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Problème .pdf


Nom original: Problème.pdf
Titre: Problème
Auteur: Youssouf ouédraogo

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Problème :
A

h
𝛽
B

𝛼
E
A’

Soit ABC un triangle rectangle et h la hauteur issue du
point A et perpendiculaire à (BC) en A’.
On pose AB=𝑎, AE=𝑏, BE=𝑐, BA’=𝑝 et A’E=𝑞.
sin 𝛼

1. Exprimer le rapport sin 𝛽 en fonction de 𝑎 et 𝑏.
cos 𝛼

2. Exprimer le rapport cos 𝛽 en fonction de 𝑎, 𝑏, 𝑞, 𝑝 .
3. En déduire à partir des résultats précédents le
𝑞
rapport 𝑝 en fonction de tan 𝛼 et tan 𝛽 ; puis
démontrer que cos 𝛼 tan 𝛼 sin 𝛽 = cos 𝛽 tan 𝛽 sin 𝛼.
4. Exprimer 𝑎2 en fonction de p et c.
5. Exprimer 𝑏2 en fonction de q et c.
6. En déduire que 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 .
7. Exprimer 𝑐 en fonction de 𝑎, cos 𝛼, cos 𝛽 , 𝑏.
8. Prouver à partir de 7°) que (cos 𝛼)2 + (cos 𝛽)2 = 1.
Quel constat faites-vous ? En déduire la relation
fondamentale de la trigonométrie.
9. En déduire à partir de 8°) que 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 .
Application :
On donne p=9cm et q=16cm.
 Trouver les valeurs de 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 ℎ en utilisant :
-que le théorème de Pythagore ;
-les relations métriques.
NB : ABA’ et AA’E sont des triangles rectangles.
Youssouf ouédraogo

Mathématiques

youssoufouedraogo23@gmail.com


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