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Hadj Salem Habib
Géométrie dans l'espace
Lycée pilote Médenine
GEOMETRIE DANS L’ ESPACE
Dans tout ce chapitre , les bases ou les repères sont orthonormés de sens direct.
I/ Produit scalaire et conséquences .
1- Définition 1 : * Soit A , B et C des points de l’espace . L e produit scalaire des vecteurs
AB et AC est défini par :
AB . AC = 0 si AB = 0 ou AC = 0 .
, si AB et AC sont non nuls .
AB.AC = AB AC cos BAC
AB.AB = AB² .
2- Propriétés : Pour tous vecteurs u , v et w de l’espace et tous réels et .
*u.v = v.u * u . ( v + w ) * ( u ) . v = u ( v ) = ( u.v )
( u ) ( v ) = ( u.v )
3- Définition 2 :
Soit ( O , i , j , k ) un repère orthonormé de l’espace , de l’espace .
x
x
Pour tous vecteurs u y et v y , u.v = xx + yy + zz . u x² + y² + z² .
z
z
Pour tout M ( x , y , z ) et M ’ ( x’ , y’ , z’ ) , MM’ = ( x - x )² + ( y - y )² + ( z - z )² .
4- Définition 3 :
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement s’ils appartiennent à un même plan .
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement
si l'un des vecteurs AB , AC et AD s'ecrit en fonction des deux autres .
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement si det ( AB , AC , AD ) = 0 .
a
a
a
det ( u , v , w ) = a ( b’c’’- c’b’’) – b ( a’c’’- c’a’’) + c ( a’b’’ – a’’b’ ) avec u b , v b et w b
c
c
c
5- Définition 4 : u et v sont orthogoneaux si et seulement si u.v = 0 .
II / Produit vectoriel .
1 – Définition 1 : Soit A , B et C des points de l’espace . Le produit vectoriel de
AB et AC est le vecteur noté AB AC et défini comme suit
* si AB et AC colinéaires , alors AB AC = 0 .
si AB et AC ne sont pas colinéaires , alors
* AB AC est orthogonal à AB et à AC .
* ( AB , AC , AB AC ) est une base directe .
.
* AB AC AB.AC sinBAC
Hadj Salem Habib
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