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Géométrie dans l'espace

Lycée pilote Médenine

GEOMETRIE DANS L’ ESPACE
Dans tout ce chapitre , les bases ou les repères sont orthonormés de sens direct.

I/ Produit scalaire et conséquences .
1- Définition 1 : * Soit A , B et C des points de l’espace . L e produit scalaire des vecteurs
 
AB et AC est défini par :
 
 
 
 AB . AC = 0 si AB = 0 ou AC = 0 .
 
 
 , si AB et AC sont non nuls .
 AB.AC = AB  AC  cos BAC
 
 AB.AB = AB² .
  
2- Propriétés : Pour tous vecteurs u , v et w de l’espace et tous réels  et  .
  
 

 


*u.v = v.u * u . ( v + w ) * (  u ) . v = u (  v ) =  ( u.v )



(  u ) (  v ) =  ( u.v )
3- Définition 2 :
  
Soit ( O , i , j , k ) un repère orthonormé de l’espace , de l’espace .
x
 x 
     

Pour tous vecteurs u  y  et v  y   , u.v = xx + yy + zz . u  x² + y² + z² .
z
 z 
 
 

Pour tout M ( x , y , z ) et M ’ ( x’ , y’ , z’ ) , MM’ = ( x - x  )² + ( y - y )² + ( z - z )² .
4- Définition 3 :
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement s’ils appartiennent à un même plan .
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement
 

si l'un des vecteurs AB , AC et AD s'ecrit en fonction des deux autres .
  
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement si det ( AB , AC , AD ) = 0 .
a 
 a 
 a 
   
  
  
det ( u , v , w ) = a ( b’c’’- c’b’’) – b ( a’c’’- c’a’’) + c ( a’b’’ – a’’b’ ) avec u  b  , v  b  et w  b 
c
 c 
 c 
 
 
 
 

5- Définition 4 : u et v sont orthogoneaux si et seulement si u.v = 0 .
II / Produit vectoriel .
1 – Définition 1 : Soit A , B et C des points de l’espace . Le produit vectoriel de
 
 
AB et AC est le vecteur noté AB  AC et défini comme suit
 
  
* si AB et AC colinéaires , alors AB  AC = 0 .
 
si AB et AC ne sont pas colinéaires , alors
 


* AB  AC est orthogonal à AB et à AC .
   
* ( AB , AC , AB  AC ) est une base directe .
 
.
* AB  AC  AB.AC sinBAC

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 
u et v deux vecteurs et  et  deux réels .

 
* u  u = 0 .
 
 
 
2-Propriétés : * u  v = 0 si et seulement si u et v sont colinéaires .




 
   


 
 






*
u
v
=
(
v
u
)
,
u
(
v
+
w
)
=
u
v
+
u
w
,

u

v
=

(
u
v ).







* u  v = u v sin( u , v )


3- Expression analytique du produit vectoriel
  
L’espace est muni d’un repère orthonormé directe ( i , j , k ) .
a 
 a 
 a 
   
  
Pour tout vecteurs u  b  , v  b  et w  b  on a :
c
 c 
 c 
 
 
 





u  v = ( bc - cb ) i + ( ca  - ac ) j + ( ab - ba  ) k .


Règle pratique pour calculer les coordonnées de u  v :
a
b
c
a
a’
b’
c’
a’
bc’ – cb’
ca’ – ac’

b
b’
ab’ – ba’

 
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé  O, i, j, k  .
Soit le plan P d’équation cartésienne : a x + b y + c z + d = 0 avec (a,b,c) ≠ (0,0,0).
 a 
Le vecteur N  b  est un vecteur normal à P.
 c 

Soient, dans l’espace E, deux plans P : a x + b y + c z + d = 0 et P’ : a’ x + b’ y + c’ z + d’ = 0 de vecteurs
  a' 
  a 
normaux respectifs N  b  et N'  b'  . On a :
 c' 
 c 






P // P’  N et N' sont colinéaires








D (A, u ) // P  u  N








D (A, u )  P  u et N sont colinéaires




D (A, u )  D (B, v )  u  v

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P  P’  N  N'









D (A, u ) // D (B, v )  u et v sont colinéaires

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Soient le plan P : a x + b y + c z + d = 0,
A  x A , y A , z A  un point de l’espace et
H le projeté orthogonal de A sur P.
La distance du point A au plan P est le
réel positif AH noté d (A, P) et tel que :
a x A  b yA  c z A  d
d  A, P   AH 
a 2  b 2  c2
Aire d’un triangle ABC
Aire d’un parallélogramme ABCD


1 
AB  AC
2


Aire ( ABCD ) = AB  AC

Aire ( ABC ) =

Distance d’un point M à un plan ( ABC )
  
( AB  AC ). AM


AB  AC

Distance d’un point à un droite ( AB )


AB  AM

AB

Volume d’un tétraèdre ABCD
 
1 
V=
( AB  AC ) . AD
  6
M est un point du plan définie par A et deux vecteurs u et v non colinéaires si et seulement si :

 
( AB  AC ) . AM  0.
Sphère S de centre A et de rayon R : M  S  AM = R .
l’équation x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0 et on pose h = (a² + b² + c² - 4d ) / 4 .
a b c
si h < 0 l’ensemble est le vide , si h = 0 l’ensemble est un point A(  ,  ,  ) et si h  0 l’ensemble est la
2 2 2
sphère de centre A et rayon h .
Equation cartésienne d’une sphère de centre A ( x0 , y0 , z0 ) et de rayon R .
( x – x0 )² + ( y – y0 )² + ( z – z0 )² = R²
Théorème Soit S une sphère de rayon R et de centre A . Soit un plan P , d la distance de A à P et H le projeté
orthogonal de A sur P . si d  R l’intersection est le vide , si d = R l’intersection est le singleton  H  et si

Volume d’un parallélépipède ABCDEFGH

 
  
V = ( AB  AD ) . AE = det( AB , AC , BC ) 

d < R l’intersection est un cercle de centre H et de rayon r =

R² - d² .

Théorème : l’image d’une sphère S de centre A et de rayon R par une translation t est une sphère de centre
A’ = t ( A ) et de rayon R .
l’image de S par une homothétie de centre  et de rapport k est un sphère de centre A’ = h ( A )
et de rayon k R .

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Translation de l'espace:
Définition: (Translation de l’espace)
u est un vecteur de l’espace E. La translation de vecteur u est
l’application notée t u de E dans E qui à tout point M de E associe
le point M tel que MM

u. Ainsi : M

tu M

MM

u

Théorème:

u est un vecteur de l’espace E.
t u est une application bijective de E et sa réciproque est t u
Pour tous points M et M de E on a : M

tu M

1

M

t u.
t

u

M

Théorème: (Propriété caractéristique)

Soit f une application de l’espace E dans lui même.
f est une translation de E

M, N

M

f M et N

E2; M N

MN avec

fN .

Théorème: (Autres propriétés)

Toute translation conserve la distance, le milieu, le produit scalaire et l’alignement.
Théorème: (Images des configurations)

1/ L’image d’une droite par une translation de l’espace est une droite qui lui est parallèle.
2/ L’image d’un plan par une translation de l’espace est un plan qui lui est parallèle.
3/ L’mage d’une sphère par une translation est une sphère de même rayon
et de centre l’image du centre de la première.
Théorème: (Autres propriétés)

Toute translation conserve le parallélisme et l’orthogonalité
Théorème: (Expression analytique)

O, i , j , k . Soit u a i

L’espace E est muni d’un repère R
Soit l’application f :E

E ; M x, y, z

f est la translation de vecteur u

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bj

ck.

M x ,y ,z )

a

x

x

a

b

y

y

b

c

z

z

c

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Homothétie de l'espace (Homothétie de l’espace)
Définition: Soit k un réel non nul et I est un point de l’espace E. L’homothétie de

centre I et de rapport k est l’application de E dans E, notée h I,k , qui
à tout point M de E associe le point M tel que IM
Ainsi :

M

h I,k M

IM

k IM.

k IM

Théorème Soit k un réel non nul et I est un point de l’espace E.

h I,k est une application bijective de E et sa réciproque est
1

h I,k

h

M

I,

1
k

. Pour tous points M et M de E on a :

h I,k M

M

h

I,

M

1
k

Théorème (Propriété caractéristique)

Soit f une application de l’espace E dans lui même.
f est une homothétie de rapport k
E2; M N

M, N

(Autres propriétés)

k MN avec M

IR

de E

f M et N

fN .

Toute homothétie conserve le milieu, la barycentre et l’alignement.
Toute homothétie conserve le parallélisme et l’orthogonalité

(Images des configurations)
1/ L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
2/ L’image d’un plan par une homothétie est un plan qui lui est parallèle.
3/ L’mage d’une sphère de centre
homothétie h de rapport k

IR

et de rayon r

IR

par une
est la sphère de rayon |k|r et de centre h

.

(Expression analytique)
L’espace E est muni d’un repère R
Soit l’application f :E
1/ Si

2/ Si

f

h I,k

x

kx

y

ky

z

kz

O, i , j , k . Soit un point I a, b, c et un réel k un réel non nul.
E ; M x, y, z
M x ,y ,z )

alors

avec k

x

kx

1

k a

y

ky

1

k b

z

kz

1

k c

IR \ 1 et

, ,

IR 3 alors

f est l’homothétie de rapport k et de centre le point de coordonnées

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1

,
k 1

,
k 1

k

.

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