Probabilité 1 .pdf


Nom original: Probabilité 1.pdfTitre: D:\Livre géo.7M\Cours probabiliAuteur: ZOUHAIER

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Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Probabilités

I/ RAPPEL
1) OUTILS DE DENOMBREMENT
IN tel que 1 p n.
Soit n, p
IN
p
An n n 1 n 2 . . . . n p 1
A pn est le nombre de façon de choisir p éléments parmi n éléments en tenant compte de l’ordre.
n! A nn n n 1 n 2 . . . . 3 2 1.
n! est le nombre de façon de choisir n éléments parmi n éléments en
tenant compte de l’ordre ( chaque choix de ce type est une permutation ).
n!
Remarque: A pn
n p !
A pn
C pn
p!
p
C n est le nombre de façon de choisir p éléments parmi n éléments sans tenir compte de l’ordre.
2) PROBABILITE CLASSIQUE
Langage probabiliste
Une expérience aléatoire celle dont on peut pas prévoir le résltat exactement.
Univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble des résultats possibles.
Un événement est toute partie de l’univers de l’expérience aléatoire.
Un événement A est dit réalisé à la fin de l’expérience quand le résultat est un
élément de A. Ainsi tout élément de l’événement A est un cas favorable pour réalisé A.
Deux événements A et B sont dit incompatible quand il ne peuvent pas se
réalisés en même temps à la fin de l’expérience. C’est à dire ils n’ont pas
un élément commun pour les réaliser par suite A B Ø.
l’événement C, qui se réalise quand A et B se réalisent en même temps,
n’est autre que la partie A B .
Ainsi C: «A se réalise et B se réalise»

C

A

B

l’événement U, qui se réalise quand A ou B se réalise, n’est autre que la A
Ainsi U: «A se réalise ou B se réalise»

U

A

B.

B

Définition
est l’univers d’une experience aléatoire.On appelle application probabilité
définie sur P
toute application p : P
IR verifiant les deux propriétés :
1/ p
2/

1 et p

0

y1 , y2 , y3 , . . . , yk

A
pA

p y1

on a

p y2

p y3

. . . . p yk .

Propriétés
P1 : A

P

;p A

P 2 :Supposons

w1 , w2 , w3 , . . . , wn avec n

On a: p w1
P3 : A
P 4 ::

P
A, B

0, 1

p w2

; pA
P

1
2

p w3

. . . . p wn

1.



on a p A

Définition:
p est une équiprobabilité sur P
Hadj Salem Habib

IN .

B

pA

pB

x, y

Page 1

2

pA

B

on a p x

p y
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Probabilités

Théorème:
p est une équiprobabilité sur P
avec est un ensemble fini.On a:
1
1/ x
;p x
.
card
2/ A P
;
nombre des cas favorables pour réaliser A
cardA
pA
card
nombre des cas possibles
II/ PROBABILITE CONDIONNELLE
;P

; p est un espace probabilisé fini.

Définition et notation:
2
Soit A, B
P
.
Notation: l’événement « obtenir A sachant que B est déjà réalisé » est
noté A/B. Les éléments qui réalise A/B sont les éléments de A qui sont
dans B car quandB se réalise l’univers des résultats possibles est dévenu
les éléments de B. Sachant B est réalisé est comme si on dit est B.
Définition: Si B

alors p A/B

Si B

0
pA B
pB

alors p A/B

CONSEQUENCES
2
Soit A, B
P
.
pA B
p B p A/B
pA B
p A p B/A
Remarque:
L’un des plus grands sibles de la probabilité condittionnelle est le calcul des
probabilites des intersections des événements.
Théorème:
3
on a p A B C
pA
p B/A
p C/A B
1/ A, B, C
P
4
2/ A, B, C, D
P
on a:
pA B C D
pA
p B/A
p C/ A B
p D/ A B C .
Théorème:
2
A, B
P
; pB
pA
p B/A

p B/Ā .
Théorème:
Soient A 1 , A 2 , A 3 , . . . . , A n n IN un système complet de . On a
p B/A 1
p A2
p B/A 2 . . . . p A n
p B/A n .
pB
p A1
Propriétés
Soit B un évenement different de .
P1 : A

P

; p A/B

P2 : A

P

; p A/B

P3 :

A, C

P

2

0, 1
1

p Ā/B .

on a : p A

C /B

p A/B

p C/B

p A

C /B .

Définition:
2
Soit A, B
P
.
On dit que A et B sont indépendants si et seulement si la réalisation de l’un
n’influe pas sur la réalisation de l’autre.
A et B sont indépendants
pA
p A/B ou aussi p B
p B/A .
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Théorème:
A, B
P

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Probabilités
2

. A et B sont indépendants

pA

B

pA

pB .

III/ ALEAS NUMERIQUES
;P
; p est un espace probabilisé fini.
1) Définition-Notation-Caractéristique
Définition:
On appelle aléa numérique ou variable aléatoire définie sur P
toute
application de P
dans IR.
Notation:
Soit X un aléa numérique définie sur P
.
X
désigne l’ensemble des valeurs prises par X.
Posons X
x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n avec n IN .
. l’ensemble w
tel que X w
x i est simplemet
Soit x i X
noté X x i ou aussi X x i .
On note p i p X x i .
Remarque.: p 1 p 2 p 3 . . . . p n 1 c’est un outil de vérification
Définition: Soit X un aléa numérique définie sur P
. On appelle loi de probabilité de X
0, 1 ; x
pX x .
l’application notée p X : X
Présentation:
Supposons X
x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n qui est un ensemble fini donc p X prend
un nombre fini de valeur. Pour cela la loi de probabilité de X est souvant
donnée sous forme d’un tableau qui se présente comme suit :
x i x 1 x 2 x 3 .... x n
p i p 1 p 2 p 3 .... p n
Théorème-Nomination:
Soit X un aléa numérique définie sur P
.X
x1 , x2 , x3 , . . . , xn .
p i p X x i avec i
1, 2, 3, . . . , n . On a :
n
x
p
c’est
l’espérance mathématique de X ou aussi dit moyenne de X
EX
i 1 i i
VX
X

E X2

EX

VX

2

n
i 1

x 2i p i

EX

2

c’est la variance de X.

c est l’ecart-type de X.

Remarque.:
Dans le cas ou X indique le gain algébrique attribué à un joueur dans une
expérience aléatoire (on attribu un nombre positif pour le gain et un
nombre négatif pour la perte ). On dit que :
Le jeu est équitable
EX
0.
Le jeu est favorable au gain pour le joueur
EX
0.
Le jeu est défavorable au gain pour le joueur
EX
0.

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IV/ LOI BINOMIALE

;P
; p est un espace probabilisé fini.A un événement quelconque.
Soit n IN . Soit la variable aléatoire X qui a chaque n répétitions
indépendantes de de l’expérience associe le nombre de réalisation de A
On dit X suit une loi binomiale de paramètres n ( nombre de repetition de
l’épreuve ) et p p A (A est l’événement compté par X ).

Remarque.: Pour k IN tel que 1 k n. Une répétition r k est independante de
sa précédente r k 1 si et seulement si le résultat de r k 1 n’a aucune influance sur le resultat de r k .
Théorème: n IN ; p
0, 1 . X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On a :
1/ Les valeurs prises par X sont 0, 1, 2, . . . . , n.
2/ k
0, 1, 2, . . . . , n ; p X k
C kn p k 1 p n k .
3/ L’espérance de X est E X
np.
4/ La variance de X est V X
np 1 p
IV/ EEMPLES DE LOIS CONTINUES
Notation: Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I. a et b sont deux réels.
Si I

a, b

Si I

a,

Si I

IR on note
on note

I

, a on note

Si I

,

I

b

f t dt

f x dx

a
x

lim

a

x
I

f x dx
I

f x dx

f t dt.
a

lim

x

x

on note

f t dt.

lim
x

f t dt.
0
x

x

f t dt lim

0

x

f t dt.

Définition Soit I un intervalle et f une fonction définie sur I. On dit que :
f est continue sur I
fx

f est une densité de probabilité sur I

I

0 pour tout x de I

f t dt

1

Définition Soit I un intervalle de densité de probabilité f.
On appelle loi de probabilité sur I de densité f l’application p qui à tout
intervalle a, b de I associe le réel p a, b

b
a

f t dt.

Vocabulaire Soient I un intervalle de densité de probabilité f et p la loi de probabilité sur I.
On dit que p est une loi de probabilité uniforme quand f est constante sur I
Définition Soit p une loi de probabilité d’un intervalle I de densité f. Soit X une variable
aléatoire continue à valeurs dans I.
On dit que X suit la loi de probabilité p quand pour tout intervalle ,
I,
p

f t dt.

X

Seulement deux cas sont au programme:
X est à valeur dans un intervalle I

a, b a

b muni d’une probabilité uniforme p.

Dans ce cas : On dit que X suit la loi uniforme sur I
a, b .
longueur de l intervalle ,
p
X
.
b a
longueur de l intervalle a, b
X est à valeur dans un intervalle I
0,
et la densité de probabilité sur
I est une fonction f dont l’expression est de la forme e x avec
Dans ce cas : On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre .
p
pX
Hadj Salem Habib

X

e
1

p0

x dt

X

e

IR

e
e

.

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