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Hadj Salem Habib

Géométrie dans l'espace

Lycée pilote Médenine

GEOMETRIE DANS L’ ESPACE
Dans tout ce chapitre , les bases ou les repères sont orthonormés de sens direct.

I/ Produit scalaire et conséquences .
1- Définition 1 : * Soit A , B et C des points de l’espace . L e produit scalaire des vecteurs
 
AB et AC est défini par :
 
 
 
 AB . AC = 0 si AB = 0 ou AC = 0 .
 
 
 , si AB et AC sont non nuls .
 AB.AC = AB  AC  cos BAC
 
 AB.AB = AB² .
  
2- Propriétés : Pour tous vecteurs u , v et w de l’espace et tous réels  et  .
  
 

 


*u.v = v.u * u . ( v + w ) * (  u ) . v = u (  v ) =  ( u.v )



(  u ) (  v ) =  ( u.v )
3- Définition 2 :
  
Soit ( O , i , j , k ) un repère orthonormé de l’espace , de l’espace .
x
 x 
     

Pour tous vecteurs u  y  et v  y   , u.v = xx + yy + zz . u  x² + y² + z² .
z
 z 
 
 

Pour tout M ( x , y , z ) et M ’ ( x’ , y’ , z’ ) , MM’ = ( x - x  )² + ( y - y )² + ( z - z )² .
4- Définition 3 :
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement s’ils appartiennent à un même plan .
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement
 

si l'un des vecteurs AB , AC et AD s'ecrit en fonction des deux autres .
  
Les points A , B , C et D sont coplanaires si et seulement si det ( AB , AC , AD ) = 0 .
a 
 a 
 a 
   
  
  
det ( u , v , w ) = a ( b’c’’- c’b’’) – b ( a’c’’- c’a’’) + c ( a’b’’ – a’’b’ ) avec u  b  , v  b  et w  b 
c
 c 
 c 
 
 
 
 

5- Définition 4 : u et v sont orthogoneaux si et seulement si u.v = 0 .
II / Produit vectoriel .
1 – Définition 1 : Soit A , B et C des points de l’espace . Le produit vectoriel de
 
 
AB et AC est le vecteur noté AB  AC et défini comme suit
 
  
* si AB et AC colinéaires , alors AB  AC = 0 .
 
si AB et AC ne sont pas colinéaires , alors
 


* AB  AC est orthogonal à AB et à AC .
   
* ( AB , AC , AB  AC ) est une base directe .
 
.
* AB  AC  AB.AC sinBAC

Hadj Salem Habib

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