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Nom original: Cours.pdfTitre: Cours-SSY-2016Auteur: isen

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Enseignement Automatique et
Traitement du signal
Automatique

Automatique
Traitement du signal

Automatique, Traitement du signal
2015/2016

Annemarie Kökösy

1

Automatique
• Domaine Pluridisciplinaire
– Mathématiques : transformée de Laplace,
Fourier, probabilités, calcul matriciel, calcul
vectoriel, …
– Électronique : µC, CNA/CAN, comparateurs,
filtres, …
– Informatique : programmation d’un µC,
langage C (fonctions, boucles, tableaux,
structure), C++ ou Java

2015/2016

Annemarie Kökösy

2

1

Cours Automatique
Cours
10 cours d’automatique dont un en
e-learning

TD

A. Kokosy
C668

9TD d’automatique d’1h45

R. Ushirobira
Intervenants : A. Kokosy, Denis Efimov (TD en anglais),
Gang Zheng (TD en anglais), Charles Croenne, Rosane
Ushirobira
D. Efimov

2015/2016

Annemarie Kökösy

C. Croenne
C256

G. Zheng

3

Evaluation Cours de Systèmes
Electroniques
• Un DS
– 75% automatique
– 25% électronique

• Une interrogation en automatique
• Une interrogation en électronique
• Un examen
– 35% automatique
– 65% électronique
2015/2016

Annemarie Kökösy

4

2

Notions de base pour l’automatique
Annemarie KÖKÖSY

2015/2016

Annemarie Kökösy

5

Plan





Un peu d’histoire
Introduction
Représentation des signaux
Systèmes continus linéaires






Définitions et propriétés
Modélisation mathématique : EDO, FdT, Modèle d’état
Stabilité
Analyse temporelle d’un système
Systèmes bouclés, rétroaction (régulation, asservissement),
performances
– Correction des systèmes linéaires. Régulateurs P, PI, PD, PID

2015/2016

Annemarie Kökösy

6

3

Un peu d’histoire
• Définition de l’automatique
L'automatique fait partie des sciences de l'ingénieur.
Cette discipline traite de la modélisation, de l'analyse et de la
commande des systèmes dynamiques.
Elle a pour fondements théoriques les mathématiques,
la théorie du signal et l'informatique théorique.
L'automatique permet l'automatisation de tâches par des machines
fonctionnant sans intervention humaine. On parle alors de système
asservi ou régulé.
A ne pas confondre avec
l’automatisme

!

2015/2016

!

Annemarie Kökösy

7

Un peu d’histoire
• Définition de l’automatisme
Un automatisme est un sous-ensemble d'une machine,
destinée à remplacer l'action de l'être humain dans des tâches
en générales simples et répétitives, réclamant précision/rigueur.

2015/2016

Annemarie Kökösy

8

4

Un peu d’histoire
• Exemples de systèmes régulés dans la
nature
cycle de Krebs observé dans le métabolisme des plantes
fr.wikipedia.org/wiki/Cycle_de_Krebs
dans le corps humain
• la température
• la respiration
•…

2015/2016

9

Annemarie Kökösy

Un peu d’histoire
Premier système de régulation
Grèce antique Clepsydre
d’Hérodote (5e av. J.C.)
– Le mécanicien grec Ktesibios
(3e av. J.C.) y ajoute l’un des
premiers systèmes de retour
qui permet à contrôler
l’écoulement de l’eau

Théorème de Bernoulli
s
v 2 = 2 gh 
S

2015/2016

Annemarie Kökösy

2

10

5

Un peu d’histoire
Héron d’Alexandrie (1er ap. J.C.)
Système d’ouverture de la porte
d’un temple en utilisant les notions
de compressibilité de l’air et
l’incompressibilité de l’eau

http://www.yannminh.com/english/TxtRobotCNAM020.html
2015/2016

Annemarie Kökösy

11

Un peu d’histoire
Leonardo da Vinci (1452-1519)
Ascenseur
Odomètre


2015/2016

Annemarie Kökösy

12

6

Un peu d’histoire
L’industrialisation

James Watt (1736-1819)
Utilise un régulateur à boules pour
augmenter la puissance des
machines à vapeur

L’automatique est née

2015/2016

Annemarie Kökösy

13

Un peu d’histoire
Formalisme mathématique

• Equations différentielles
Précurseurs : Newton et Leibnitz (17e siècle)
Euler, Lagrange (18e siècle)

• Transformée de Laplace (18e siècle)
• Séries de Fourier (18e siècle)
• Stabilité des systèmes dynamiques : A.Lyaponov (19e
siècle)
• Topologie et théorie des systèmes dynamiques : Henri
Poincaré (début du 20e siècle)
2015/2016

Annemarie Kökösy

14

7

Introduction

Quelques domaines d’application
• Industrie chimique et pétrochimique
• Rhône Poulenc
• Bayer
• Rhodia
•…

http://www.chem-dss.org/
2015/2016

15

Annemarie Kökösy

Introduction

Quelques domaines d’application
• Industries automobile, aéronautique, ferroviaire
• PSA, Renault, Toyota,Valeo, …
• Airbus, Boeing
• SNCF, Alsthom, …

2015/2016

Annemarie Kökösy

16

8

Introduction

Quelques domaines d’application
• Industrie militaire

http://www.eads.net/eads/fr/index.htm

2015/2016

• EADS
• EUROCOPTER
• MATRA
• MBDA
• SAGEM
• THALES AVIONIQUE
• THALES Optronique
• THALES Detexis
•…

17

Annemarie Kökösy

Introduction

Quelques domaines d’application
• Secteur électroménager
• Bosch
• Brandt
• Frisquet
• Logisty
• Siemens
• Zanussi
• Whirlpool
•…

2015/2016

Annemarie Kökösy

18

9

Introduction

Quelques domaines d’application
• Robotique mobile et humanoïde

Acroid-F
Kokoro Co Ltd. et ATR

Pepper
Aldebaran Robotics

Asimo
Honda

Thales

• Honda (Japon)
• Kokoro Co Ltd. et ATR
(Japon)
• Thales
• ECA (France)
• Balyo (France)
• Aldebaran Robotics (France)
• Siemens (Allemagne)
• …

Siemens

2015/2016

Annemarie Kökösy

19

Introduction

2015/2016

Annemarie Kökösy

20

10

Définitions

Conception de
systèmes commandes
Conclusions

INTRODUCTION

Performances

2015/2016

Régulation et asservissement

21

Annemarie Kökösy

Introduction

Définitions
• Système : ensemble de composants qui
agissent ensemble pour effectuer une
certaine fonction
Entrées de perturbation

Entrées de
commande

2015/2016

Système

Annemarie Kökösy

Sorties

22

11

Introduction

Définitions
Exemple : la voiture
u1
u2

Voiture

y1

n1
u1: angle de rotation du volant
u2: profondeur d’enfoncement de l’accélérateur
y1: position de la voiture par rapport au bord de la route
n1: vitesse latérale du vent
2015/2016

Annemarie Kökösy

23

Introduction

Définitions
Exemples de systèmes

Systèmes physiques

Systèmes économiques

Guidage des bateaux
Distribution de produits
Robot mobile
Fauteuil roulant électrique

2015/2016

Annemarie Kökösy

Systèmes biologiques
Circulation d’un
parasite
dans l’eau

24

12

Introduction

Définitions
Signal : grandeur physique générée par un appareil ou
traduite par un capteur (température, débit etc.)
Signal

Signal d’entrée

commandable

Signal de sortie

non commandable

2015/2016

observable

non observable
25

Annemarie Kökösy

Introduction

Définitions
Modèle du système

Modélisation

Équations différentielles

Fonction de transfert

Équations d’état

Identification

2015/2016

Identification
Annemarie Kökösy

26

13

Introduction

Conception de systèmes commandés
Systèmes commandés

Systèmes de commande

Ordres

Système de
commande

Systèmes à commander

Actions de
commande

Système à
commander

Sorties

Perturbations

Paramètres d’un système commandé
2015/2016

27

Annemarie Kökösy

Introduction

Conception de systèmes commandés

Exemple : réglage de la température d’un four
Ordres
T = 100°

2015/2016

Système de
réglage

Actions de
commande
Débit du gaz
combustible

Annemarie Kökösy

Sorties
Four
Ts
Perturbations
Débit d’entrée

28

14

Introduction

Conception de systèmes commandés
Système en boucle ouverte

2015/2016

29

Annemarie Kökösy

Introduction

Conception de systèmes commandés
Système en boucle fermée

2015/2016

Annemarie Kökösy

30

15

Introduction

Régulation et asservissement
Systèmes automatiques

Systèmes programmés et
séquentiels

Nombre fini
d’opérations
prédéterminées dans leur
déroulement

Systèmes asservis

Régulations
Consigne fixe
Système compensateur

2015/2016

Asservissements
Consigne variable
Système suiveur
31

Annemarie Kökösy

Introduction

Régulation et asservissement
Exemple d’asservissement : comportement humain

2015/2016

Annemarie Kökösy

32

16

Introduction

Régulation et asservissement
Exemple d’asservissement : surveillance d’un bateau

2015/2016

33

Annemarie Kökösy

Introduction

Régulation et asservissement
Exemple de régulation : régulation du niveau

2015/2016

Annemarie Kökösy

34

17

Introduction

Régulation et asservissement
Exemple de régulation : régulation de température

2015/2016

35

Annemarie Kökösy

Introduction

Régulation et asservissement
Correcteur analogique
Écart
Xc

Correcteur

Uc

Transmetteur

2015/2016

Actionneur

YC

Annemarie Kökösy

UR

Système

YS

Capteur

36

18

Introduction

Régulation et asservissement
Correcteur numérique

2015/2016

37

Annemarie Kökösy

Introduction

Concepts utiles à l’étude des systèmes
asservis
Aspect statique : erreur statique

2015/2016

Annemarie Kökösy

38

19

Introduction

Concepts utiles à l’étude des systèmes
asservis
Aspect dynamique : précision dynamique

2015/2016

39

Annemarie Kökösy

Introduction

Concepts utiles à l’étude des systèmes
asservis
Aspect dynamique : rapidité

2015/2016

Annemarie Kökösy

40

20

Introduction

Concepts utiles à l’étude des systèmes
asservis
Aspect dynamique : stabilité

2015/2016

41

Annemarie Kökösy

Introduction

Conclusions
Conception d’un système de commande
Analyse du
système à régler
Modélisation/identification
du système

Équations différentielles
Fonction de transfert
Équation d’état

Choix et dimensionnement
du régulateur
Stabilité
Précision
Rapidité

Simulation

Implémentation

Test sur
l’installation
2015/2016

Annemarie Kökösy

42

21

Introduction

Conclusions
Classification de systèmes
Continus
Systèmes

Linéaires

Échantillonnés

Systèmes

À événements discrets
Monovariables
Systèmes

Invariants
Systèmes

Multivariables
2015/2016

Non linéaires

Variants

Annemarie Kökösy

43

Plan





Un peu d’histoire
Introduction
Représentation des signaux
Systèmes continus linéaires







Définitions et propriétés
Modélisation mathématique : EDO, FdT
Stabilité
Analyse temporelle d’un système
Analyse fréquentielle d’un système
Systèmes bouclés, rétroaction (régulation, asservissement),
performances
– Correction des systèmes linéaires. Régulateurs P, PI, PD, PID

2015/2016

Annemarie Kökösy

44

22

Représentation des
signaux

2015/2016

Annemarie Kökösy

45

Représentation des signaux
• Temporelle
• Fréquentielle
• Dans l’espace de Laplace

2015/2016

Annemarie Kökösy

46

23

Représentation temporelle
u(t) = Ri(t) + L
( )
=
( )

2015/2016

( )

/
+

47

Annemarie Kökösy

Représentation des signaux

Représentation fréquentielle
• Cas d’un signal périodique

x(t ) =

n = +∞

∑ce

n = −∞

1
cn =
T

T
2

∫ x(t )e



2 jπ

n
t
T

− 2 jπ

n
t
T

dt

T
2

n/T
Si T tend vers l’infini

2015/2016

L’ensemble des
coefficients cn constituent
la représentation
fréquentielle
du signal x(t) dans
l’intervalle –T/2 à T/2.

n

la fréquence continue f

1/T dt
Somme

Intégrale

Annemarie Kökösy

48

24

Représentation des signaux

Représentation fréquentielle
• Cas d’un signal quelconque, mais d’énergie finie

X( f ) =

+∞

∫ x ( t )e

− 2 jπft

dt

−∞

Transformée de Fourier directe

x( t ) =

+∞

∫ X( f )e

2 jπft

df

−∞

Transformée de Fourier inverse

2015/2016

Annemarie Kökösy

49

Plan





Un peu d’histoire
Introduction
Représentation des signaux
Systèmes continus linéaires







Définitions et propriétés
Modélisation mathématique : EDO, FdT
Stabilité
Analyse temporelle d’un système
Modèle d’état
Systèmes bouclés, rétroaction (régulation, asservissement),
performances
– Correction des systèmes linéaires. Régulateurs P, PI, PD, PID

2015/2016

Annemarie Kökösy

50

25

Systèmes continus

2015/2016

51

Annemarie Kökösy

Définitions et
Propriétés

Modélisation
mathématique

Correcteurs

Systèmes Linéaires Continus
Systèmes
bouclés

Stabilité

Modèle d’état
2015/2016

Annemarie Kökösy

Analyse temporelle

52

26

Définitions et Propriétés

Définitions





2015/2016

Système
Système linéaire
Système invariant dans le temps
Système causal

53

Annemarie Kökösy

Définitions et Propriétés

Définitions
On appelle système tout dispositif qui, admettant
une entrée modélisable par une fonction de R dans R
ou C, produit, après un traitement spécifique,
caractéristique du dispositif, une sortie elle-même
modélisable par une fonction de R dans R ou C.
• Entrée échelon réponse indicielle
• Entrée Dirac réponse impulsionnelle
• Entrée sinusoïdale réponse harmonique

2015/2016

Annemarie Kökösy

54

27

Définitions et Propriétés

Définitions
Un système est dit linéaire s’il répond au principe
de la superposition (additivité + proportionnalité).

e1

e2

Σ

y1

Σ

y2

Λ1e1+ Λ2e2

e1 + e2
λ1 e1
λ2 e2

2015/2016

Σ

Λ1y1+ Λ2y2

y1 + y2
λ1 y1
λ2 y2
55

Annemarie Kökösy

Définitions et Propriétés

Définitions
Un système est dit invariant dans le temps si à tout
décalage temporel de l’entrée, correspond le même
décalage temporel pour la sortie.

e(t)

2015/2016

Σ

y(t)

e(t+τ)

Annemarie Kökösy

Σ

y(t+τ)

56

28

Définitions et Propriétés

Définitions
Un système est dit causal si à toute entrée nulle sur
]-∞; τ[, il fait correspondre une sortie nulle sur
]-∞; τ[, τ ∈ R.

2015/2016

57

Annemarie Kökösy

Définitions et Propriétés

Définitions
Le comportement entrée – sortie d’un système
linéaire continu, invariant est régi par une équation
différentielle linéaire à coefficients constants.
e(t)

Σ

y(t)

d2 y(t )
dn y(t )
d2e(t )
dme(t )
d
y
(
t
)
(
)
d
e
t
a0 y(t )+a1
+a
+...+an n =b0 e(t )+b1
+b
+...+bm m
dt 2 dt 2
dt 2 dt 2
dt
dt
CI : t = 0, e(t0)=e0, y(t0)=y0
2015/2016

m≤n

Annemarie Kökösy

58

29

Définitions et Propriétés

Définitions
i
R
C

e

e = Ri + y,

y

I = C dy/dt
Système
d’ordre 1

y + RC dy/dt = e
2015/2016

59

Annemarie Kökösy

Définitions et Propriétés

Propriétés
La réponse y(t) d’un système linéaire continu et
invariant dans le temps à une entrée quelconque
e(t) est : y(t) = e(t) *h(t) où h(t) est la réponse
impulsionnelle du système.
1/Θ δ(t)

Produit deh(t)
convolution
S

Θ

Θ

0

t

t

+∞

y(t )= ∫e(τ)h(t−τ)dτ

y(t )=e(t )∗h(t )

−∞

2015/2016

Annemarie Kökösy

60

30

Définitions et Propriétés

Produit de convolution
• Définition

f * g( t ) =

+∞

∫ f ( u )g( t − u )du

−∞

• Propriétés
• commutatif
f*g=g*f
• associatif
f * (g * s) = (f * g) * s
• distributif par rapport à l’addition f * (g + h) = f * g + f * h
• homogène pour la multiplication
λ(f * g) = (λf) * g = f * (λg)

2015/2016

61

Annemarie Kökösy

Définitions et Propriétés

Propriétés
Exemple
e(t) = e-at u(t), h(t) = u(t), a > 0

y(t) = ?

u(t) = 0, t < 0
u(t) = 1, t ≥ 0
+∞

+∞

t

−∞

−∞

0

y(t )= ∫e(τ)h(t−τ)dτ= ∫ e−aτu(τ)u(t−τ)dτ=∫e−aτdτ
y(t) = (1 – e-at)/a

2015/2016

Annemarie Kökösy

62

31

Définitions et Propriétés

Propriétés
e(t) = Em sin(ωt)

y(t) = Ym sin(ωt + φ )

2015/2016

63

Annemarie Kökösy

Définitions et Propriétés

Propriétés
e1

Σ1

y1

e

X
e2

Σ2

e3

y

Σ3

y2
Σ

Σ1 : y1 = |e1| = |e|
Σ2 : y2 = sign(e2) = sign(e)

Σ : Ty(1) + y = ke

Σ3 : Ty(1) + y = ke3
2015/2016

Annemarie Kökösy

64

32

Systèmes linéaires continus

Modélisation mathématique
• Introduction
• Equations différentielles ordinaires (EDO)
• Fonction de transfert

2015/2016

Annemarie Kökösy

65

Modélisation mathématique : Introduction
• Le modèle est nécessaire pour l’analyse et la
commande du système
• Le système est dynamique le modèle sera décrit
par des équations différentielles
• Le système est par nature non linéaire le
modèle sera linéarisé autour d’un point de
fonctionnement, si possible
• Pour simplifier les calculs lors de l’analyse et de la
conception d’un régulateur, on utilise la
transformé de Laplace

2015/2016

Annemarie Kökösy

66

33

Modélisation Mathématique : EDO
• On les obtient en appliquant les principes
fondamentaux de la physique
– Pour un système mécanique : la loi de Newton
– Pour un système électrique : la loi de Kirchhoff

• Un système mécanique ou électrique possède
plusieurs types d’éléments
– Éléments de stockage capacitifs : capacité, masse,
moment d’inertie, …
– Éléments de stockage inductifs : self, raideur, …
– Dissipateurs d’énergie : résistance, le frottement
visqueux, les frottements secs, …

2015/2016

Annemarie Kökösy

67

Modélisation Mathématique : EDO
Eléments de stockage inductif
– Inductance électrique
• Tension
• Energie

di
dt
1 2
E = Li
2
v=L

– Ressort en translation / rotation

2015/2016

1 dF
1 dT
, ω=
k dt
k dt

• Vitesse

v=

• Energie

E=

1 F2
1 T2
, E=
2 k
2 k
Annemarie Kökösy

68

34

Modélisation Mathématique : EDO
Eléments de stockage capacitif
– Capacité électrique

dv
dt

• Courant

i=C

• Energie

1
E = Cv 2
2

– Ressort en translation / rotation
• Force/Couple

• Energie

F=M

dv

, T=J
dt
dt

F
v
T
ω

1
1
E = Mv 2 , E = Jω 2
2
2

2015/2016

M

v1 = cst

J

ω1 = cst

69

Annemarie Kökösy

Modélisation Mathématique : EDO
Dissipateurs d’énergie
– Résistance électrique
• Courant
• Puissance

v
R
1
P = v2
R
i=

– Amortisseur translation / rotation
• Force/Couple

• Puissance
2015/2016

F = bv21 , T = bω21

2
2
P = bv21
, P = bω21
Annemarie Kökösy

F
v2

b

v1

ϖ2

b

ϖ1

T

70

35

Modélisation Mathématique : EDO
Exemple mécanique

Raideur du ressort k

Frottement
du mur, b

M
Déplacement
y

F (t ) = M

Force de
traction F

2015/2016

d 2 y (t )
dy(t )
+b
+ ky(t )
2
dt
dt

71

Annemarie Kökösy

Modélisation Mathématique : EDO
Exemple électrique

Source de
current i(t)

+
R

L

C

v(t)
-

i (t ) =

2015/2016

Annemarie Kökösy

v(t )
dv(t ) 1
+C
+ ∫ v(t ) dt
R
dt
L0
t

72

36

Systèmes linéaires continus

Modélisation : EDO
• Pour un système ayant une entrée et une sortie
n

a 0 y( t ) + ∑ a k
k =1

m
d ( k ) y( t )
d ( i ) e( t )
(
)
=
b
e
t
+
b
∑ i
0
dt k
dt i
i =1

Les conditions initiales peuvent être non nulles
Pour garantir la causalité : m ≤ n
• Pour un système ayant M entrées et N sorties
Un système d’équations : combinaison linéaire entre les N sorties
et leurs dérivées et les M entrées et leurs dérivées
2015/2016

Annemarie Kökösy

73

Modélisation : Fonction de transfert
• Liaison entre une entrée et une sortie
Les conditions initiales sont nulles

L{y( t )} = Y(s)

 d ( n ) y( t )  n
L
 = s Y (s)
n
 dt

m

H (s ) =

Y(s)
=
E (s)

∑ s i bi

i =0
n

∑ ska k

k =0

Pour garantir la causalité : m ≤ n
2015/2016

Annemarie Kökösy

74

37

Modélisation : Fonction de transfert
Exemple mécanique

Raideur du ressort k

F (t ) = M

d 2 y (t )
dy (t )
+b
+ ky(t )
2
dt
dt

Frottement
du mur, b

M
Déplacement
y
Force de
traction F

F (s ) = Ms 2Y ( s ) + bsY ( s ) + kY ( s )

H (s) =
2015/2016

1
Y (s)
=
2
F (s ) Ms + bs + k
75

Annemarie Kökösy

Modélisation Mathématique : EDO
Exemple électrique

i (t ) =
Source de
current i(t)

v(t )
dv(t ) 1
+C
+ ∫ v(t )dt
R
dt
L0
t

+
R

L

C

v(t)
-

I (s ) =

V (s )
1
+ CsV ( s) + V ( s)
R
sL

H (s) =

2015/2016

Annemarie Kökösy

V (s )
s
=
I (s ) Cs 2 + 1 s + 1
R
L
76

38

Systèmes linéaires continus

Modèle d’état
• Introduction
• Forme générale
• Passage à la fonction de transfert

2015/2016

77

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
On s'intéresse à la modélisation et l'analyse d'un moteur à courant
continu commandé par l'induit

, Cm
dt

i
Résistance
R
u

2015/2016

Inductance

J

L

f
f.c.e.m. e

Annemarie Kökösy

M

78

39

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
Partie électrique

Partie mécanique

e=keω=kedθ
dt
Cm = kci
d 2θ
Cm=J 2 + f dθ
dt
dt

u−e=Ldi +Ri
dt

Ordre de grandeur des différentes constantes:

R = 2.2Ω, L = 0.08H, J = 0.09Kgm2
f = 0.1Nm/Rd/s, kc = 1.39 Nm/A, ke = 1.39V/Rd/s
2015/2016

79

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
Equations différentielles : issues des lois de la physique
L

J

di

+ Ri + k e
= u
dt
dt
d 2θ
dt

2

+f


= k ci
dt

• Entrée du système : la tension u
• Sorties du système : la vitesse de rotation dθ/dt et l’intensité i

2015/2016

Annemarie Kökösy

80

40

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
Calcul de la fonction de transfert entre la vitesse de
rotation du moteur et la tension d'entrée
L

J

Ls

di

+ Ri + k e
= u
dt
dt
d 2θ
dt 2

+f

Lsi + Ri + k e ω = u


= k ci
dt

Jsω + fω = k ci

Jsω + fω
Jsω + fω
+R
+ k eω = u
kc
kc

ω(s)
1
=
u(s) Lαs2+s(Lβ+Rα)+Rβ+ke

J
kc
f
β=
kc

α=

On note
2015/2016

81

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
Application numérique

ω ( s)
u ( s)

=

1
0.0052s + 0.1481s + 1.5482
2

Attention! cette fonction de transfert donne une vitesse en
radian par seconde, si l'on veut des tours par minute il faut
ajouter un gain de :
60
≅ 9.549

2015/2016

Annemarie Kökösy

82

41

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
Caractéristique du moteur à vide
340
vitesse(tours/minute)

300
260
220
180
140
100
tension(V)

60

10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50
2015/2016

83

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
Vitesse du moteur
280
vitesse(tours/minute)

240

temps(s)

0
0
2015/2016

0.4

0.8

1.2

Annemarie Kökösy

1.6

2.0
84

42

Systèmes linéaires continus

Modélisation - Introduction
Intensité dans l’induit du moteur
Intensité
(Ampère)

14

2
0
0

0.4

2015/2016

0.8

1.2

2.0
temps(s)
85

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modélisation : Equation d’état
u(t)

u(t)

Système

Système

y(t)

y(t)

x0(t)

2015/2016

Annemarie Kökösy

86

43

Modélisation : Equation d’état

Modèle d’état – Forme générale
État = ensemble de n variables
xi (t0 )
x1 (t ), x2 (t ),L, xn (t ) , t ≥ t0

u (t )
Équation
dynamique

Vecteur
d’état

x(t) = [x1(t) x2(t) … xn(t)]T
Espace à n dimensions
Trajectoire x(t)
2015/2016

Espace d’état
Trajectoire dans l’espace d’état
87

Annemarie Kökösy

Modélisation : Equation d’état

Modèle d’état – Forme générale
Soit un système régi par une équation différentielle d’ordre n de la forme :

an

d n y (t )
dy (t )
+ L + a1
+ a0 y (t ) = u (t )
n
dt
dt

Changement de variable
x1 = y
x2 = y(1)
.
.
.

xn= y(n-1)
2015/2016

Annemarie Kökösy

88

44

Modélisation : Equation d’état

Modèle d’état – Forme générale
 x1 (t ) = y (t )
 x& (t ) = x (t )
2
 1
M

 x& n−1 (t ) = xn (t )

a
a
1
 x&n (t ) = − n−1 xn (t ) − L − 0 x1 (t ) + u (t )
an
an
an

 y (t ) = x1 (t )

Modèle d’état

2015/2016

89

Annemarie Kökösy

Modélisation : Equation d’état

Modèle d’état – Forme générale
Modèle d’état
sous forme matricielle

Dynamique
du système

x(1)(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

Sortie du
système

x ∈ ℜn

état du système

A ∈ ℜnxn

dynamique du système

u ∈ ℜm

entrée du système

B ∈ ℜnxm

action des entrées

y∈
2015/2016

ℜl

sortie du système

C ∈ ℜlxn

sortie du système

D ∈ ℜlxm

action des entrées

Annemarie Kökösy

état

sortie
90

45

Modélisation : Equation d’état

Modèle d’état – Forme générale
Schéma bloc des équations d'état

D

u

B



x&



x

C


y

A
D≠0⇔m=n
2015/2016

91

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modèle d’état – Forme générale
Exemple 1
2
Soit &y& + 2ζω 0 y& + ω 0 y = u

Modèle d’état

Solution

x1 = y, x2 = y&

 x&1 = x2

2
 x&2 = −ω 0 x1 − 2ζω 0 x2 + u
2015/2016

1   x1  0
 x&1   0
=
 x&  − ω 2 − 2ζω   x  + 1u
 
 2  0
0  2 

x
 y = [1 0] 1 



 x2 
Annemarie Kökösy

92

46

Systèmes linéaires continus

Modèle d’état – Forme générale
Exemple 2
Soit

&y& + 5 y& + 6 y = u& + u

Modèle d’état

Solution

s2 y +5sy+6y=su+u
y=

1
(− 5 y + u ) + 12 (− 6 y + u )
s
s

2015/2016

93

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modèle d’état – Forme générale
y=

1
(− 5 y + u ) + 12 (− 6 y + u )
s
s
Schéma bloc

u
.
+ x. 2
- x
1

x2
x1

++-

.
x1
.
x2

y
x1
x2
5

6
2015/2016

Annemarie Kökösy


 − 5 1 1
 x& = 
 x +  u

− 6 0 1
 y = [1 0]x

0 − 6 1
 x& = 
 x +  u

1 − 5 1
 y = [0 1]x
94

47

Systèmes linéaires continus

Modèle d’état – Forme générale
Exemple 3

Y (s)
s +1
= 2
U ( s ) s + 5s + 6

Soit

Modèle d’état

Solution

Y ( s)
s +1
=
U ( s ) ( s + 2)( s + 3)

W ( s)
1
=
U (s) s + 2

Y (s)
2
1
=

U (s) s + 3 s + 2

2015/2016

V ( s)
2
=
U ( s) s + 3
95

Annemarie Kökösy

Systèmes linéaires continus

Modèle d’état – Forme générale
1
1
W ( s ) = (−2W ( s ) + U ( s )) , V ( s ) = (−3V ( s ) + 2U ( s ))
s
s

Schéma bloc
2

x&1

+

1/s
+

x&2

y
x2

_

1/s
+

2015/2016

+

-3

u

+

x1

-2
Annemarie Kökösy


− 3 0   2
 x& = 
 x +  u

 0 − 2  1 
 y = [1 − 1]x
96

48

Modélisation : Equation d’état

Relation entre l’équation d’état et la fonction de
transfert d’un même système

Soit

 x& = Ax + Bu

 y = Cx + Du

? H(s)

Laplace
sX ( s ) − x(0 + ) = AX ( s ) + BU ( s )

Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )

La partie de l'image av ec l'ID de relation rId9 n'a pas été trouv é dans le fichier.

2015/2016

Annemarie Kökösy

97

Modélisation : Equation d’état

Relation entre l’équation d’état et la fonction de
transfert d’un même système

Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )

On remplace X(s) par
−1
X ( s ) = [sI − A] BU ( s )

Y (s)
−1
= C [sI − A] B + D
U (s)

2015/2016

Annemarie Kökösy

98

49

Modélisation : Equation d’état

Relation entre l’équation d’état et la fonction de
transfert d’un même système

Exemple

Soit


− 3 0  2
 x& = 
 x +  u

 0 − 2  1 
 y = [1 − 1]x

Fonction de transfert

Solution

Y (s)
s +1
= 2
U ( s ) s + 5s + 6
2015/2016

Annemarie Kökösy

99

Stabilité
• Définition
• Polynôme caractéristique (EDO, FdT, EE)
• Critère de stabilité, Critère de Routh

2015/2016

Annemarie Kökösy

100

50


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