controle 2 bac math 2017 (BOUHOUCH AMEUR) .pdf


Nom original: controle 2 bac math 2017 (BOUHOUCH AMEUR).pdf
Titre: mon controle 2 bac math 2017
Auteur: emachine

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WâÜ°x M DECÅÇ

ECDIB ECDJ

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N.B : La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante lors de l’appréciation des copies….
Exercice n°1: (6pts)
n
1 nt
dt
dt .
Pour tout n ∈ IN * , on pose Un= ∫0
et Vn= ∫0
1 +t n
1 +t n

1

1) a) Calculer U1 et vérifier que V n = n (1 − U n ) .

1
b) Montrer que pour tout réel t ≥ 0 , on a : 1 − t n ≤
≤1
n

1 +t
1
c) En déduire que 1 −
≤ U n ≤ 1 et Calculer n lim +∞ U n .
n +1

1

n
2) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que V n = ln(2) − ∫0 ln(1 + t )dt , pour tout n ≥ 2 .

n.t n
n.t n -1
sous la forme
.t )
( On pourra écrire
1 +t n
1 +t n

3) a) Montrer que pour tout réel x ≥ 0 on a : 0 ≤ ln(1 + x ) ≤ x .
1
1
n
b) En déduire que 0 ≤ ∫0 ln 1 + t dt ≤
pour tout n ≥ 2 .
n +1
c) Prouver, alors, que n lim + ∞ n.(1 - U n ) = ln(2)

(

)

Exercice n°2: (7pts)

π
Dans le plan orienté, On considère un triangle ABC rectangle en A et tel que  CA , CB  ≡ [2π ] .





3

On note H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).
1) Soit S la similitude directe qui envoie A en B et C en A.
a) Montrer que le rapport de S est égal à 3 .
b) Déterminer l’angle de S.
c) Montrer que le point H est le centre de S.
2) Soit le point A' le milieu du segment [BC] et D le symétrique de A par rapport à H.
a) Montrer que les triangles CA A' et ABD sont équilatéraux directs et déduire que S( A' )=D.
b) Prouver que A' est le centre de gravité du triangle ABD.
c) Montrer que le triangle BDC est rectangle en D et que (A A' )//(CD).
-1
3) Soit la transformation f =S oS(AA') .
a) Montrer que f est une similitude indirecte dont on précisera le rapport.
1

b) Soit Ω le centre de f. Déterminer les images des points A et D par f et déduire que Ω ∈ (CD) .
c) Déterminer l’image du triangle ABD par f et déduire que f(B)= A' .
d) Prouver, alors, que Ω est le projeté orthogonal de A sur (CD) puis placer Ω et construire
l’axe ∆ de f.
Exercice n°3: (7pts)

(

)

ln x 2 +1
, On note (C) sa courbe représentative dans
Soit f la fonction définie sur IR par f ( x) =
2
x
+
1
r r
un repère orthonormé (O, i , j ) .
2 x.(1 − ln (x 2 +1))
1) a) Montrer que f ' ( x) =
(x 2 +1)2 , pour tout x ∈ IR .
b) Dresser le tableau de variation de f.
2) Etudier la parité de f. interpréter graphiquement ce résultat.
3) Tracer la courbe (C).( unité graphique 2 cm).
4) Soit g la restriction de f relativement à l’intervalle 0, e − 1 .
−1
a) Montrer que g admet une fonction réciproque g définie sur 0,e −1 .
−1
b) Tracer la courbe (C’) de g dans ce même repère.

[

[

]

g( x)

5) Soit la fonction F définie sur 0, e − 1 par F( x) = ∫0
1
∫ t.g(t) dt = 4 (ln(1 + x ))
x

a) Montrer que

2

0

2

[

]

(g

−1

[

]

)

(t) 2 dt .

[

]

, pour tout x ∈ 0, e − 1 .

]

[

]

2
b) Montrer que F est dérivable sur 0, e − 1 et que F' ( x) = x g ' ( x) , pour tout x ∈ 0, e − 1 .

[

x

]

2
c) En déduire que F( x) = x g( x) - 2∫0 t.g(t) dt pour tout x ∈ 0, e − 1 .

d) Soit V le volume , en cm3, du solide en révolution
obtenu par rotation de l’arc
C = M ( x, y ); y = f ( x ) et 0 ≤ x ≤ e - 1 autour de
l’axe des ordonnées.
−1
Montrer que V = 4π 1 − 2e cm3.

{

}

(

)

BON TRAVAIL

2


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