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Limites, continuité dérivabilité

Pascal Lainé

Exercice 7 :
Calculer si elles existent
1.
ln(1 + 𝑒 2𝑥 )
lim
𝑥→+∞
𝑥
2.
7 − 1
𝑥2

lim 𝑥 − 2 𝑒

𝑥→0

Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Soit 𝑓𝑛 : ℝ → ℝ l’application définie, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, par :
𝑓𝑛 (𝑥 ) = ln(1 + 𝑥 𝑛 ) + 𝑥 − 1
1. Montrer qu’il existe 𝑐𝑛 ∈ [0,1] tel que 𝑓𝑛 (𝑐𝑛 ) = 0.
2. Montrer que 𝑓𝑛 est strictement croissante sur ℝ+, en déduire que 𝑐𝑛 est unique.
Allez à : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Soit 𝑓 la fonction définie sur [1, +∞[ par 𝑓𝑛 (𝑥 ) = 𝑥 𝑛 − 𝑥 − 1, avec 𝑛 ≥ 2.
1. Montrer qu’il existe un unique 𝑥𝑛 > 1 tel que 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) = 0
2. Montrer que 𝑓𝑛+1 (𝑥𝑛 ) > 0.
3. En déduire que la suite (𝑥𝑛 ) est décroissante et quelle converge vers une limite 𝑙.
4. Déterminer 𝑙.
Allez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ . Soit 𝑓𝑛 une fonction définie sur [0,1] par :
𝑥
𝑓𝑛 (𝑥 ) = 1 − − 𝑥 𝑛
2
1. Montrer qu’il existe un unique 𝑥𝑛 ∈ [0,1] telle que 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) = 0.
2. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑓𝑛+1 (𝑥𝑛 ) > 0,
3. En déduire que (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ∗ est monotone et qu’elle converge vers une limite 𝑙.
4. Supposons qu’il existe 𝑀 ∈ ℝ tel que pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ 0 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 < 1
a. Calculer la limite de 𝑥𝑛𝑛 lorsque 𝑛 tend vers l’infini.
b. Montrer qu’il y a une contradiction et en déduire la limite de (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ∗
Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
1. Soient 𝑎 et 𝑏 des nombres réels tels que 𝑎 < 𝑏 et 𝑓 une application de [𝑎, 𝑏] dans [𝑎, 𝑏]
a) On suppose que pour tout (𝑥, 𝑦) ∈ [𝑎, 𝑏] × [𝑎, 𝑏] on a :
|𝑓(𝑥 ) − 𝑓 (𝑦)| ≤ |𝑥 − 𝑦|
Montrer que 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏].
En déduire qu’il existe 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], tel que 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥.
b) On suppose maintenant que pour tout (𝑥, 𝑦) ∈ [𝑎, 𝑏] × [𝑎, 𝑏] 𝑥 ≠ 𝑦 on a :
|𝑓(𝑥 ) − 𝑓 (𝑦)| < |𝑥 − 𝑦|
Montrer qu’il existe un unique 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], tel que 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥
2. On désigne par 𝑓 l’application de [0,2] dans ℝ, définie pour tout 𝑥 ∈ [0,2] par :
𝑓 (𝑥 ) = ln(2 + 𝑥 2 )
a) On pose
2