionner ce programme avec les valeurs 0,5; 1; 1,9; 2; 2,1; 4.

Réponse
À chaque exécution du programme l’utilisateur rentre une valeur pour X puis la
machine teste si la condition X < 2 est vérifiée.
X < 2, il effectue les instructions placées entre le Thenn et le Elsee puis
celles situées après le Endd. Dans l’exemple présent, après que la machine
ait constatée que la condition X < 2 soit bien vérifiée elle effectue les deux
instructions : 10 – X → P puis Disp P.

Si

C’est le cas pour les trois valeurs de X suivantes :

Si X ≥ 2

alors le programme effectue les instructions situées entre le Elsee et
le End puis celles situées après le Endd. Dans l’exemple présent, après que la
machine est constatée que la condition X < 2 n’est pas vérifiée elle effectue
les deux instructions : 5 × X + 10 → P puis Disp P. C’est le cas pour les trois
valeurs de X suivantes :

Remarque
Pour traduire la phrase SI… ALORS… SINON…
fin du SI nous avons eu recours à de nouveaux
termes du langage appelés instructions conditionnelles.. Pour la TI82 stats.fr, ces instructions se
tionnelles
composent d’une structure de la forme : If condition : Then opération1 : Else opération2 : End
Pour le tableur, on peut utiliser dans une formule
la fonction SI
SI(condition;
(condition; résultat1; résultat2) qui
renvoie un résultat.

Exemple 3

A l’aide d’une feuille de calcul du tableur CALC
d’OPEN OFFICE on peut faire fonctionner le même
algorithme, en plaçant la valeur voulue de X dans
la cellule A1 et la formule =SI(A1<2; 10*A1;
5*A1+10) dans la cellule A2. Cette formule (qui
débute toujours par le signe égal) utilise la
fonction SI du tableur. La syntaxe de la fonction
SI est SI(conditionn ; résultat1 ; résultat 2). Le
résultat de la fonction SI est égal à résultat1
lorsque conditionn est vraie et est égal à résultat2
lorsque conditionn est fausse.

A l’aide d’une structure conditionnelle If… Then… Else… End, écrire un

programme pour la TI 82 stats.fr dont la Sortiee est la chaine de caractères «POSITIF»,
«NEGATIF» ou «NUL» selon que l’Entrée x vérifie x > 0 , x < 0 ou x = 0 .
Donner la démarche à suivre pour obtenir le même résultat à l’aide du tableur

CALC d’OPEN OFFICE.

Séquence 3 – MA20

49

© Cned – Académie en ligne

Réponses

Remarque
Sur la Graph 25+, le
symbole “ (guillemets) s’obtient par
ALPHA, F2.

TI82 stats.fr (Texas Instrument)
:PROMPT X
:If X > 0
:Then
:”POSITIF” → S
:Else
:If X < 0
:Then
:"NEGATIF" → S
:Else
:"NUL" → S
:End
:End
:DISP S

Graph 25 + (Casio)
?→X ↵
If X>0 ↵
Then "POSITIF"→S ↵
Else If X<0 ↵
Then " NEGATIF "→
S↵
Else "NUL"→S ↵
IfEnd ↵
IfEnd ↵
S

Le contenu de la cellule A1 (qui doit être un nombre réel) entré par l’utilisateur

joue le rôle de la variable X du programme précédent.
Procédons par étapes :
Occupons-nous dans un premier temps du cas où le nombre placé dans la
cellule A1 est un nombre positif ou nul. On peut saisir dans la cellule A2 la
formule suivante
= SI(A1>0; «POSITIF»; «NUL»)
On pourra alors lire dans la cellule A2 le mot POSITIF si le nombre placé dans
la cellule A1 est strictement positif et le mot NUL si le nombre placé dans la
cellule A1 est égal à zéro.
Si le nombre placé dans la cellule A1 est strictement négatif la cellule A2 affiche
« NUL ». Sinon, elle affiche le résultat demandé. Pour prendre en compte ces
deux alternatives on peut saisir, dans la cellule A3, la formule suivante
= SI(A1<0; «NEGATIF»; A2)
Dans tous les cas, la cellule A3 affiche le résultat demandé.
Une manière synthétique d’écrire les choses est d’entrer directement dans la
cellule A2 la formule suivante
= SI(A1<0; «NEGATIF»; SI(A1>0; «POSITIF»; «NUL»))
Avec cette solution, le résultat escompté s’affichera dans la cellule A2.
Exemple 4

On considère l’algorithme suivant :
Entrée
ENTRER A
Traitement
SI A < 10
ALORS

SINON

Sortie

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Séquence 3 – MA20

© Cned – Académie en ligne

fin du SI
AFFICHER D

DANS B METTRE A
DANS C METTRE 10
DANS D METTRE B+C
DANS B METTRE A/10
DANS D METTRE ent(B)

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