Divisibilité dans Z .pdf


Nom original: Divisibilité dans Z.pdf
Titre: D:\mathmouf(résumés de cours 4M
Auteur: ZOUHAIER

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Lycée pilote Médenine

Divisibilité dans Z

Hadj Salem Habib

Divisibilité dans Z
I- Diviseurs et multiples d'entiers
Définition

Soit a un entier et d un entier non nul. On dit que :
d divise a

Remarque

il existe un entier k tel que a

kd

Soit a un entier et d un entier non nul.
1/ Quand d divise a on dit aussi que a est un multiple de d.
2/ L’ensemble des multiples de d est kd; k
noté d .

Th é o r è m e Soient a et b deux entiers non nuls et c un entier.
si b divise a

b divise a

alors

si b divise a et a divise b alors

a

b ou a

b.

si a divise b et b divise c alors a divise c.
si a divise b et a divise c alors a divise a

c;

,

2

Division euclidienne dans Z
Rappel

Pour tout réel x, il existe un entier unique n tel que n x n
Cet entier n est appelé partie entière de x et il est noté E x .
Ainsi E x
x Ex
1

1.

Définition Soit a un entier et b un entier non nul.

On appelle quotient de a par b l’entier q défini par :
Premier cas : b divise a alors q a
b
Deuxième cas : b ne divise pas a alors
Si b 0 alors q est le plus grand entier inférieur ou égal à a .
b
a
autrement q E
b
Si b 0 alors q est le plus petit entier supérieur ou égal à a .
b
a
autrement q E
1.
b
On apelle reste de a par b l’entier r a bq où q est le quotient
de a par b.

Conséquence

Pour tout entier a et pour tout entier b non nul, il existe un couple unique
d’entiers q, r tels que a qb r et 0 r |b|.

Remarque

0

r

r

|b|

0; 1; 2; . . . ; |b|

1 .

Congruence
Définition

Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers. On dit que
a est congru à b modulo n (ou a et b sont congru modulo n)
il existe k
On note

Hadj Salem Habib

a

b

tel que a

b

mod n ou aussi

Page 1

kn
a

b

n

Lycée pilote Médenine

Divisibilité dans Z

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Th é o r è m e
Soient n un entier naturel non nul et a et b deux entiers.
Désignons par r et r les restes respectifs de a et b dans la
r r n
division euclidienne par n. On a: a b n

Th é o r è m e
Soient a, b, c et d quatre entiers et n un entier naturel non nul.
si

a

b

n

si

a

b

n et

si

a

b

n

alors

ca

cb

si

a

b

n

alors

am

bm

si

a

b

n et c

d

n

alors

a

c

b

d

n

si

a

b

n et c

d

n

alors

a

c

b

d

n

Hadj Salem Habib

b

alors
b

c

n

a

n
a

alors

c

n

n
n

IN .

avec m

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