YEO yardjouma Réseaux de files d'attente .pdf



Nom original: YEO yardjouma Réseaux de files d'attente.pdf
Titre: RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE
Auteur: Présenté par: YEO Yardjouma Sous la Direction du Pr. N'ZI Yao Koffi Modeste,

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
Présenté par: YEO Yardjouma
Sous la Direction du Pr. N’ZI Yao Koffi Modeste

14 mars 2017

Soutenance de master II Probabilités& Statistiques

RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE: PAR YEO YARDJOUMA

INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PLAN
1

QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS
STOCHASTIQUES

Soutenance de master II Probabilités& Statistiques

RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE: PAR YEO YARDJOUMA

INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PLAN
1

QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS
STOCHASTIQUES

2

FILES D’ATTENTE UNIQUE

Soutenance de master II Probabilités& Statistiques

RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE: PAR YEO YARDJOUMA

INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PLAN
1

QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS
STOCHASTIQUES

2

FILES D’ATTENTE UNIQUE

3

RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE

Soutenance de master II Probabilités& Statistiques

RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE: PAR YEO YARDJOUMA

INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PLAN
1

QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS
STOCHASTIQUES

2

FILES D’ATTENTE UNIQUE

3

RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE

4

MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER

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RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE: PAR YEO YARDJOUMA

INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

INTRODUCTION

6

La Théorie des files d’attente est une technique de la
Recherche opérationnelle qui permet de modéliser un
système admettant un phénomène d’attente, de calculer
ses performances et de déterminer ses caractéristiques
pour aider les gestionnaires dans leurs prises de décisions.

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RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE: PAR YEO YARDJOUMA

INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

INTRODUCTION

7

La Théorie des files d’attente est une technique de la
Recherche opérationnelle qui permet de modéliser un
système admettant un phénomène d’attente, de calculer
ses performances et de déterminer ses caractéristiques
pour aider les gestionnaires dans leurs prises de décisions.
On les rencontre dans les domaines d’activité les plus
divers spécialement dans le trafic routier (carrefour à feux).

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

INTRODUCTION

8

On parle de phénomène d’attente chaque fois que
certaines unités appelées "clients" se présentent d’une
manière aléatoire à des "stations" afin de recevoir un
service dont la durée est généralement aléatoire.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

INTRODUCTION

9

On parle de phénomène d’attente chaque fois que
certaines unités appelées "clients" se présentent d’une
manière aléatoire à des "stations" afin de recevoir un
service dont la durée est généralement aléatoire.
L’objectif principal de ce travail est d’expliquer le
phénomène d’attente, de présenter les notions de base
concernant les systèmes de files d’attente et de définir les
paramètres permettant de décrire les performances de tels
systèmes.
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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

NOTIONS DE PROCESSUS STOCHASTIQUES

10

PROCESSUS DE POISSON

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

NOTIONS DE PROCESSUS STOCHASTIQUES

11

PROCESSUS DE POISSON
PROSESSUS MARKOVIENS DE
SAUTS

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS PONCTUEL

12

Définition
On appelle processus ponctuel une suite croissante de
variables aléatoires à valeurs dans R+ définies sur un espace
probabilisé (Ω,F,P).

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS PONCTUEL

13

Définition
On appelle processus ponctuel une suite croissante de
variables aléatoires à valeurs dans R+ définies sur un espace
probabilisé (Ω,F,P).
0 < T1 < T2 < ... < Tn < ... < +∞

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(1)

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS PONCTUEL

14

Définition
On appelle processus ponctuel une suite croissante de
variables aléatoires à valeurs dans R+ définies sur un espace
probabilisé (Ω,F,P).
0 < T1 < T2 < ... < Tn < ... < +∞

Nt =

P+∞

k =1 I{Tk ≤t}

(1)

= sup{n ≥ 1 : Tn ≤ t}

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QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS DE POISSON

15

Définition
On dit que le processus ponctuel (Tn )n N ou sa fonction
aléatoire de comptage (Nt )t≥0 est un processus de poisson,si
(Nt )t≥0 est une fonction aléatiore à accroissements
indépendantes et stationnaires.(ie)

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS DE POISSON

16

Définition
On dit que le processus ponctuel (Tn )n N ou sa fonction
aléatoire de comptage (Nt )t≥0 est un processus de poisson,si
(Nt )t≥0 est une fonction aléatiore à accroissements
indépendantes et stationnaires.(ie)
a) ∀ 0=t0 <t1 <t2 <...<tn les accroissements Nti − Nti−1 sont des
variables aléatoires indépendantes ∀ i=1...n.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS DE POISSON

17

Définition
On dit que le processus ponctuel (Tn )n N ou sa fonction
aléatoire de comptage (Nt )t≥0 est un processus de poisson,si
(Nt )t≥0 est une fonction aléatiore à accroissements
indépendantes et stationnaires.(ie)
a) ∀ 0=t0 <t1 <t2 <...<tn les accroissements Nti − Nti−1 sont des
variables aléatoires indépendantes ∀ i=1...n.
b) ∀ 0≤ s<t, Nt -Ns dépend uniquement de t-s et non de t et s.
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FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
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PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

FONCTION ALÉATOIRE DE SAUT

18

Définition
Une fonction aléatoire (Xt )t≥0 à valeurs dans un ensemble fini
où denombrable E est appelée fonction aléatoire de saut, si elle
est de la forme :

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PROCESSUS DE POISSON
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PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

FONCTION ALÉATOIRE DE SAUT

19

Définition
Une fonction aléatoire (Xt )t≥0 à valeurs dans un ensemble fini
où denombrable E est appelée fonction aléatoire de saut, si elle
est de la forme :
Xt (ω) =

X

Zn (ω)I[Tn (ω),Tn+1 (ω)] (t)

(2)

{n≥0;Tn (ω)≤∞}

où 0=T0 ≤ T1 ≤ ... ≤ Tn est une suite croissante de variables
aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω,F,P) telle que :
∀ω Ω Tn (ω) ≤ Tn+1 (ω) si Tn (ω) < ∞ et Tn (ω) −→ ∞
quand
Soutenancen
de−→
master∞
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QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
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PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS

20

Définition
Une fonction aléatoire de saut (Xt )t≥0 à valeurs dans un
ensemble fini où denombrable E est appelée processus
markovien de saut (ou chaîne de Markov en temps continu) si
pour tout 0 ≤ s < t, la loi conditionnelle de la variable aléatoire
Xt sachant Xu où 0≤ u ≤ s ne dépend que de Xs .ie

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QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
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PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS

21

Définition
Une fonction aléatoire de saut (Xt )t≥0 à valeurs dans un
ensemble fini où denombrable E est appelée processus
markovien de saut (ou chaîne de Markov en temps continu) si
pour tout 0 ≤ s < t, la loi conditionnelle de la variable aléatoire
Xt sachant Xu où 0≤ u ≤ s ne dépend que de Xs .ie
si ∀n N 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn < s et x0 ,x1 ,...,xn ,x,y E,alors

P(Xt = y |Xto = x0 , ...., Xtn = xn , Xs = x) = P(Xt = y |Xs = x)
(3)
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PROCESSUS DE POISSON
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PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

HOMOGENITÉ / DISTRIBUTION STATIONNAIRE 22
On dira qu’un processus markovien (Xt )t≥0 est homogène
si la quantité P(Xt = y |Xs = x) ne dépend de s et de t que
par la différence t - s.

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PROCESSUS DE POISSON
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PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

HOMOGENITÉ / DISTRIBUTION STATIONNAIRE 23
On dira qu’un processus markovien (Xt )t≥0 est homogène
si la quantité P(Xt = y |Xs = x) ne dépend de s et de t que
par la différence t - s.
On dit qu’un processus markovien (Xt )t≥0 est stationnaire
si la loi de Xt est indépendante de t

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
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PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

HOMOGENITÉ / DISTRIBUTION STATIONNAIRE 24
On dira qu’un processus markovien (Xt )t≥0 est homogène
si la quantité P(Xt = y |Xs = x) ne dépend de s et de t que
par la différence t - s.
On dit qu’un processus markovien (Xt )t≥0 est stationnaire
si la loi de Xt est indépendante de t
On appelle distribution stationnaire toute probabilité Π qui
P
vérifie Π = ΠP (i.e) y E Πy Py ,x = Πx ,x E

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FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

HOMOGENITÉ / DISTRIBUTION STATIONNAIRE 25
On dira qu’un processus markovien (Xt )t≥0 est homogène
si la quantité P(Xt = y |Xs = x) ne dépend de s et de t que
par la différence t - s.
On dit qu’un processus markovien (Xt )t≥0 est stationnaire
si la loi de Xt est indépendante de t
On appelle distribution stationnaire toute probabilité Π qui
P
vérifie Π = ΠP (i.e) y E Πy Py ,x = Πx ,x E
Dans la suite on utilisera que la chaîne de markov homogène.
On Note P(Xt = y |Xs = x) = Pxy (t − s) les composantes de P.
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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

CLASSIFICATION DES ETATS

26

On note Tx = inf{t > 0 : Xt = x}

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

CLASSIFICATION DES ETATS

27

On note Tx = inf{t > 0 : Xt = x}
L’état x E est dit récurrent si P(Tx < ∞) = 1 et transitoire
dans le cas contraire (i.e) P(Tx < ∞) < 1.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

CLASSIFICATION DES ETATS

28

On note Tx = inf{t > 0 : Xt = x}
L’état x E est dit récurrent si P(Tx < ∞) = 1 et transitoire
dans le cas contraire (i.e) P(Tx < ∞) < 1.
Une chaîne de Markov est dite irréductible si E est
constitué d’une unique classe d’équivalence.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE UNIQUE
PROCESSUS DE POISSON
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

CLASSIFICATION DES ETATS

29

On note Tx = inf{t > 0 : Xt = x}
L’état x E est dit récurrent si P(Tx < ∞) = 1 et transitoire
dans le cas contraire (i.e) P(Tx < ∞) < 1.
Une chaîne de Markov est dite irréductible si E est
constitué d’une unique classe d’équivalence.
Elle est dite récurrente irréductible si elle est irréductible et
si tous les états sont récurrents.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

FILES D’ATTENTE UNIQUE

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

DÉFINITION DANS LE CAS GÉNÉRAL

31

Définition
Une file simple (ou station) est un système constitué d’un ou
plusieurs serveurs et d’un espace d’attente. Elle est
caractérisée par le processus d’arrivée des clients, le temps de
service ainsi que sa structure et sa discipline de service.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

MODÉLE D’UN SYSTÈME D’ATTENTE

32

F IGURE: Modèle d’une file d’attente simple
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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE

33

Définition
Une file d’attente markovienne est une file d’attente dont le
processus des arrivées est un processus de Poisson d’intensité
λ, et que les temps de service sont i.i.d. de loi commune la loi
exponentielle de paramètre µ.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE

34

Définition
Une file d’attente markovienne est une file d’attente dont le
processus des arrivées est un processus de Poisson d’intensité
λ, et que les temps de service sont i.i.d. de loi commune la loi
exponentielle de paramètre µ.
On note λ le taux des arrivées : λ1 est le temps moyen entre
deux arrivées consécutifs.

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE

35

Définition
Une file d’attente markovienne est une file d’attente dont le
processus des arrivées est un processus de Poisson d’intensité
λ, et que les temps de service sont i.i.d. de loi commune la loi
exponentielle de paramètre µ.
On note λ le taux des arrivées : λ1 est le temps moyen entre
deux arrivées consécutifs.
Le processus des arrivées est modélisé par le processus
de poisson.
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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE

36

Définition
Une file d’attente markovienne est une file d’attente dont le
processus des arrivées est un processus de Poisson d’intensité
λ, et que les temps de service sont i.i.d. de loi commune la loi
exponentielle de paramètre µ.
On note λ le taux des arrivées : λ1 est le temps moyen entre
deux arrivées consécutifs.
Le processus des arrivées est modélisé par le processus
de poisson.
Le temps de service suit une loi exponentielle de
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paramètre µ.

INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

GÉNÉRATEUR INFINITÉSIMAL DU MODÉLE M/M/1
37
Xt le nombre de clients présents dans le système.
Théorème
Le nombre de clients présents dans le système (au guichet +
en attente) est alors un processus markovien de saut à valeurs
dans N de générateur infinitésimal Q donné par :
Qx,x+1 = λ, x N ; Qx,x−1 = µ x ≥ 1 ; Qx,y = 0 si
| x − y |≥2 ;Q00 = −λ ; Qx,x = −(λ + µ) si x ≥ 1
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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS ET DISTRIBUTION STATIONNAIRE 38

Proposition
Si λ < µ, alors le processus (Xt )t≥0 est recurrent, de probabilité
invarriante :

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

PROCESSUS ET DISTRIBUTION STATIONNAIRE 39

Proposition
Si λ < µ, alors le processus (Xt )t≥0 est recurrent, de probabilité
invarriante :
λ λ
(5)
Πx = (1 − )( )x
µ µ

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

Proposition
A l’équilibre le nombre moyen présent dans le système vaut :

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

Proposition
A l’équilibre le nombre moyen présent dans le système vaut :
EΠ (Xt ) =


X
x=1

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xΠx =

λ
.
µ−λ

(6)

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INTRODUCTION
QUELQUES NOTIONS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE
FILES D’ATTENTE UNIQUE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s
RÉSEAUX DE FILES D’ATTENTE
FILES D’ATTENTE MARKOVIENNE : M/M/s/s
MODÉLISATION ET SIMULATION DE TRAFIC ROUTIER
CONCLUSION

Proposition
A l’équilibre le nombre moyen présent dans le système vaut :
EΠ (Xt ) =


X
x=1

xΠx =

λ
.
µ−λ

(6)

L’espérance du temps de retour en 0 est :

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CONCLUSION

Proposition
A l’équilibre le nombre moyen présent dans le système vaut :
EΠ (Xt ) =


X
x=1

xΠx =

λ
.
µ−λ

(6)

L’espérance du temps de retour en 0 est :
E0 (R0 ) =

1
µ
.
=
q0 Π0
λ(µ − λ)

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(7)

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CONCLUSION

Proposition
A l’équilibre le nombre moyen présent dans le système vaut :
EΠ (Xt ) =


X
x=1

xΠx =

λ
.
µ−λ

(6)

L’espérance du temps de retour en 0 est :
E0 (R0 ) =

1
µ
.
=
q0 Π0
λ(µ − λ)

(7)

Le temps moyen entre deux périodes où le guichet est vide
vaut :

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CONCLUSION

Proposition
A l’équilibre le nombre moyen présent dans le système vaut :
EΠ (Xt ) =


X
x=1

xΠx =

λ
.
µ−λ

(6)

L’espérance du temps de retour en 0 est :
E0 (R0 ) =

1
µ
.
=
q0 Π0
λ(µ − λ)

(7)

Le temps moyen entre deux périodes où le guichet est vide
vaut :
1
1
E0 (R0 ) −
=
.
(8)
q0
µ−λ
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CONCLUSION

RELATION X = λD : FORMULE DE LITTLE.

46

Rt
H1) t −1 0 Xs ds −→ X p.s., quand t −→ ∞ où X est une
constante.

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CONCLUSION

RELATION X = λD : FORMULE DE LITTLE.

47

Rt
H1) t −1 0 Xs ds −→ X p.s., quand t −→ ∞ où X est une
constante.
H2) Il existe une suite aléatoire tn −→ ∞ n −→ ∞ telle que
Xtn → 0.

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CONCLUSION

RELATION X = λD : FORMULE DE LITTLE.

48

Rt
H1) t −1 0 Xs ds −→ X p.s., quand t −→ ∞ où X est une
constante.
H2) Il existe une suite aléatoire tn −→ ∞ n −→ ∞ telle que
Xtn → 0.
H3) Supposons que les durées de séjour de tous les
clients sont finies. Notons Dn la durée du séjour du nime
client arrivé après l’instant 0, il existe une constante D telle
que
n
1X
D = lim
Dk .
n→∞ n
k =1

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CONCLUSION

RELATION X = λD : FORMULE DE LITTLE.

49

Théorème
On considère un système de service tel que le nombre moyen
d’arrivées par unité de temps soit égal à λ, et qui vérifie les
hypothèses (H1), (H2) et (H3) ci-dessus. Alors
X = λD.

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50

Théorème
On considère un système de service tel que le nombre moyen
d’arrivées par unité de temps soit égal à λ, et qui vérifie les
hypothèses (H1), (H2) et (H3) ci-dessus. Alors
X = λD.
X est le nombre moyen de clients dans le même système.

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